Appunti del corso di Analisi Matematica 1

E trovare A, B, C, D, E, F, G, H, I, L, M, N, O, P, Q, R, S e T. 2 1+

3° passo (alternativo): utilizzare la decomposizione di

Decomposizione di Memo:

Hermite.

Hermite − − ± √

() = − ∧ = ∧

= + + ±

− 2

( ) ( )

() − −

+ + )

+ + = √−( −

+ + +

( ) ( )

+ + + +  Per integrare R(x, + + ) con a>0,

√

()

+ ricondursi a 1 + oppure − 1 tramite

( ) ( )

− … + + completamento del quadrato e sostituzione.

Dove T(x) è un polinomio di un grado inferiore al suo Poi sostituire

denominatore. = sinh 1 + ∨ = cosh − 1

Alcune sostituzioni particolari:

Alcune sostituzioni  ( )

particolari Per integrare una funzione razionale con sin x,

cos x, tan x, usare In alternativa, vale

1 −

tan = ⇒ 1 + tan = =

2 2 2 − 2

Infatti Memo: + + = ( + )

sin = = = Seno iperbolico Definiamo seno iperbolico la funzione

−

cos = = = sinh ≔ 2

Definiamo coseno iperbolico la funzione

Coseno iperbolico

tan = = = + 51

cosh ≔

 2

Per integrare una funzione razionale con sin x,

2

cos x, tan x, usare

2 Analisi matematica 1 Tovo Carla

Le funzioni seno e coseno iperbolico sono tali che vale Sia ora D’ una suddivisione pari a

{}

la seguente relazione ≔ ∪

Allora, poiché la funzione è limitata,

cosh − sinh = 1 |()| ≤ ⇒ ( , ) − ( , ) =

Inoltre (sinh (cosh

) = cosh ∧ ) = sinh (

= (, ) − (, ) + ( − − ) sup − inf

Entrambe le due funzioni sono invertibili: il seno [ ]

,

[ ]

,

iperbolico è invertibile in ℝ, mentre il coseno iperbolico (−)

< + − = (2 + 1)

è invertibile per x maggiore o uguale a 0. Oss. : date due funzioni f e g definite in un intervallo

Definiamo arcoseno iperbolico la funzione inversa del

Arcoseno [a,b] di ℝ tali che f sia integrabile su [a,b] e g sia uguale

seno iperbolico.

iperbolico ad f fuori da un insieme finito di punti {x , …, x }, allora

1 n

1

− g rimane integrabile su [a,b] e

−

= = ⇒ − 2 − 1 = 0

2 2 () = ()

= + + 1 ⇒ = log + + 1 Dim. :

arcsinh = log + + 1 È sufficiente definire una funzione h tale che:

Definiamo arcocoseno iperbolico la funzione inversa del 0, ≠ , … ,

Arcocoseno ℎ() ≔ () − () =

coseno iperbolico. , = , … ,

iperbolico 1 Dato ε maggiore di 0, sia D la suddivisione definita

+

+ {,

= = ⇒ − 2 + 1 = 0 ≔ − , + ∶ = 1, 2, … , ∪ }

2 2 Da questa suddivisione si ricava

= + − 1 ⇒ = log + − 1 ∗

⎡(, ℎ) ≤ 2 ⇒ ℎ() ≤ 0

arccosh = log + − 1 ⎢

⎢

Le funzioni arcoseno ed arcocoseno iperbolico hanno ⎢ (, ℎ) ≥ 2 ⇒ ℎ() ≥ 0

derivate ⎣

1 1 ∗

(arcsinh (arccosh

) = ∧ ) = In particolare

+

√1 − 1

√ ∗

Data una funzione f definita in un intervallo [a,b] di ℝ,

Integrabilità di 0≤ ℎ() ≤ ℎ() ≤ 0 ⇒ ℎ() = 0

continua in [a,b[ (o in ]a,b]) e limitata in [a,b], allora la

funzioni limitate ∗

Dunque l’integrale della funzione h è pari a 0 e si ottiene

funzione f è integrabile in [a,b].

(2) Di conseguenza, se una funzione f definita in un () = ()

intervallo [a,b] di ℝ è limitata ed ammette un numero

finito di punti di discontinuità {x , …, x }, allora la Date due funzioni f e g definite in un intervallo [a,b],

1 n Aree

funzione f è integrabile in [a,b]. l’area A della zona G di piano delimitata dalle due

Dim. : funzioni nell’intervallo [a,b] e pari all’integrale su [a,b]

Supponiamo che la funzione f sia discontinua in b, della differenza tra le due funzioni. 52

allora, dato ε maggiore di 0, la funzione f è integrabile in {(,

≔ ) ∈ ℝ ∶ ≤ ≤ ∧ () ≤ ≤ ()}

[a,b-ε], dunque esiste una suddivisione D tale che

∃ ∶ (, ) − (, ) < Analisi matematica 1 Tovo Carla

Equazioni differenziali

[()

≔ − ()] () ≤ ()  Equazione differenziale

In maniera analoga  Equazione di primo ordine

{(,

≔ ) ∈ ℝ ∶ ≤ ≤ ∧ () ≤ ≤ ()}  Equazione di ordine n



[()

≔ − ()] () ≤ () Equazione in forma normale

 Problema di Cauchy

In generale, data la funzione integrale composta F, se la

Integrali composti  Teorema di esistenza di Peano

funzione f è continua, allora la derivata di F è pari a  Funzione Lipschitziana

( )  Funzioni Lipschitziane e derivate

() ≔ ()  Teorema dell’unicità (o di Cauchy-Lipschitz)

( )

() () ()

⇒ = () − ()  Derivata parziale

Infatti, per il Teorema fondamentale del calcolo  Funzioni Lipschitziane e derivate parziali

integrale, una funzione integrale G è tale che  Teorema di esistenza globale

 Teorema dell’asintoto

()

() = () ⇒ = ()  Derivabilità in punti interni



( ) Prolungamento dell’intorno di esistenza

 Equazioni a variabili separabili

Quindi 

( ) ( ) ( ) Equazioni lineari

() = () = () − () =  Equazioni lineari omogenee

( )  Relazioni tra omogenee

= () − ()  Relazioni tra omogenee e non omogenee

E, calcolando la derivata, si ottiene  Equazioni lineari omogenee di primo ordine

()

= () − () =  Equazioni lineari non omogenee di primo

ordine

() ()

= () − ()  Equazioni lineari omogenee di secondo ordine

a coefficienti costanti

 Equazioni lineari non omogenee di secondo

ordine a coefficienti costanti

 Equazioni lineari di ordine superiore al

secondo a coefficienti costanti

 Funzioni, matrici e determinanti

 Derivate di seno e coseno

 Il numero

 Dimostrazione di cos + = − sin 53

 Dimostrazione di sin = sin( + 2)

Analisi matematica 1 Tovo Carla

Equazione Data una funzione f(x,y) in due variabili, con x Funzione Data una funzione f definita in un sottoinsieme E di ℝ ,

differenziale appartenente ad un intervallo I, possiamo trovare una Lipschitziana la funzione si dice Lipschitziana se esiste un L maggiore

funzione y(x) che verifichi l’equazione differenziale di 0 tale che ‖()

∃ ∶ ∀, ∈ − ()‖ ≤ ‖ − ‖

()

= , () Oss. : se la funzione f è lipschitziana, allora è

L’equazione che coinvolge la funzione incognita y(x) e

Equazione di primo uniformemente continua, infatti, dato ε maggiore di 0,

la sua derivata si dice di primo ordine.

ordine

()

, (), = 0 =

Equazione di Un equazione differenziale in cui rientrano n derivate si Data una funzione f definita in un sottoinsieme E di ℝ e

Funzioni

ordine n dice di ordine n. derivabile in E, allora la funzione f è lipschitziana se e

Lipschitziane e

(), (), ()

, (), … , = 0 solo se esiste un L maggiore di 0 tale che

derivate

L’equazione differenziale si dice in forma normale se è

Equazione in forma | ()|

∃ > 0 ∶ ≤ ∀ ∈

nella forma

normale Dim. :

() (), ()

= , (), … , : ℝ → ℝ ⇒ Se la funzione è lipschitziana, allora

Problema di Data un equazione differenziale di ordine n ed n dati |()

∃ ∶ ∀, ∈ − ()| ≤ | − |

Cauchy iniziali, il sistema prende il nome di problema di () − ()

| ()|

⇒ = ≤

Cauchy. −

(), (), ()

, (), … , = 0 ⇐ Se vale la disequazione, allora, per il Teorema di

⎧ )

( =

⎪ Cauchy, esiste un punto ξ tale che

( )

= |() | ()(

− ()| = − )| ≤ | − |

⎨ … Dunque la funzione è lipschitziana.

⎪ ( )

⎩ = Data una funzione f definita in ℝ , se esiste un L

Teorema

Se la funzione f ad n incognite di un’equazione maggiore di 0 tale che

dell’unicità (o di

differenziale in forma normale è una funzione continua

Teorema di ∃ > 0 ∶ ∀, ∈ ℝ

Cauchy-Lipschitz)

ed x appartiene alla parte interna di I, allora il

esistenza di Peano (, ) (, )

≔ , , … , ∧ ≔ , , … ,

0

problema di Cauchy associato ammette (almeno) una |() − ()| ≤ ‖ − ‖

soluzione in un intorno di x . Allora il problema di Cau