Appunti del corso di Analisi Matematica 1

Analisi matematica 1 Tovo Carla

Insieme ℕ Introduciamo l’insieme ℕ dei numeri naturali per via

Insiemi numerici assiomatica come un insieme infinito con le seguenti

 Insieme ℕ Assiomi di Peano caratteristiche denominate “Assiomi di Peano”:

 Assiomi di Peano 1. 1 è un numero naturale, nonché il primo;

 1∈ℕ

Principio di induzione

 2. Ogni numero naturale n ammette un

Gruppo

 successore s(n);

Unicità dell’identità e dell’inverso

 ∀ ∈ ℕ ∃ () ∈ ℕ

Gruppo commutativo (o Abeliano) 3. 1 non è successore di alcun n;

 Campo ∀ ∈ ℕ () ≠ 1

 Campo totalmente ordinato 4. Numeri diversi hanno successori diversi;

 Parte intera e parte frazionaria ∀, ∈ ℕ ∧ ≠ ⇒ () ≠ ()

 Intervallo chiuso e intervallo aperto ℕ contiene 1 e il

5. Se un sottoinsieme A di

 Semiretta chiusa e semiretta aperta successore di ogni elemento di A, allora A

 Massimo e minimo coincide con ℕ.

 Insieme limitato [ (

⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ∧ ∈ ⇒ () ∈ )] ⇒ = ℕ

 Estremo superiore es estremo inferiore Oss. :

 Assioma (o principio) di Archimede  L’insieme ℝ verifica tutte le proprietà tranne la 5^.

 Assioma di completezza (o di continuità)  L’insieme ℤ verifica tutte le proprietà tranne la 3^ e

 Teorema dell’unicità dell’estremo superiore (e la 5^.

dell’estremo inferiore) Il “Principio di induzione” afferma che, se una proprietà

Principio di

 Teorema degli intervalli dimezzati P(n) è tale che:

induzione

 Rappresentazione binaria dei reali 1. P(1) è vera;

 Rappresentazione decimale dei reali 2. Se vale P(n), allora vale anche P(n+1) (passo

 Valore assoluto induttivo);

 Disuguaglianza triangolare allora P(n) vale ∀n∈ℕ.

 Numeri complessi Dim. :

 Parte reale e parte immaginaria Definiamo in sottoinsieme A: = {n∈ℕ : P(n) è vera}.

 Modulo Allora A è sottoinsieme di ℕ, A contiene 1 e, se n

 Complesso coniugato appartiene ad A, allora anche n+1 appartiene ad A.

 Piano complesso (o Piano di Gauss) [ (

⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ∧ ∈ ⇒ + 1 ∈ )] ⇒ = ℕ

 Forma trigonometrica di un numero complesso Quindi per il quinto assioma di Peano, A coincide con ℕ.

 Potenza di un numero complesso Oss. : se una proprietà P(n) è tale che:

 Forma esponenziale di un numero complesso 1. P(k) è vera;

 Formula di Eulero 2. Posto n≥k, se vale P(n) allora vale anche P(n+1);

 allora P(n) vale ∀n>k.

Radici di un numero complesso

 Un insieme A con un operazione * tale che, per ogni a e

Radici ennesime dell’unità Gruppo

 b appartenenti ad A, a*b appartiene ad A 1

Teorema fondamentare dell’algebra ∀, ∈ ∗ ∈

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è un gruppo (A,*) se: Sviluppo a fino ad ottenere ā (ponendo al posto di n

-1 -1

1. Per ogni a, b e c appartenenti ad A vale la la seconda equazione), poi uso la proprietà associativa

proprietà associativa; per collegare a con a e uso la prima equazione per

-1

( (

∀, , ∈ ∗ ) ∗ = ∗ ∗ ) porlo uguale ad n. ( ) (

2. Esiste un’identità e appartenente ad A; = ∗ = ∗ ∗ ā = ∗ ) ∗ ā

∃! ∈ ∶ ∀ ∈ ∗ = = ∗ =∗ā =ā

3. Per ogni a appartenente ad A esiste il suo Quindi, leggendo il primo e l’ultimo termine

inverso a appartenente ad A. dell’uguaglianza, ottengo

-1

∀ ∈ ∃! ∈ ∶ ∗ = = ∗ =ā

Unicità dell’identità L’identità e ed l’inverso a sono unici. Cioè, se esistono due inversi dello stesso numero a, essi

-1

e dell’inverso Per assurdo supponiamo che esista un’altra identità ē sono uguali.

diversa da e ed appartenente ad A. Gruppo (A,*) è detto gruppo commutativo (o Abeliano) se, per

commutativo (o

∃ē ∈ ∧ ē ≠ ∶ ∀ ∈ ∗ ē = = ē ∗ ogni a e b appartenenti ad A, vale la proprietà

Allora, per ogni elemento di A, avrò che a*e sarà uguale Abeliano) commutativa.

ad a ed a*ē sarà uguale ad a. ∀, ∈ ∗ = ∗

∗ = ∗ = Oss. :



∀ ∈ ⇒ (ℕ,+) non è un gruppo poiché mancano

∗ē=ē∗ = l’identità e l’inverso.



Ora, essendo ē un elemento di A, considero a=ē ed (ℤ,+) è un gruppo commutativo di identità e=0

ottengo dalla prima e inverso a =-a.

-1



ē∗ =∗ē=ē (ℝ,·) non è un gruppo poiché manca l’inverso

Poi, essendo e un elemento di A, considero a=e ed di 0, ma (ℝ∖{0},·) è un gruppo commutativo.

ottengo dalla seconda Dato un insieme A e due operazioni * e ·, (A,*,·) è un

Campo

∗ē=ē∗ = campo se:

Confrontando le due uguaglianze ottengo 1. (A,*) è un gruppo commutativo;

=ē 2. (A,·) o (A∖{a},·) è un gruppo commutativo;

Cioè, se esistono due identità, esse sono uguali. 3. Per ogni a, b e c appartenenti ad A vale la

Per assurdo, poi, supponiamo che, per ogni elemento a proprietà distributiva.

appartenente ad A esista un altro inverso ā diverso da

-1 (

∀, , ∈ · ∗ ) = · ∗ ·

a ed appartenente ad A.

-1 Oss. :

∀ ∈ ∃ā ∈ ∧ ā ≠ ∶ ∗ ā = = ā ∗  (ℚ,+,·) è un campo poiché:

Allora, per ogni elemento di A, avrò che a*a sarà

-1  (ℚ,+) è un gruppo commutativo di

uguale ad e ed a*ā sarà uguale ad e.

-1 identità e=0 e inverso a =− ;

-1

∗ = ∗ =  (ℚ∖{0},·) è un gruppo commutativo di

∀ ∈ ⇒ identità e=1 e inverso a = ;

-1

∗ā =ā ∗ =  Per ogni a, b e c appartenenti a ℚ vale

la proprietà distributiva. 2

(

∀, , ∈ ℚ · + ) = · + ·

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 ∀ ∈ ∧ ≤ 0 ⇔ − ≥ 0

(ℝ,+,·) è un campo poiché:

 Sommando –a ad entrambi i membri

(ℝ,+) è un gruppo commutativo di dell’equazione ottengo

identità e=0 e inverso a =-a;

-1

 (−) (−)

≤ 0 ⇔ + ≤ 0 + ⇔ 0 ≤ −

(ℝ∖{0},·) è un gruppo commutativo di  Per ogni x e y appartenenti ad ℝ, x moltiplicato

identità e=1 e inverso a = ;

-1 per –y è uguale a –x moltiplicato per y.

 Per ogni a, b e c appartenenti ad ℝ vale (−)

∀, ∈ ℝ (−) =

la proprietà distributiva. Partiamo dall’espressione x per y più x per –y

(

∀, , ∈ ℝ · + ) = · + · (

+ (−) = ( − ) = · 0 = 0 = 0 · = − )

Campo totalmente Un campo è detto totalmente ordinato se esiste un (−)

= +

ordinato ordinamento (del tipo “≤” o “≥”) tale che: Quindi, leggendo il primo e l’ultimo termine

1. Per ogni a appartenete ad A esso è minore o dell’uguaglianza, ottengo

uguale a se stesso; (−) (−)

+ (−) = + ⇒ (−) =

∀ ∈ ≤  Per ogni a appartenente ad ℝ, a moltiplicato

2. Per ogni a e b appartenenti ad A, se a è minore per 0 è uguale a 0.

o uguale a b e b è minore o uguale ad a, allora a ∀ ∈ ℝ · 0 = 0

è uguale a b; Facendo valere la proprietà distributiva

∀, ∈ ≤ ∧ ≤ ⇒ = ( (

· 0 = · 0 + 0 = · 0 + − ) = · 0 + ) −

3. Per ogni a, b e c appartenenti ad A, se a è = (0 + 1) − = − = 0

minore o uguale a b e b è minore o uguale a c,  Per ogni x e y appartenenti ad ℝ, se x è

allora a è minore o uguale a c; maggiore o uguale a 0 e y è minore o uguale a 0,

∀, , ∈ ≤ ∧ ≤ ⇒ ≤ allora il loro prodotto è minore o uguale a 0.

4. Per ogni a e b appartenenti ad A, o a è minore o ∀, ∈ ℝ ∧ ≥ 0 ∧ ≤ 0 ⇒ ≤ 0

uguale a b oppure b è minore o uguale ad a (da Se y è minore o uguale a 0, allora –y è maggiore

cui deriva il termine “totalmente”); o uguale a 0

∀, ∈ ≤ ∨ ≤ ≥ 0 ∧ ≤ 0 ⇒ ≥ 0 ∧ − ≥ 0 ⇒ (−) ≥ 0

5. Per ogni a, b e c appartenenti ad A, se a è ⇒ − ≥ 0 ⇒ ≤ 0

minore o uguale a b, allora a+c è minore o  Per ogni x e y appartenenti ad ℝ, se x e y sono

uguale a b+c; minori o uguali a 0, allora il loro prodotto è

∀, , ∈ ≤ ⇒ + ≤ + maggiore o uguale a 0.

6. Per ogni a e b appartenenti ad A, se a e b sono ∀, ∈ ℝ ∧ ≤ 0 ∧ ≤ 0 ⇒ ≥ 0

maggiori o uguali a 0, allora il loro prodotto è Se x è minore o uguale a 0, allora –x è maggiore

maggiore o uguale a 0. o uguale a 0

∀, ∈ ≥ 0 ∧ ≥ 0 ⇒ ≥ 0 ≤ 0 ∧ ≤ 0 ⇒ − ≥ 0 ∧ ≤ 0 ⇒ (−) ≤ 0

Oss. : ⇒ − ≤ 0 ⇒ ≥ 0

 Sia (ℚ,+,·) che (ℝ,+,·) sono campi totalmente Oss. : da ciò deriva la proprietà per cui, per ogni x

ordinati. appartenente ad ℝ, il quadrato di x è maggiore o uguale

 Per ogni a appartenente ad ℝ, se a è minore o a 0. 3

uguale a 0, allora –a è maggiore o uguale a 0. ∀ ∈ ℝ ≥ 0

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[, {

Parte intera e parte Dato un numero x appartenente ad ℝ, definiamo: ∀ ∈ ℝ +∞) = [, +∞[≔ ∈ ℝ ∶ ≥ }



frazionaria 2. Semiretta destra aperta l’insieme di x

Parte intera di x ([x]) (o “pavimento” di x, ⌊x⌋) il appartenenti ad ℝ tali che x sia maggiore di a;

massimo intero minore di x; (, {

∀ ∈ ℝ +∞) =], +∞[≔ ∈ ℝ ∶ > }

[] ≔ max ≤

 3. Semiretta sinistra chiusa l’insieme di x

Parte frazionaria di x ({x}) la differenza tra x e appartenenti ad ℝ tali che x sia minore o uguale

la sua parte intera. ad a;

{} []

≔ − (−∞, {

∀ ∈ ℝ ] =] − ∞, ] ≔ ∈ ℝ ∶ ≤ }

Oss. :

 4. Semiretta sinistra aperta l’insieme di x

La parte intera di x è sempre compresa tra x e appartenenti ad ℝ tali che x sia minore di a.

x-1. Sarà uguale ad x se e solo se x appartiene a (−∞, {

∀ ∈ ℝ ) =] − ∞, [≔ ∈ ℝ ∶ < }

ℤ. Massimo e minimo Dato un sottoinsieme E di ℝ, definiamo un numero

[]

− 1 < ≤ M∈ℝ “massimo di E” se:

[] = ⇔ ∈ ℤ

 1. M è maggiorante di E, ovvero se, per ogni x

La parte frazionaria di x è sempre compresa tra appartenente ad E, x è minore o uguale ad M;

0 e 1. Sarà uguale a 0 se e solo se x appartiene a ∀ ∈ ≤

ℤ. 2. M appartiene ad E.

{}

0 ≤ < 1 ∈

{} = 0 ⇔ ∈ ℤ Definiamo un numero m∈ℝ “minimo di E” se:

Dati due numeri a e b appartenenti ad ℝ, con a minore

Intervallo chiuso e 1. m è minorante di E, ovvero se, per ogni x

di b, definiamo:

intervallo aperto appartenente ad E, x è maggiore o uguale ad m;

1. Intervallo chiuso l’insieme di x appartenenti ad ∀ ∈ ≥

ℝ tali che x sia minore o uguale a b e maggiore 2. m appartiene ad E.

o uguale ad a; ∈

[, {

∀, ∈ ℝ < ] ≔ ∈ ℝ ∶ ≤ ≤ } Insieme limitato L’insieme E si dice limitato superiormente se ammette

2. Intervallo aperto l’insieme di x appartenenti ad un maggiorante.

ℝ tali che x sia minore di b e maggiore di a; Si dice invece limitato inferiormente se ammette un

(, ], {

∀, ∈ ℝ < ) = [ ≔ ∈ ℝ ∶ < < } minorante.

3. Intervallo semichiuso a sinistra (o semiaperto a L’insieme E si dice limitato se è sia limitato

destra) l’insieme di x appartenenti ad ℝ tali che superiormente che limitato inferiormente, ovvero se

x sia minore di b e maggiore o uguale ad a; ammette sia un maggiorante che un minorante.

[, {

∀, ∈ ℝ < ) = [, [≔ ∈ ℝ ∶ ≤ < } Oss. : non sempre massimo e minimo esistono.

4. Intervallo semichiuso a destra (o semiaperto a  [, {

L’insieme = [ ≔ ∈ ℝ ∶ ≤ < } non

sinistra) l’insieme di x appartenenti ad ℝ tali ammette massimo.

che x sia minore o uguale a b e maggiore di a. Se, infatti, per assurdo supponessimo che esiste

(, {

∀, ∈ ℝ < ] =], ] ≔ ∈ ℝ ∶ < ≤ } un elemento M appartenente ad I che è il

Dato un numero a appartenente ad ℝ, definiamo:

Semiretta chiusa e massimo di I, allora, preso un qualsiasi numero

1. Semiretta destra chiusa l’insieme di x

semiretta aperta c appartenente ad I definito come la media tra

appartenenti ad ℝ tali che x sia maggiore o 4

M e b, questo risulterebbe maggiore di M

uguale ad a; Analisi matematica 1 Tovo Carla



∃ ∈ ∶ ∀ ∈ ≤ Se E ammette un massimo allora questo

+ coincide con l’estremo superiore; anzi, E

⇒≥ ammette un massimo se e solo se l’estremo

2

+ + superiore appartiene ad E.

≔ ⇒< = ∃ max ⇔ sup ∈ (max = sup )

2 2

+  Se E ammette un minimo allora questo coincide

⇒> =

2 con l’estremo inferiore; anzi, E ammette un

Dunque, per la prima e la seconda minimo se e solo se l’estremo inferiore

disequazione, c appartiene ad I e, per la terza appartiene ad E.

disequazione, questo è maggiore di M. ∃ min ⇔ inf ∈ (min = inf )

 ℕ è limitato inferiormente ma non è limitato Dati due numeri a e b appartenenti ad ℝ, con a e b

Assioma (o

superiormente. maggiori di 0, esiste un numero N appartenente ad ℕ

principio) di

 ℤ non è limitato ne inferiormente ne tale che N per a sia maggiore di b.

Archimede

superiormente. ∀, ∈ ℝ ∧ > 0 ∧ > 0 ∃ ∈ ℕ ∶ >

Dato un sottoinsieme E di ℝ non vuoto, definiamo un

Estremo superiore Per dimostrarlo è sufficiente prendere come N la parte

numero supE∈ℝ “estremo superiore di E”, se esiste,

ed estremo intera di b fratto a ed aggiungere 1

come il minimo dei maggioranti di E.

inferiore

≔ +1

Definiamo un numero infE∈ℝ “estremo inferiore di E”,

se esiste, come il massimo dei minoranti di E.

= +1 > −1+1 =

Oss. :

 Se E non è limitato superiormente, ovvero se E Ciò che distingue l’insieme ℝ dall’insieme ℚ è la

Assioma di

non ammette maggioranti e non ha senso proprietà denominata assioma di completezza (o di

completezza (o di

parlare di estremo superiore, allora si scrive continuità), secondo la quale, se il sottoinsieme E di ℝ

continuità)

supE=+∞. non vuoto è limitato superiormente, allora esiste

 Se E non è limitato inferiormente, ovvero se E l’estremo superiore di E ed esso appartiene ad ℝ.

non ammette minoranti e non ha senso parlare (∃

⊆ ℝ ∧ ≠ ∅ ∧ ∈ ℝ ∶ ∀ ∈ ≤ )

di estremo inferiore, allora si scrive infE=-∞. ⇒ ∃ sup ∈ ℝ

 Per ogni x appartenente ad E, x è compreso tra Oss. : (ℝ,+,·) è l’unico campo totalmente ordinato che

l’estremo inferiore e l’estremo superiore. verifica l’assioma di completezza.

∀ ∈ inf ≤ ≤ sup Se il sottoinsieme E di ℝ non vuoto è limitato

 inferiormente, allora esiste l’estremo inferiore di E ed

Talvolta, per convenzione, si scrive che