Appunti di analisi 1 su successioni, limiti di funzioni e limiti di successioni

Indice documento:

• Successioni
• Successioni regolari
• Successioni irregolari
• Teorema sul limite delle funzioni monotone (Ogni successione monotona è regolare)
• Teorema dell'unicità del limite
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto o dei carabinieri
• Successione estratta
• Operazioni sui limiti
• Teorema di Bolzano Weierstrass
• Corollario di Bolzano Weierstrass
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Limiti notevoli
• Limite di una funzione
• Teorema di connessione tra limiti di successioni e limiti di funzioni
• Teorema della permanenza del segno
• Limiti di funzioni trigonometriche
• Teorema del cambiamento della variabile

Attenzione: TUTTI (o quasi tutti) I TEOREMI SONO DIMOSTRATI

Successioni

Una successione di R è una particolare funzione:

f: N → R

quindi,

f(n) = a_n

Notazione

Una successione viene denotata:

(a_n)_n∈N anziché f(n)

Richiamiamo la monotonia

Def

Una successione (a_n)_n si dice monotona se:

(a_n) è crescente (strettamente crescente)

(a_n) è decrescente (strettamente decrescente)

(a_n) crescente a_m ≤ a_m+1

(a_n) decrescente a_m ≥ a_m+1

∀ m∈N

∀ m∈N

(strett. crescenti: a_m < a_m+1)

(strett. decresc. a_m > a_m+1)

Diamo diverse definizioni

Sia (a_n)_n ⊆ R una successione:

1. Diremo che lim a_m = l ∈ R
2. (a_n)_n converge ad l

se ∀ ε>0 ∃ v∈N. m>v

|a_m−l| < ε

tutti i numeri della successione cadono in questo fascio l+ε, l-ε

Ogni successione monotona è regolare

Più precisamente:

se {a_n} è crescente (o strettamente crescente) lim_n→+∞ a_n = sup {a_m, m∈ℕ}

se {a_n} è decrescente (o strettamente decrescente) lim_n→+∞ a_n = inf {a_m, m∈ℕ}

OSSERVAZIONE:

Se X⊂ℝ non è limitato superiormente Diremo che: sup X = +∞ se X non è limitato inferiormente Diremo che: inf X = -∞

ESEMPIO:

Se dobbiamo calcolare l'inf. e il sup di: X = {1 + 1/m, m∈ℕ} ciò sarebbe la successione di: a_n = 1 + 1/m quindi {a_n} è decrescente perché: 1/m > 1/(m+1)

a₁ è il valore massimo sup X = a₁ = 1 + 1/1 = 2 ⇒ VALORE MASSIMO

inf X = lim_m→+∞ a_n = 1

Ciò equivale a

⇆ ₁/^1+1_m < (1 + 1/m) m+1/ _{1+1m 1/sup>} divisione per ^{receve il m.c.m m+1/ _{1+1 m+12 aggiornano e m!=1+1 sup>(mm+1)^2 1 - 1/ n+1 < (m+1/ m+1sup>sup> < sup>1(1+1sub>)m+sup>1/ >mm+1}}

(1 + x)^> m> x_{→ Δ - 1 ^{+ mx sece> < br> scecapioniamo > m - > 1 infact viola a m ≠ वर्गक्रक नियम् & सुरनियम् e d spectro   1 - 1 / n+1 < [ m+1/ 1+1m+1p m < sub>+ 1 sup>[ 1 (1 )m n+sup>1/ dietary optimize mnotanga self2)]  m < sub>  m belong to natural ° p}}

OSSERVIAMO CHE:

Introduciamo una nuova successione:

1.   bm(1+1/m)^n+1  (1 - 1/m)r_{... ...traslate è assestante si muliliphare di due assestante} m = (1 + 1/m)^{ed e quado a anchostante de_ai 2) (1 + 1/n)} _a^pasbno
m dividere nel seguire è anchostante 

ESEMPIO

a_n = (-1)ⁿ

• PROPOSIZIONE Se una successione è convergente:
  • Se lim a_n = l
  • Se {a_n ∈ N} ossia è limitata

Ogni successione convergente è limitata vuol dire che esiste un minore e un maggiore

DIMOSTRAZIONE

Ipotesi: ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N : n > ν

l - ε < a_n < l + ε

per prendere un minorante m = min {a₁, a₂, ..., a_n-1, l - ε} M = max {a₁, a₂, ..., a_n-2, l + ε}

quindi è limitato ⇒ m ≤ a_n ≤ M ∀ m ∈ N

ogni successione convergente è limitata.

se lim a_n = 0 lim b_n = b

⇒ lim (a_n · b_n) = (a · b) = 0

• PROPOSIZIONE
  • se lim a_n = 0
  • (b_n ∈ ℝ : |b_n| ≤ M ∀ m ∈ N

vuol dire che è limitato

Criterio di Convergenza di Cauchy

Sia _n ∈ ℝ successione

• ∃!limite_{n → ∞}⋐ ∃! ∴ ∀ ∞ ∃ ∞ ↔
• (C) ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n, m ≥ N
• |a_n - a_m| < ε

Dimostrazione

• ipotesi: lim_{n → ∞} a_n = l
• esplichiamo l'ipotesi |a_m - l| ≤ ε/2

∃!ε>0 ∀ε>0 |a_m-l|<ε/2 ≤ε/2 ≤ε

Condizione Sufficienti di questo criterio

• ∃!∀ _N→∞∃ ipotesi: (C) condizione di Cauchy.
• ∀∃∈n