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Indice documento:
- Successioni
- Successioni regolari
- Successioni irregolari
- Teorema sul limite delle funzioni monotone (Ogni successione monotona è regolare)
- Teorema dell'unicità del limite
- Teorema della permanenza del segno
- Teorema del confronto o dei carabinieri
- Successione estratta
- Operazioni sui limiti
- Teorema di Bolzano Weierstrass
- Corollario di Bolzano Weierstrass
- Criterio di convergenza di Cauchy
- Limiti notevoli
- Limite di una funzione
- Teorema di connessione tra limiti di successioni e limiti di funzioni
- Teorema della permanenza del segno
- Limiti di funzioni trigonometriche
- Teorema del cambiamento della variabile
Attenzione: TUTTI (o quasi tutti) I TEOREMI SONO DIMOSTRATI
Successioni
Una successione di R è una particolare funzione:
f: N → R
quindi,
f(n) = an
Notazione
Una successione viene denotata:
(an)n∈N anziché f(n)
Richiamiamo la monotonia
Def
Una successione (an)n si dice monotona se:
(an) è crescente (strettamente crescente)
(an) è decrescente (strettamente decrescente)
(an) crescente am ≤ am+1
(an) decrescente am ≥ am+1
∀ m∈N
∀ m∈N
(strett. crescenti: am < am+1)
(strett. decresc. am > am+1)
Diamo diverse definizioni
Sia (an)n ⊆ R una successione:
- Diremo che lim am = l ∈ R
- (an)n converge ad l
se ∀ ε>0 ∃ v∈N. m>v
|am−l| < ε
tutti i numeri della successione cadono in questo fascio l+ε, l-ε
Ogni successione monotona è regolare
Più precisamente:
se {an} è crescente (o strettamente crescente) limn→+∞ an = sup {am, m∈ℕ}
se {an} è decrescente (o strettamente decrescente) limn→+∞ an = inf {am, m∈ℕ}
OSSERVAZIONE:
Se X⊂ℝ non è limitato superiormente Diremo che: sup X = +∞ se X non è limitato inferiormente Diremo che: inf X = -∞
ESEMPIO:
Se dobbiamo calcolare l'inf. e il sup di: X = {1 + 1/m, m∈ℕ} ciò sarebbe la successione di: an = 1 + 1/m quindi {an} è decrescente perché: 1/m > 1/(m+1)
a1 è il valore massimo sup X = a1 = 1 + 1/1 = 2 ⇒ VALORE MASSIMO
inf X = limm→+∞ an = 1
Ciò equivale a
⇆ 1/1+1m < (1 + 1/m) m+1/ 1+1m 1/sup> divisione per receve il m.c.m m+1/ 1+1 m+12 aggiornano e m!=1+1 sup>(mm+1)^2 1 - 1/ n+1 < (m+1/ m+1sup>sup> < sup>1(1+1sub>)m+sup>1/ >mm+1
(1 + x)^> m> x→ Δ - 1 + mx sece> < br> scecapioniamo > m - > 1 infact viola a m ≠ वर्गक्रक नियम् & सुरनियम् e d spectro 1 - 1 / n+1 < [ m+1/ 1+1m+1p m < sub>+ 1 sup>[ 1 (1 )m n+sup>1/ dietary optimize mnotanga self2)] m < sub> m belong to natural ° p
OSSERVIAMO CHE:
Introduciamo una nuova successione:
- bm(1+1/m)^n+1 (1 - 1/m)r... ...traslate è assestante si muliliphare di due assestante m = (1 + 1/m)ed e quado a anchostante deai 2) (1 + 1/n) apasbno m dividere nel seguire è anchostante
ESEMPIO
an = (-1)n
- PROPOSIZIONE Se una successione è convergente:
- Se lim an = l
- Se {an ∈ N} ossia è limitata
Ogni successione convergente è limitata vuol dire che esiste un minore e un maggiore
DIMOSTRAZIONE
Ipotesi: ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N : n > ν
l - ε < an < l + ε
per prendere un minorante m = min {a1, a2, ..., an-1, l - ε} M = max {a1, a2, ..., an-2, l + ε}
quindi è limitato ⇒ m ≤ an ≤ M ∀ m ∈ N
ogni successione convergente è limitata.
se lim an = 0 lim bn = b
⇒ lim (an · bn) = (a · b) = 0
- PROPOSIZIONE
- se lim an = 0
- (bn ∈ ℝ : |bn| ≤ M ∀ m ∈ N
vuol dire che è limitato
Criterio di Convergenza di Cauchy
Sia n ∈ ℝ successione
- ∃!limiten → ∞⋐ ∃! ∴ ∀ ∞ ∃ ∞ ↔
- (C) ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n, m ≥ N
- |an - am| < ε
Dimostrazione
- ipotesi: limn → ∞ an = l
- esplichiamo l'ipotesi |am - l| ≤ ε/2
∃!ε>0 ∀ε>0 |am-l|<ε/2 ≤ε/2 ≤ε
Condizione Sufficienti di questo criterio
- ∃!∀ N→∞∃ ipotesi: (C) condizione di Cauchy.
- ∀∃∈n