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Estratto del documento

Indice documento:

  • Successioni
  • Successioni regolari
  • Successioni irregolari
  • Teorema sul limite delle funzioni monotone (Ogni successione monotona è regolare)
  • Teorema dell'unicità del limite
  • Teorema della permanenza del segno
  • Teorema del confronto o dei carabinieri
  • Successione estratta
  • Operazioni sui limiti
  • Teorema di Bolzano Weierstrass
  • Corollario di Bolzano Weierstrass
  • Criterio di convergenza di Cauchy
  • Limiti notevoli
  • Limite di una funzione
  • Teorema di connessione tra limiti di successioni e limiti di funzioni
  • Teorema della permanenza del segno
  • Limiti di funzioni trigonometriche
  • Teorema del cambiamento della variabile

Attenzione: TUTTI (o quasi tutti) I TEOREMI SONO DIMOSTRATI

Successioni

Una successione di R è una particolare funzione:

f: N → R

quindi,

f(n) = an

Notazione

Una successione viene denotata:

(an)n∈N anziché f(n)

Richiamiamo la monotonia

Def

Una successione (an)n si dice monotona se:

(an) è crescente (strettamente crescente)

(an) è decrescente (strettamente decrescente)

(an) crescente am ≤ am+1

(an) decrescente am ≥ am+1

∀ m∈N

∀ m∈N

(strett. crescenti: am < am+1)

(strett. decresc. am > am+1)

Diamo diverse definizioni

Sia (an)n ⊆ R una successione:

  1. Diremo che lim am = l ∈ R
  2. (an)n converge ad l

se ∀ ε>0 ∃ v∈N. m>v

|am−l| < ε

tutti i numeri della successione cadono in questo fascio l+ε, l-ε

Ogni successione monotona è regolare

Più precisamente:

se {an} è crescente (o strettamente crescente) limn→+∞ an = sup {am, m∈ℕ}

se {an} è decrescente (o strettamente decrescente) limn→+∞ an = inf {am, m∈ℕ}

OSSERVAZIONE:

Se X⊂ℝ non è limitato superiormente Diremo che: sup X = +∞ se X non è limitato inferiormente Diremo che: inf X = -∞

ESEMPIO:

Se dobbiamo calcolare l'inf. e il sup di: X = {1 + 1/m, m∈ℕ} ciò sarebbe la successione di: an = 1 + 1/m quindi {an} è decrescente perché: 1/m > 1/(m+1)

a1 è il valore massimo sup X = a1 = 1 + 1/1 = 2 ⇒ VALORE MASSIMO

inf X = limm→+∞ an = 1

Ciò equivale a

1/1+1m < (1 + 1/m) m+1/ 1+1m 1/sup> divisione per receve il m.c.m m+1/ 1+1 m+12 aggiornano e m!=1+1 sup>(mm+1)^2 1 - 1/ n+1 < (m+1/ m+1sup>sup> < sup>1(1+1sub>)m+sup>1/ >mm+1

(1 + x)^> m> x Δ - 1 + mx sece> < br> scecapioniamo > m - > 1 infact viola a m ≠ वर्गक्रक नियम् & सुरनियम् e d spectro   1 - 1 / n+1 < [ m+1/ 1+1m+1p m < sub>+ 1 sup>[ 1 (1 )m n+sup>1/ dietary optimize mnotanga self2)]  m < sub>  m belong to natural ° p

OSSERVIAMO CHE:

Introduciamo una nuova successione:

  1.   bm(1+1/m)^n+1  (1 - 1/m)r... ...traslate è assestante si muliliphare di due assestante m = (1 + 1/m)ed e quado a anchostante deai 2) (1 + 1/n) apasbno
  2. m dividere nel seguire è anchostante 

ESEMPIO

an = (-1)n

  • PROPOSIZIONE Se una successione è convergente:
    • Se lim an = l
    • Se {an ∈ N} ossia è limitata

Ogni successione convergente è limitata vuol dire che esiste un minore e un maggiore

DIMOSTRAZIONE

Ipotesi: ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N : n > ν

l - ε < an < l + ε

per prendere un minorante m = min {a1, a2, ..., an-1, l - ε} M = max {a1, a2, ..., an-2, l + ε}

quindi è limitato ⇒ m ≤ an ≤ M ∀ m ∈ N

ogni successione convergente è limitata.

se lim an = 0 lim bn = b

⇒ lim (an · bn) = (a · b) = 0

  • PROPOSIZIONE
    • se lim an = 0
    • (bn ∈ ℝ : |bn| ≤ M ∀ m ∈ N

vuol dire che è limitato

Criterio di Convergenza di Cauchy

Sia n ∈ ℝ successione

  • ∃!limiten → ∞⋐ ∃! ∴ ∀ ∞ ∃ ∞ ↔
  • (C) ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n, m ≥ N
  • |an - am| < ε

Dimostrazione

  • ipotesi: limn → ∞ an = l
  • esplichiamo l'ipotesi |am - l| ≤ ε/2

∃!ε>0 ∀ε>0 |am-l|<ε/2 ≤ε/2 ≤ε

Condizione Sufficienti di questo criterio

  • ∃!∀ N→∞∃ ipotesi: (C) condizione di Cauchy.
  • ∀∃∈n
Dettagli
Publisher
A.A. 2015-2016
34 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cb.rr95 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Catania o del prof Puglisi Daniele.