Appunti analisi 1 - limitatezza, limiti di successioni TH. Vari

Limitatezza di funzioni

Funzioni limitate superiormente e inferiormente

Supponiamo di avere una funzione da D a R, con D sottoinsieme di R non vuoto. La funzione f : D → R è limitata superiormente se:

1. ∃ K ∈ R | f(x) ≤ K ∀ x ∈ D

In altre parole, f è limitata superiormente se esiste un K appartenente a R tale che tutti gli elementi del codominio (le immagini f(x)) vengono prima di K, per ogni x appartenente al dominio.

2. ∃ h ∈ R | f(x) ≥ h ∀ x ∈ D

La funzione è limitata inferiormente se esiste un h appartenente a R tale che le immagini f(x) siano maggiori o uguali ad h, per ogni x nel dominio.

Una funzione è limitata se è limitata superiormente e inferiormente:

∃ h, K ∈ R | h ≤ f(x) ≤ K, ∀ x ∈ D. Esistono due numeri (h, K) appartenenti a R tali che tutte le immagini (f(x)) siano comprese tra h e K, per ogni x in D.

La stessa formula può scriversi anche come: ∃ m > 0 | |f(x)| ≤ m ∀ x ∈ D.

Limitezza di funzioni

Supponiamo di avere una funzione da D a R, con D sottoinsieme di R:

Funzione g limitata superiormente

g è limitata superiormente se:

1. ∃ K ∈ R | g(x) ≤ K, ∀ x ∈ D

g è limitata superiormente se esiste un K appartenente a R tale che tutti gli elementi del codominio vengano prima di K, per ogni x appartenente al dominio.

Funzione g limitata inferiormente

g è limitata inferiormente se:

2. ∃ h ∈ R | g(x) ≥ h, ∀ x ∈ D

g è limitata inferiormente se esiste un h appartenente a R tale che le immagini siano uguali ad h, per ogni x nel dominio.

g è limitata se è limitata superiormente e inferiormente:

∃ h, K ∈ R | h ≤ g(x) ≤ K, ∀ x ∈ D. Esisteranno due numeri (h, K) appartenenti a R tali che tutte le immagini siano comprese tra h e K, per ogni x in D.

La stessa formula può estendersi anche come: ∃ m > 0 | |g(x)| ≤ m, ∀ x ∈ D.

Funzioni illimitate

Funzione f illimitata superiormente

f è illimitata superiormente se:

∀ k ∈ R, ∃ x ∈ D: f(x) > k.

f è illimitata superiormente se per ogni k appartenente a R esiste un x appartenente a D tale che f(x) sia maggiore di k.

Funzione f illimitata inferiormente

f è illimitata inferiormente se:

∀ h ∈ R, ∃ x ∈ D: f(x) < h.

Limite superiore e inferiore

Supponiamo che f sia limitata superiormente, allora:

∃ sup_x∈Df(x) ∈ R e ∀ k ∈ R, ∃ x ∈ D | f(x) < k.

∃ x ∈ D: f(x) = s = sup_x∈Df(x).

M = max f(x), x ∈ D. ∃ x ∈ D: f(x) = M ∈ f(x) = M ⇒ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ D.

Stesso discorso possiamo farlo per l’estremo inferiore (inf):

Supponiamo che f sia limitata inferiormente

1. ∀ c ∈ R, f(x) ≥ c.

Supponiamo che f sia illimitata inferiormente allora inf_x∈Dg(x) = -∞.

Se I ∈ ℘(D), cioè I ⊆ x ∈ D: f(x) ≤ c ⇒ c = sup_x∈I g(x).

Il MIN e il MAX non è detto che esistano.

Comportamento di una successione

Supponiamo di considerare questa successione:

a_n = (-1)ⁿ

• a₁ = -1
• a₂ = 1
• a₃ = -1
• a₄ = 1
• ...

Le sup e l'inf di questa successione sono 1 e -1 che sono anche massimo e minimo.

Le due successioni che abbiamo visto sono due successioni diverse che hanno lo stesso codominio e gli stessi termini (gli a_n in sostanza sono gli stessi), perché la successione ha come immagine o solo il numero 1 o solo il numero -1.

Ovviamente, quando si va a parlare di comportamento, il comportamento delle due successioni è diverso, perché noi andiamo a vedere questi termini (a₁, a₂, a₃, ...).

Spieghiamo meglio

La prima successione assume 1 e -1 in maniera alternata, muovendosi in modo oscillatorio fra i numeri 1 e -1 e procede all'infinito. La seconda successione può anche essere osservata, ovvero per i termini pari e dispari sono diversi tra loro.

Noi vogliamo introdurre un concetto che riesca sempre a definire se la successione...