Appunti analisi 1 - limitatezza, limiti di successioni TH. Vari

LIMITAZZA (sup e inf) di funzioni.

Supponiamo di avere una funzione da D e un sottoinsieme di R non vuoto.

1. f è LIMITATA SUPERIORMENTE se: ∃K ∈ ℝ | f(x) ≤ K ∀x ∈ D

È limitata superiormente se esiste un K appartenente ad ℝ tale che tutti gli elementi del codominio (le immagini f(x)) vengono prima di K, per ogni x appartenente al dominio.

2. f è LIMITATA INFERIORMENTE se: ∃h ∈ ℝ | f(x) ≥ h ∀x ∈ D

È limitata inferiormente se esiste un h appartenente ad ℝ tale che le immagini f(x) siano maggiori o uguali ad h, per ogni x nel dominio.

f è LIMITATA se è limitata superiormente e inferiormente ∃h, k ∈ ℝ | h ≤ f(x) ≤ K ∀x ∈ D

Esistono due numeri (h, k) appartenenti ad ℝ tali che tutte le immagini (fodi) siano comprese tra h, k, per ogni x in D.

La stessa formula può scriversi anche:∃ m > 0 | |f(x)| ≤ m ∀x ∈ D

Sono tutte funzioni limitate.

2)

ƒ è illimitata superiormente se:

∃∀x∈R ∃x∈D : ƒ(x)≥k

ƒ è limitata superiormente se per ogni K appartenente ad R esiste un xappartenente a D tale che la ƒ(x) sia maggiore di K

ƒ è illimitata inferiormente se:

∀∃k∈R ∃x∈D : ƒ(x)≤h

ƒ è illimitata inferiormente se per ogni h in un R esiste un x in D tale che ƒ(x)vive prima di h.

ƒ è illimitata se è illimitata inferiormente o superiormente

a questo punto, come fatti per gli insiemi, diamo il concettodi sup ed inf per una funzione. Trovando cosi che saranno ilsup e l’inf del codominio. (il sup e l’inf esistono sempre.)

ƒ : D→IR D⊂R, D≠∅

sup (insieme)$

soprarelotèrement :

1) ƒ, 7 β(x), ∀x∈D

2) ∀∃∈∃∃0 ∃x∈D : β(x) 7.5.ε

La prima considerazione che vogliamo fare è:

C'è un modo per descrivere tutti questi comportamenti, per essere diversi?

Partiamo dal primo caso a_n = 1, come detto questa successione è fatta di termini che pare avvicinarsi tutti ad un numero (la parte c).

Per poter esprimere MATEMATICAMENTE questo concetto bisogna che introduciamo qualcosa che permette di dire che una vosta dire ESSERE VICINI AD UN NUMERO, introdiciamo quindi il concetto di INTORNO di un numero.

x₀ ∈ ℝ (è un numero ed è detto centro dell'intorno)

I_x0 = (x₀ - x₀+, x₀ - x₀-)

quando l'intorno di x₀ è l'insieme costituito di tutti i punti che appartengono ad un intervallo centrato in x₀

Essere nell'intorno x₀ in qualche modo vividi dice anche essere vicini.

Gli intorni ci servono in qualche modo a stabilire quando viviamo vicini ad uno punto x₀, quindi usiamo questo concetto per autorizzare il fatto che questi a₁,....,a_n vanno vicino a 0, quindi appartengono ad un INTORNO centrato nel punto 0.

Cosa vogliamo dire in generale :

...

Noi abbiamo il nostro termini (a_n, a₂, a_n, a₄), la realità quelo che noi vogliamo fare è dire che se qui c'è un numero c e gli a_n vanno verso un modo che (c)

Io cresco, vanno vicina ad e,... come il importante quelo de forme piccoli, numero con . (m) grande gli (a_n) e trova vicino ad c. Quindi maggiore.

I punti portino anche metellare, però ad un certo punto tutti gli (a_n) vanno vicino ad numero.

QUESTA È L'IDEA CHE CI FACCIAMO

QUANDO UNA SUCCESSIONE SI AVVICINA AD UN NUMERO

Teorema di Unicità del Limite

Se a_n è regolare ⇒ il limite è unico.

Dim. (per absurdum)

• lim a_n = l_{1 n → +∞}
• lim a_n = l_{2 n → +∞}
• l₁ ≠ l₂

I_ε1 ∪ I_ε2 = ∅

• in corrispondenza di I_ε1, ∃ ̇m ∈ ℂ, ∀m ≥ ̇m ⇒ a_m ∈ I_ε1
• in corrispondenza di I_ε2, ∃ ̇m ∈ ℂ, ∀m ≥ ̇m ⇒ a_m ∈ I_ε2

1)

2)

a) ∀ε>0 ∃m∈ℕ aₙ>S-ε

Quels autres

∀m∈ℕ

∀n>m

Oublie

S+ε

∀ε>0 ∃m∈ℕ ∀n>m ⇒ S-ε<aₙ<S+ε

↖

2) Sup aₙ = +∞

n∈ℕ

∀H>0 ∃m∈ℕ j aij>H

Comme prèmi prenon

∀m∈ℕ

∀n>m

aₙ>aij

aij>aij>aij>H

∀H>0 ∃m∈ℕ ∀n>m ⇒ aₙ>H

|aₙ - l| < ε ∀ε

lim aₙ = -l

aₙ - (-l) → 0

lim |aₙ| = |l|

Ma quale limite?

lim aₙ = lim |aₙ - l|

Viceversa

aₙ = (-1)ⁿ → ?

NO!

quando [...]

|aₙ| → 0

aₙ → 0

Teorema Dei Carabinieri

Superposizione di avere 3 successioni:

• 1ª ipotesi: aₙ → e, cₙ → e
• 2ª ipotesi: aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ
• tesi: bₙ → e

Dimostrazione:

∀ε∈ℝ

∃m∈ℕ: ∀n≥m → aₙ∈Iε

∃m'∈ℕ:∀n≥m' → cₙ∈Iε

m" = max { m̅, m̅' }

∀n≥m" → aₙ∈Iε , cₙ∈Iε

bₙ∈Iε

quindi ho provato che lim bₙ = e