Analisi 1, appunti parte 3 - successioni limiti

ott

13 2020

SUCCESSIONI

)

( ☒

P predicato parametro e

sia con

n un n :

)

(

P

1) che

dice vero

è definitivamente

si n da certo

è

se un no

vero in poi :

)

3- ☒ (

ttns P

C- è vero

n

no

no : ,

)

(

P

2) che

dice vero

è Frequentemente

si n valori

è di

se infiniti

vero per m :

]

☒ )

(

P vera

me è

no

no >

: m ,

)

(

Aln)

est è positivo

è -10

se n

vero ( )

definitivamente

)

al è 10 vera

se >

vera n

n frequentemente

( )

)

(

B.

2 è se è pari

vero

n +10

n

es ☒

definitivamente quale

oltre il è sempre

vera →

no no vera

frequentemente vera

è

mia

Successione : l'

funzione 1

I

D

abbia

dice che come

si successione insieme

una R

codominio

come

e (a)

H

R

f

G) H ☒

an

<

- : >

-

: -

fin

)

☒ an

mi -

an

ne -

1 -

- =

scritture equivalenti

potrebbe definita

la dominio

che successione

anche accadere sia

OSS su un

. tipo

di questo : }

{ 1

nel meno

: ☒

C-

no

In

- definita

è

es 20

-20 me

an per

=

di successione

VISUALIZZAZIONE :

una Rappresentazione cartesiana

In f- ^

1 della

n successione

=

= .""µe

, tutti punti

rappresentare i

÷: ( )

an

n ,

;

Rappresentazione su una Renta

{ } 1/41/3 112 1

an Y

o i i -

i

Ó Q1

al

a

aq }

limite di

il

parlare di concetto

introduco :

per il analisi

Intorno esprime di

concetto

→ in

vicinanza

Pd

)

I di ✗

intorno in

o

☒ definisce di

C- di

intorno

✗ si

sia o

r >

✗ raggio

o o

intervallo

l' ( )

r

✗ xotr

-

o , ☒

)

( >

•

Xo Xotr

Xo r

-

}

{ / /

R ( )

)

Irlxo r 1-

c-

✗ <

✗

✗

: =

= r

✗

o

- o , )

( da

infiniti

gli che distano di

punti ✗

sono r

meno

o

)

I di +00

intorno } ( a)

{ R

a)

(

Ia

taek a

×

E >

✗ a +

+ =

:

= ,

, )

Iacta

I >

a

)

II di

intorno -00 }

{ ( a)

taek a)

1- R

Ia no

e a

✗

✗

= = -

<

: ,

, )

Iata ' >

a

di successione

Uniti ^

considero an

successione

una

=L 3)

bn (

III

es an con mt

cos

= ;

; =

, Etc

-

I - -

2

cnearctgn :

:

"

P Ì i i s

;

noi >

. • •

.

. . ,

, 3 4

al

QO [

di successione

convergenza una

}

{ !

successione

sia una

an super importante

}

)

( l

l ad

che

dice converge

si an

an - 0,7mg

V-E

- m >

> ME

:

,

=L

bman /

(3) 1am l E

oppure <

>

= -

to

✗ → I

linguaggio

usando degli

il anali

intorni l

: E

E <

-

( )

TE )

7mg IEU

Ing C-

ta

0

> an

me

:

,

Im il

Ità ① limite

verificare

-

es sta

M - / /

II

V-E -0,7mg -0 E

<

: m > ne

/

/ =L E è

E II

III. <

< -

n

= matto ]

È

( )

basta scegliere la

maniero

me che

= sia

an

garanzia

avere

per compresa

/

la

prendo ]

[

E

e- assalto

E n ne

< > =

,

intera

parte

di successione

una

Divergenza ^

ma

es an = a-

lim to

=

an q

M to

>

- G) :

'

•

FÈ

È A

I

]

V-A.ca 1

e an

ma >

n >

< :

- ma

, (a)

"

" barriera

qualunque Definitivamente

supera

an linguaggio

Nel intorni

degli A

: / a)

Ia

)

Imltoo

HAERI iiii.it

e

ne +

an

, definizione

Analogamente potremo la

dare

him am n

= - •

n +00

> !

- •

A • •

È anca

I

]

taek 1 >

E ma

n =

>

< :

- ma

,

considerazione convergente

che divergente

successione

una sia

non o

.

notevole dice

si indeterminata né

" convergente

( ) -

s

1

es con = ↳ divergente

né

né convergente

)

(

dn -

S

cos n

= ↳ divergente

né

DCF divergente

dice REGOLARE successione

: convergente

una

si o

di successione

Monotonia una def

dice

si crescente

successione <

monotona

una >

=

Un anni

E

an

= no :

( )

tra

solo

confronto di indici consecutivi

si coppie

opera un Mitt E

van anti

es an =

. 71

)

(

n' E mm

+1

È #

¢+1 +2

stretta decrescente

nettamente

dice +2m

< E

si

successione

una ttn 2m -1

=

-11

an

= <

no an

: ☒

ne

-21 vera

=

n

n' crescente

monotona

è

+1

an = È

dice

si decrescente

successione monotona

una < 1

Zant

an

= no

n : È

dice

si strettamente

successione crescente

monotona

una <

anti

<

an

= no

n : È

dice

si strettamente decrescente

successione monotona

una <

+1

an

>

an

= no

n :

q TGf_-oao-q 7eJa Re !

Regolarità

di

1Ma

ma }

H R REGOLARE

Ma an → an è

: )

divergente

( convergente o

Hp monotona

sia

an

:

corollario )

Apt limitata

monotona superiormente

è

se an è

an

se

crescente { }

hm sup no

>

an m

:

an =

to

n >

-

Hp 2) se limitata

superiormente

è

an non

him +

an a

=

sta

M -

inferiormente / ?

significa che

Oss limitata

che an è

cosa superiormente

. ÉM Vine

3- ☒

☒

Me an

: , ?

significa limitata

che

che an è

cosa

È tante ☒

M

3- Me ne

: ,

@­ .­

DIMOSTRAZIONE Hai

{ } limitato

superiormente vuoto

se an è e non /

l }

☒

la di ammette

completezza an

sup

per = (

{ lzan

} ☒ )

1)

definizione

Per di è

an

sup ne maggioranza

: , (

El

:L

V-E 0,7m dei

piccolo

2) E +

an

<

> -

, , )

maggiorenti

ama -7

| |

• il

• •

o

io a

o

e- l

E l' di

di cioè

ipotesi

anziana

memi crescenza an

per ,

, l El l

V-ns.mn E

E Eam <

< an +

- ,

dunque l l

7ns E

E ama +

n <

:

> noi

: - I

limone

misto

ES di

Notevole successione ( "

f)

la 1

considera +

successione neri

facilmente

può dimostrare che

se :

1) tu

crescente

Street

è an

-

anti

:

an _ ,

{ } ttn

2) limitato <3 =/ O

an

è :

an insieme

un sup ,

.

?

Html }

) {

bm e

n o

sup an > =

,

n +a

> ↳

- 2,7182

= . .

.

no Nepero

iEqTGo--Aogo

Ma Unicità

Teo 04

MIA

Rema

km

al è

esiste

di unico

se

successione

una

9gTGo--Ao↳o

Ma di limitatezza

Teo 1Ma

Rema limitata

convergente è

successione

una

DIMOSTRAZIONE le ☒

ma successione an

una :

an -

-

l

V-E 3- l E

E

cioè <

: >

n

0 ne ama +

me

> -

, l

l

7mn E

2=1

scelto E an

< < +

n > mi

: -

, l 1+1

-1 I

Il ✗

✗ 1 1

1 I

1 il

1 -

Il i 1 M

an

aòm -

- -

ma

=

n

{ }

ltt

M ao an la

Max ann

= , , , ,

.

.

.

,

{ l }

al

-1 ao Q2 Ann

min

m = /

, _ .

, .

, ,

In limitata

M è

cioè

E

me

: an del

vale

ta il teorema

a :

☐ viceversa

non limitata

è

convergente

successione

una limitata

Ma detto

è è convergente

non sia

succ

una . "

( limitata

) convergente

è

=

an non

n ,

°

| qgygoo-ngo-gteoma. pro el confronto

MMA

Rena In due limite

che ammettono

an

siano successioni

, {

È }

bm le ☒ U ±

an no

=

= t

tuo

n → Esteso

hm E

In me

=

to

n >

- definitivamente

bm

1) E

an

le

tesi m

:

°

2 ogpo@o- oaog- TeoM a.p / dei

del 2 CARABINIERI

confronto

MMA

Rena bm

an

siano Cn successioni

, , ☒

him le

limcn

Hp an

: = =

ta tu

n n

→ →

definitivamente

bn

2) E E cn

an l

bn

7hm vale

tesi : e

+00

n >

-

9qTGo--Aogq

Ma

Teo MIA

Rema )

( bm limitata

infinitesima

0 e

se è

an >

- bn infinitesima

allora è

an

con = . infinitesima

=sm{;Y3m)- 1- 0

Con an

es a

+

n

per →

- →

_

. Mtt )

( limitata

ln n'

Sim +3m

= ( )

ebrei

i

-

lrm 0

Cm =

+00

m →

q­ dei di successione

ALGEBRA limiti

bn tale

due che

successioni

an

siano , hm E

☒ bn

le bm me

n

an =

= +

m so

sta →

n -

allora : ( )

( ltm

)

ln definito

G