Appunti analisi 1: Successioni numeriche e funzioni

• Successione numerica

Una successione è una f. definita sui naturali

f: n ∈ N ➝ f(n) = c_n ∈ ℝ

L'insieme di una successione è denotato con: {c_n}_n∈N = {c₁, c₂, c₃, ... c_n}

Limiti di successioni

Tre tipologie di limiti:

1. lim_{n ➝ +∞} c_n = l ∈ ℝ
2. lim_{n ➝ +∞} c_n = +∞
3. lim_{n ➝ +∞} c_n = -∞

La successione c_n è convergente

La successione c_n è divergente positivamente

La successione c_n è divergente negativamente

Successione convergente

lim_n c_n = l ∈ ℝ ⇔ lim_n |c_n - l| = 0

Definizione: ∀ε > 0 ∃n₀ ∀n > n₀, l - ε < c_n < l + ε

oppure: ∀ε > 0 ∃n₀ ∀n > n₀, |c_n - l| < ε

Successione divergente positivamente

lim_n c_n = +∞ ⇔ ∀K > 0 ∃n_K ∀n > n_K, c_n > K

Successione divergente negativamente

lim_n c_n = -∞ ⇔ ∀K > 0 ∃n_K ∀n > n_K, c_n < -K

Successione regolare

Una successione si dice regolare se commette limite (finito o infinito).

Successione limitata

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale M tale che: |c_n| ≤ M, ∀n ∈ N ⇔ -M ≤ c_n ≤ M, ∀n ∈ N

Teorema: Ogni successione convergente è limitata

Dimostrazione: lim_n c_n = l ∈ ℝ

Hp ε = 1

∃n₁ ε = 1 Per ipotesi sappiamo che |c_n - c| < ε = 1 dunque

utilizzando le disuguaglianze triangolari otteniamo:

|a_n-l| ≤ |a_n|+|l| ≤ |a_n|+1+1 < 1+1 > ∀ n ≥ n₀ (definizione intuitiva)

Quindi ∀ n ≥ N abbiamo |a_n| ≤ M = max{|a₁|, |a₂|, ..., |a_n0|, |l|+1}

lim a_n = l ∈ ℜ ⇔ lim |a_n| = |l| - Teorema

Dimostrazione: ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∀ n ≥ n₀ |a_n-l| < ε per ipotesi

utilizzando le proprietà del valore assoluto: ||a_n|-|l|| ≤ |a_n-l| < ε dunque

∀ ε > 0 ∃ n₀ ∀ n ≥ n₀ ||a_n|-|l|| < ε

Intorni

Dato l ∈ ℜ si dice I(l) l'insieme di un qualunque intervallo aperto contenente il numero l.

Esempio: l ∈ ℜ l = +∞ l = -∞

I(l) = ]l-&,epsilon;, l+ε[ I(l) = ]c, +∞[ I(l) = ]-∞, b]

Definizione generale di limite di una successione

1. lim a_n = l ∈ ℜ ⇔ ∀ I(l) ∃ n_I ∀ n ≥ n_I, a_n ∈ I(l)
2. l ∈ ℜ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n_ε ∀ n ≥ n_ε, a_n ∈ ]l-ε, l+ε[
3. l = +∞ ⇔ ∀ K > 0 ∃ n_K ∀ n ≥ n_K, a_n ∈ ]K, +∞[
4. l = -∞ ⇔ ∀ K<0 ∃ n_K ∀ n ≥ n_K, a_n ∈ ]-∞, -K[

Teorema - Regolarità delle successioni monotone

Se la successione {a_n} è monotona, allora è regolare.

In particolare: Se la successione è crescente, allora il suo limite (n →+∞) coincide con il sup a_n: lim a_n = sup a_n.

Invece, se la successione è decrescente, allora il suo limite (n →+∞) coincide con il inf a_n: lim a_n = inf a_n.

Dimostrazione: Hp {a_n} crescente; Th lim a_n = sup a_n

Vi sono due possibili casi:

un precedente diventa:

a_n-b_n ≤ |b| |a_n-a| + |a| |b_n-b| ≤ |b|ε + Mε.

NB. Limite singolarmente = 0 singolarmente

Quoziente (il limite del rapporto è il rapporto dei limiti)

lim a_n/b_n = a/b

Tranne: ⁰/₀ +∞/±∞ forme indeterminate

0/0 se b = 0

a/b = +∞ se b < 0

a/0 = +∞ se b > 0

0/0 se b < 0

a/b = -∞ se b > 0

a/0 = -∞ se b > 0

b/0 = +∞ se a > 0 e b > 0

b/+∞ = 0 se a > 0 e b > 0

b/-∞ = 0 se a > 0 e b > 0

limite di un polinomio

Per calcolare il limite di un polinomio o più polinomi, occorre mettere in evidenza il termine con il grado maggiore e risolvere il polinomio sulla base del termine messo in evidenza.

Esempio: lim n³/4n = lim 3n⁴(4+1/n) = ¹/₄

Operazioni con i limiti (Parte 2)

Dati i limiti: lim a_n = z ∈ ℝ e lim b_n ∈ ℝ

Esponenziale

lim (a_n)^1/n = bⁿ a_n > 0 ∀n

lim (a_n)^1/b = b^a_n a_n ≥ 0 per il th. delle permanenze del segno

b^z = b^log_ca_n < 0, a < 1; Tranne: 0⁰, 1^∞ (+∞)⁰ forme indeterminate

Alcuni limiti notevoli

lim n! = +∞, lim nⁿ! = +∞: lim log ^a_n/1/n = 0 a_n >= 0, z < ±1

lim log_c = 0 a_n ≥ 0, z ≠ ±1;

Se due sottutte, pur avendo due limiti diversi allora la successione omessa non è regolare.

Se ∃n_k ∃m_k lim_nk x_nk = l ≠ lim_nmk x_nmk = l_e ⇒ A lim_n = x_n

Teorema sulle successioni convergenti

Se |x_n| < limite x_n, cioè |x_n| < M, ϵ ∀M > 0, allora esiste almeno una sottutte che si converge a qualcosa.

|x_n| < M ♢ ∃ ∃n₀ |x_n| < M

∀ ε ε, lim_n x_n = x_i = l

l ε ∈ ℝ

Teorema di cesàro

Se S_n / n è una successione di cesàro allora x_n è limitata, di conseguenza saranno dotate di sottutte con reverso diversi limiti, di cui l’ sarà il più grande limite delle estratte di x_n, mentre l’’ sarà il più piccolo limite delle estratte di x_n.

lim_nknk x_nknk = l’

lim_nmkmk x_nmkmk = l’’

Il teorema di cesàro si afferma:

devi fare regolare (l’) = l’’

Dimostrazione: ∀ ε > 0 ∃k ∀k ≥ k₀ |x_n - x_nk| < ε

( ∃n_k^{n( n_{k + 1}} )

∀ ε > 0, 0 ≤ | l’’ - l’ | < ε( ∃ ) χ l’ = l’’

Dimostrazione limite di n(e^1/n-1)

Si utilizza il criterio del confronto:

( + 1 ^1/n ) ≤ e^1/n ≤ (  + 1 ^1/n

⇒ 1 ( 1

) ≤ n ( e^1/n - 1) < ^{h / n ( 1} )

dunque il lim_n n( e^1/n - 1 ) = 1