Funzioni, successioni e limiti - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

• Funzioni
• Restrizioni di f
• Successioni
• Limiti
• Proprietà e teoremi sui limiti:
  • Teorema Limitatezza
  • Teorema della permanenza del segno
  • Teorema del confronto
  • Teorema somma limiti
• Forme indeterminate
• Limiti di funzioni composte
• Teorema del cambio di variabili
• Funzioni monotone
• Infinitesimi
• Limiti di successioni numeriche
• Successioni monotone
• Numero di Nepero
• Limiti notevoli
• Punti di discontinuità
• Sottosuccessioni

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• Funzioni
• Restrizioni di f
• Successioni
• Limiti
• Proprietà e teoremi sui limiti:
  • Teorema Limitatezza
  • Teorema della permanenza del segno
  • Teorema del confronto
  • Teorema somma limiti
• Forme indeterminate
• Limiti di funzioni composte
• Teorema del cambio di variabili
• Funzioni monotone
• Infinitesimi
• Limiti di successioni numeriche
• Successioni monotone
• Numero di Nepero
• Limiti notevoli
• Punti di discontinuità
• Sottosuccessioni

FUNZIONI

Si chiama funzione una legge che fa corrispondere ad ogni elemento x del dominio uno e uno solo elemento y del codominio.

X = _R e ^{Y = f(x)}

L'insieme X si chiama dominio della funzione, e contiene tutti i valori di X per cui la funzione può calcolare (campo di esistenza).

L'insieme Y si chiama codominio della funzione e contiene tutti i valori che può assumere f(x) = IMMAGINE DI f

L'insieme Gf si chiama grafico di f

Le funzioni possono essere:

1. F si dice iniettiva se associato un elemento x del dominio ad un solo elemento y del codominio non è possibile che alcuni elementi y non sono associati ad alcun elemento x.

   ESEMPIO

2. F si dice suriettiva se ogni elemento y del codominio è associato ad almeno un elemento x del dominio.

   ESEMPIO

Biettiva

F si dice Biettiva se è sia Suriettiva sia Iniettiva.

Allora una funzione è Biettiva e anche Invertibile.

Se x ∈ R e sia f: x → R iniettiva e suriettiva =>

F^-1(y) = x (=>) f(x) = y

Funzione Inversa

Esempio: f è x³ e sia suriettiva, data iniettiva e quindi è Biettiva.

Così significa che è invertibile f(x) = x³ → x^1/3

f(x) = ∛y

Esempio: > No Iniettive e No Suriettive

f(x) = |x| ∀x ∈ R

Dominio = R

Codominio = [0, +∞[

Non è Iniettiva perché per diversi valori di x si può avere la stessa f(x).

Non è Biettiva perché ...

f(x) = x² ∀x ∈ R

Dominio = R

Codominio = [0, +∞[

Non è Iniettiva perché (vedi caso prec.)

Non è Suriettiva perché ...

Simmetrie

Una funzione è PARI se f(x) = f(-x) cioè cambiando il segno di x non cambia di valore f(x) → è simmetrica rispetto l'asse y.

Una funzione è DISPARI se f(x) = -f(-x) cioè se cambiando il segno di x cambia il segno della y → è simmetrica rispetto l'origine.

Una funzione è né pari né dispari se cambiando il segno di x lui cambia completamente. Non è simmetrica.

RESTRIZIONE DI F

Per restrizione di una funzione si intende un funzione ottenuta dalle precedenti per costruzione sul suo dominio.

Data una funzione f: X → R e sia Z ⊆ X la funzione ristretta nell'insieme Z appartiene al dominio X. Sarà

f |_Z : Z → R ⇔ f |_Z = f(x) ∀x ∈ Z

ESEMPIO

f(x) = x² ∀x ∈ Rf : → R

f |_R⁺ = x² ∀x ∈ R⁺f |_R⁺ : R⁺ → R⁺ ⇒ |R

In questo caso f |_R⁺ = x² ∀x ∈ R⁺ è detta e quindi invertibile definiamo g(y) = f |_R⁺ ⇒ g^-1(x) = √x ∀x ∈ R⁺

ESEMPIO

f(x) = sen x ∀x ∈ Rf : R → [-1,1]

Consideriamo la restrizione ∀x ∈ [^-π/₂,^π/₂]f |_{[^-π/2,^π/2]} → [-1,1]

(FUNZ BIETTIVA) → INVERTIBILE

g^-1(y) = arc sen x (ANCHE LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE SONO INVERTIBILI)

Estremo Superiore ed Inferiore di una Funzione

So