Funzioni, successioni e limiti - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

Funzioni

Restrizioni di f

Successioni

Limiti

Proprietà e teoremi sui limiti:

• Teorema Limitatezza
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto
• Teorema somma limiti

Forme indeterminate

Limiti di funzioni composte

Teorema del cambio di variabili

Funzioni monotone

Infinitesimi

Limiti di successioni numeriche

Successioni monotone

Numero di Nepero

Limiti notevoli

Punti di discontinuità

Sottosuccessioni

FUNZIONI

Si chiama funzione una legge che fa corrispondere ad ogni elemento x del dominio uno ed uno solo elemento y del codominio.

Se X ⊂ ℝ e sia f: X → ℝ (funzione reale di variabile reale)

Y = f(x)

• L’insieme X si chiama DOMINIO della funzione e contiene tutti i valori di X per cui la funzione può calcolare (campo di definizione).
• L’insieme Y si chiama CODOMINIO della funzione e contiene tutti i valori che può assumere. f(x) = IMMAGINE DI f

f: X → Y { y ⊂ ℝ : ∃ x ⊂ X | y = f(x) } ⊂ ℝ

• L’insieme GF si chiama GRAFICO DI f

GF = { (x,y) ⊂ ℝ² : x ⊂ X | y = f(x) }

Una funzione avente variabili numeriche nel dominio X, nel codominio e immagine Y è una legge che definisce una variabile dipendente y, che fa corrispondere a x ⊂ X e la variabile dipendente f(x) = y.

Le funzioni possono essere:

1. INIEITTIVA se associato un elemento x del dominio ad un solo elemento y del codominio è ancora possibile che alcuni elementi y non sono associati ad un elemento x.

f: X → Y implica se x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

ESEMPIO x₁ → f(x₁) f: non iniettiva poiché ci sono elementi dello stesso codominio associati ad elementi diversi del dominio.

2. SURIETTIVA se ogni elemento y del codominio è associato ad almeno un elemento x del dominio.

f: X → Y è suriettiva ⇔ ∀ y ⊂ Y, ∃ x ⊂ X ( f: x → y )

ESEMPIO E’ suriettiva se codominio coincide con immagine della funzione.

LIMITI DI FUNZIONI

Sia X ⊂ ℝ e DX ≠ ∅ (Dominio non vuoto)

X ⊂ DX e L ∈ ℝ

f: X → ℝ

Diciamo che, per X → X₀

• ∃ lim_{X → X0} f(x) = L

• se ∀ ε > 0 ∃ σ > 0, ∀ x ∈ X x ∈ ]x₀ - σ, x₀ + σ[ \ {x₀} ⇒ |f(x) - L| < ε
• ∃ lim_{X → X0} f(x) = +∞

• se ∀ K > 0 ∃ σ > 0, ∀ x ∈ X x ∈ ]x₀ - σ, x₀ + σ[ \ {x₀} ⇒ |f(x)| > K
• ∃ lim_{X → X0} f(x) = -∞

• se ∀ K > 0 ∃ σ > 0, ∀ x ∈ X x ∈ ]x₀ - σ, x₀ + σ[ \ {x₀} ⇒ |f(x)| < K

Sia f: X → ℝ e X = (a, +∞ [

Diciamo che, per X → +∞

• ∃ lim_{X → +∞} f(x) = L

• se ∀ ε > 0 ∃ a > 0, ∀ x ∈ (a, +∞) x > σ ⇒ |f(x) - L| < ε
• ∃ lim_{X → +∞} f(x) = +∞

• se ∀ K > 0 ∃ σ > 0, ∀ x ∈ (a, +∞) x > σ ⇒ |f(x)| > K
• ∃ lim_{X → +∞} f(x) = -∞

OPERAZIONI CON I LIMITI

Siano f, g: X → ℝ

x₀ ∈ D(X)

TEOREMA DELLA SOMMA

(f+g)(x) ≝ f(x) + g(x) ∀x ∈ X

Supponiamo lim_x→x₀ f(x) = l

lim_x→x₀ g(x) = m

Allora lim_x→x₀ (f+g)(x) = l+m

DIMOSTRAZIONE

Dobbiamo dimostrare che ∀ε>0 ∃r>0 ∀x ∈ X, |x-x₀| < r ⇒ |(f+g)(x)-(l+m)| < ε

|f(x) - l| + |g(x) - m| < ε/2 + ε/2

|(f+g)-(l+m)| < ε

Questo teorema vale anche nel caso in cui uno dei due limiti sia infinito. Supponiamo

lim_x→x₀ f(x) = +∞

g(x) limitato inferiormente

Allora lim_x→x₀ (f+g)(x) = +∞

ESEMPI

lim_x→0 √x + 2x = 0 + 0 = 0

lim_x→0⁺ 1/x + x = +∞ + 0 = +∞

lim_x→0⁻ 1/x + x = -∞ + 0⁻ = -∞

TEOREMA DEL CAMBIO DI VARIABILI

Siano         Y → ℜ         f : X → ℜ

          y₀ ∈ D_Y              x₀ ∈ D_X

Supponiamo ρ definita tale che     ψ(y) = x

Supponiamo     lim _{y → y0} ψ(y) = x₀      e    lim _{x → x0} f(ρ^-1(x)) = y₀      (o ψ ^-1(x) + …)

Allora   lim _{x → x0} f(x)    se e solo se    lim _{y → y0} f(ψ(y))   e se sono uguali

Allora g si ha quindi   lim _{x → x0} f(x) = lim _{y → y0} f(ψ(y))

ESEMPIO 1

 f(x) = x sen         x > 0

Definiamo         x &to; ∞

Questo il cambio di variabile

 lim _{y → 0}     sen   = 1   (perché lim _{x → 0} sen ²) = 1 è un limite notevole)

3^o Teor.

Divergente e sospirano

lim (1 + 1/x_n)^x_n = e

lim x_n = +∞

se x_n = +∞ allora lim a = +∞

Dimostrazione

• Fissiamo ε > 0 allora |x_n - a| < ε
• Scelgo k = max{ε, x_k}
• Provo se n≥N ⇒ lnx_n > x_k

4^o Teor.

(Passaggio limiti successioni ⇒ limiti funzioni)

Sia X ⊂ R, x_o ∈ DX, f:X -> R, y ∈ R

Esiste lim x→x_o f(x) ⇔ per ogni successione {x_n} di elementi

X - {x_o} tale che lim x_n = x_o si ha lim f(x_n) = y

lim (1 + 1/x_n)^x_n = e

lim n→+∞ (1 + 1/x_n)^x_n = e

(Limite notevole)

Punti di Discontinuità / Singolarità

1. Punto Singolare per f

   se non esiste un [delta] se [lim x]

   se [lim x]_x->x0 f(x) = f(x⁰) oppure [lim x]

   In questo caso [x0] è un punto singolare cioè un punto in

   Esempio [lim x]_x->0 sin x / x esiste una funzione oscillante non

   [CE x->0] esiste e dunque esiste il punto singo

   questo limite

2. Punto di Infinito

   (Se i limiti esistono ma non sono finiti)

   se [lim x]_x->x0 f(x) = +∞ e

   In questo caso x₀ è un punto di infinito e graficamente si

   dice un asintoto verticale

3. Punto di Salto

   (Si esistono limiti finiti e discordi)

   se [lim x]_x->x0 f(x) = l+ oppure

   In questo caso a uno salto della funzione

4. Punto di Discontinuità Eliminabile

   se [lim x]_x->x0 f(x) = f(x₀) oppure quindi [RC]

   Si può eliminare aggiungendo una funzione g(x) che

   uguale f(x) se x ≠ x₀ ed è uguale al limite di f(x) se x = x₀

   [g(x)] = {f(x) x ≠ x₀}

Esempio f(x) = sin x/ x [lim x]_x->0 f(x) =

{g(x) = } x = 0 [g(x) 1 x ≠ 0]