Appunti di analisi 1 su studio completo di una funzione e derivate

Indice documento

• Studio di una funzione
• Continuità
• Teorema dell'esistenza degli zeri
• Corollario dei valori intermedi di Darboux
• Teorema di Weierstrass
• Punti di discontinuità
• Teorema di Heier Canter
• Derivata di una funzione
• Teorema : Derivabilità implica continuità
• Operazione di prodotto
• Operazione di quoziente
• Teorema derivazione funzioni composte
• Funzioni inverse
• Teorema derivazione funzioni inverse
• Definizione di estremi relativi
• Teorema o piccolo – Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy
• Teorema di Lagrange
• Conseguenze del teorema di Lagrange
• Teorema calcolo estremo relativo
• Teoremi di De L' Hopital
• Punti di non derivabilità
• Derivate di ordine superiore
• Definizione di polinomio di Taylor
• Teorema di Taylor con resto di Lagrange
• Teorema di Taylor con resto di Peano
• Funzioni convesse e concave
• Punti di flesso
• Teorema (Estremi relativi attraverso derivate di ordine superiore)
• Successioni definite per ricorrenza

Attenzione: TUTTI (o quasi tutti) I TEOREMI SONO DIMOSTRATI

Studio di una funzione

1. C.E.

\(\mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}\)

Esempio: \(f(x) = \frac{x}{x}\)

\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)

\(g(x) = \begin{cases} R(x) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}\)

C.E. \(x \neq 0\)

Si considerano tutti i punti di accumulazione di \(\mathbb{X}\)

\(\forall x_0 \in \text{DX}\)

\(x_0 \in \mathbb{X}\)

1. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\)

In tal caso si dice \(f\) è estendibile in \(x_0\)

\(g(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq x_0 \\ l & x = x_0 \end{cases}\)

Diciamo che \(g\) estende \(f\)

2. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty\)

In tal caso diciamo che la retta \(x = x_0\) è asintoto verticale di \(f\)

Significo che

Supponiamo per assurdo che:

f(c) < 0 usiamo la continuità in c k < 0 perm di st por immed f cont in c mi implica che lim x→c f(x) = f(c) = o ∃ J ⊃ (c ε) f(x) < 0 ∀ x ∈ J

∀ x ∈ J c-ε < c c+ε J ⊃

⇒ c + J ε ∈ V

assurdo ≠

Corollario dei valori intermedi di Darboux

Sia f:(a,b) → R continua

(potrebbe a=∞ b=∞)

Allora per ogni X ∈ R:

mf f(b,a) < X ≤ sup f

I ∈ ε (a,b) f(c) =

Notazione

mf f = mf (f(a,b)) =

= mf{ f(x) : x∈(a,b)}

3) Definizione 3: Discontinuità di 2^a specie

se almeno uno dei due punti:

l e ±∞

4) Definizione 4: Discontinuità di 3^a specie

se e

oppure

Funzioni uniformemente continue:

Definizione: Sia

f si dice uniformemente continua su un insieme

OSSERVAZIONE Tutte le operazioni algebriche, log, esponenziali, valore assoluto... sono tutte continue IMPORTANTE la composizione di due funzioni continue è continua.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Sia f: [a,b] → ℝ e x₀ ∈ ]a,b[ diciamo che f è derivabile nel punto x₀ se è finito, cioè lim_x→x0 f(x) - f(x₀) / (x-x₀) = f'(x₀)

f(x) - f(x₀) / (x-x₀) viene denotato come rapporto incrementale di f nel punto x₀.

DEFINIZIONE f si dice derivabile su [a,b] se è derivabile in ogni punto di ]a,b[

NOTA: La derivata di f è sempre considerata nei punti interni al dominio.

Nei punti estremi all'intervallo (a,b) si considera la derivata destra.

f'⁺(a) = lim_x→a⁺ f(x) - f(a) / (x-a) → "DERIVATA DESTRA"

OSSERVAZIONE Notiamo che f è derivabile in x₀ ∈ [a,b] se e solo se lim_h→0 f(x₀+h) - f(x₀) / h = f'(x₀) (basta porre y=x₀+h)

ALTRA OSSERVAZIONE se f: (a,b) → ℝ allora si può definire la nuova funzione f': ]a,b[ → ℝ ad ogni punto x associa f'(x)

Proposizione (Operazione Prodotto)

Sia f,g: (a,b) → ℝ

x₀ ∈ ]a,b[

f,g derivabile in x₀ ⇒ f·g è derivabile in x₀

possiamo calcolare la derivata

(f·g)'(x₀) = f'(x₀)·g(x₀) + f(x₀)·g'(x₀)

dimostrazione

Usiamo la definizione

lim_x→x0 [f(x)·g(x) - f(x₀)·g(x₀)] / (x - x₀) =

lim_x→x0 [aggiungiamo e sottraiamo] (f(x)·g(x₀) + f(x₀)·g(x) - f(x₀)·g(x₀)) / (x - x₀) =

lim_x→x0 [(f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)]·g(x) + f(x₀)·[(g(x) - g(x₀)) / (x - x₀)]

quindi:

lim_x→x0 f'(x)·g(x) + f(x₀)·g'(x₀)

Proposizione Operazione Reciproco

f: (a,b) → ℝ, x₀ ∈ ]a,b[

&exists; (x₀ - τ, x₀ + τ) ⊆ (a,b); f(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I (x₀, τ)

f derivabile in f(x₀) ⇒ 1/f è derivabile in x₀

(f^-1)'(x₀) = -f'(x₀) / [f(x₀)]²

dimostrazione simile alla precedente

arctg: ]-π/2; π/2[_->ℝ

= biunivoco quindi invertibile

e la sua funzione inversa di tg x_traslata

come

arctg: ℝ -> ]-π/2; π/2[

Teorema derivazione funzione inversa

Sia f: ]a,b[ -> ℝ invertibile, x₀ ∈ ]a,b[

vogliamo che

f sia derivabile, f'(x₀) ≠ 0

f^-1 derivabile in y₀ in f^-1(x) = y₀

e si ha (f^-1)'(y₀) = 1 / f'(x₀)

Esempio:

Calcoliamo:

(arctg y)'

Variabile della tg

(arctg y)' = 1 / (tg x)' = 1 / (cos² x)

= 1 / 1 + tg² x ma y = tg x

che variabile della codominial della tangente di x

= cos² x, utilizzano le formula parametrica

=> 1 / 1 + y²

(arcosn y)' = 1 / √(1-x²)

(arcsn y)' = 1 / √(1-x²)

Determinare dominio

f(x) = √(1 + x + 2 - x + 1 + φ)_<M (x + 2)x ≥ 0 (con x < 0)

e - Δ negativi

x + 2 ∈ ] 1 [ x + 9 > 0 = x + 2 ∈ 0 ∈ ] 0

c.e. ℝ