Appunti Analisi 1

Lezione 1 5/10/2020

Terminologia e notazioni

1. Insieme: Collezione di oggetti. Un insieme è ben individuato se per ogni oggetto è possibile stabilire con certezza se esso appartiene o meno all'insieme.

• Si denota con lettera maiuscola (A, B, C, X, ... sono insiemi)
• Gli oggetti si denotano con lettera minuscola a ∈ A b ∉ B

esempi:

• A = {2,4,3}
• B = {x ∈ℤ : 0 < x < 5} B = {1,2,3,4}
• C = {x ∈ℤ: x soddisfa all'equazie}

OSS: In un insieme non esiste ordinamento {1,2,4} = {2,3,1} = {3,2,1,3}

In un insieme non esiste molteplicità {1,2,3} = {3,2,1,3}

∅ = insieme vuoto, non contiene nessun elemento

Insieme finito

contiene numero finito di elementi.

Insieme infinito

contiene numero infinito di elementi

esempi:

• x = l.soluzioni reali dell'eq. x² - x - 3 = 0
• x = l.soluzioni reali dell'equazie x² < x - 1 x ∈ ℝ con x > ρ

Confronto fra insiemi:

• Inclusione: A ⊆ B ⇨ ∀a ∈ A a ∈ B (solo se A = B) b ∈ B e b ∈ A f ⊥ B
• A ⊆ B A non è contenuto in B ∃a ∈ A: a ∉ B

OSS: importante: a = d fini dei demen e unisce i due insiemi.

Operazioni fra insiemi

Siano A, B ⊆ X insiemi.

• A ∩ B intersezione a ∈ A B ∈ X ∀ x ∈ X: x ∈ A ∩ B a ∈ A b ∈ B
• A ∪ B unione: x ∈ A ∨ x ∈ B a ∈ A complemento.
• ⊕ A ∤ B differenza x ∈ A
• ⊕ A^C complemento x ∉ A
• Prodotto cartesiano: Siano A, B insiemi

A X B = A cartesiano ⊇ b, c e (a,b), (a,c) B.

OSS: A X B fin P fin la propria sona condule.

esempio:

• A = {x,y,z}, B = {rosso, verde, giallo}

A X B = {(x, rosso), (y, verde), (x, giallo), (r, rosse), (r, verde), (r, giallo)}

Insiemi Numerici

N = {numeri naturali} = {0, 1, 2, 3...}

m ∈ N

Z = {numeri interi (relativi)} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

m ∈ Z

Q = {numeri razionali} = {m/n} ∈ Q

q ∈ Q

R = {numeri reali}

x ∈ R

C = {numeri complessi}

x ∈ C

Esempio

1/2 = 5/10 5 ∈ Z, m ∈ Z, m ∈ N, mp = 5

3 = 3/2 = {m, ∈ Z, m0 3/2

Nota: 3 = {0}; 3 = ∞ decimali periodici con una parte finita dopo la virgola, parte infinita ma con un periodo

(3) = 3,333 Q = 3, 33333 ∈ Q

Nota: R1 = numeri decimali qualsiasi

Esempio: 1, 2

Esempi numerici 1, 2

I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata

Nota: esistono alunni decimali che corrispondono allo stesso numero razionale!

Esempio: 1,0 = 0,9 = 0,9999... Sono esempi!

Intervalli:

• [0, 3] ⊆ x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 3
• (0, 3) ⊆ x ∈ R: 0 < x < 3
• [ 1, +∞ ) ⊆ x ∈ R ⊂ 1 ≤ x < 3
• Nota: in precedenza spaventa! 1,000 R
• ( -∞, 3] ⊆ ∃ R ⊆ 1 ≤ x ≤ 3

1. [0, 3] x (0, 3] ⊆ (x,y) ∈ R² ⊆ 0 ≤ x ≤ 1, 2 < y ≤ 3

1^o Assioma di Completezza di R

Operazioni in N, Z, Q, R:

• N: somma. Non esiste l'opposto. prodotto No quoziente.
• Z: somma opposto (l'inverso) prodotto No quoziente.
• Q e R: somma opposto prodotto quoziente.

Proprietà delle operazioni (in R e in Q):

• Somma: commutativa:_ϰ,ψ ϰ+ψ=ψ+ϰ associativa:_ϰ,ψ,ζ (ϰ+ψ)+ζ=ϰ+(ψ+ζ) esiste il neutro (0) l'opposto (ϰ,-ϰ)
• Prodotto commutativo: associativo:_ϰ,ψ ϰψ=ψϰ neutro (1): ϰ·1=ϰ (ϰ ≠ 0) E l'inverso (ϰ≠0) _{ϰ ∈ Q ϰ ∈ R} Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: _ϰ,ψ,ζ ϰ(ψ+ζ)=ϰψ+ϰζ

R e Q sono campi:

• Esiste (R, ϰ, ψ) un ordinamento: ϰ≤ψ
• Compatibile con le operazioni, cioè:
• _∀ϰ,ψ,ζ ϰ≤ψ ⇔ ϰ+ζ≤ψ+ζ
• _ϰ,ψ>0 ϰψ>0 ⇔ ϰψ≤γ

R e Q sono campi ordinati. Q ⊆ R esistono i numeri irrazionali

Proposizione:√2∉Q IMPORTANTE

dimostrazione per assurdo

_{Supponiamo per assurdo che √2 ∈ Q,} quindi, ∃m e ∃n, co m,c n, _{m,n ∈ N, m≤n , n≠0} t.c. √2 = m/n

Qundi √2 è un nume