Appunti Analisi 1

Lezione 1     5/10/2020

Terminologie e notazioni

Insieme

Collezione di oggetti. Un insieme è ben individuato se per ogni oggetto è possibile stabilire con certezza se esso appartiene o meno all'insieme.

• Si denota con lettera maiuscola (A, B, C, X, … sono insiemi)
• Gli oggetti si denotano con lettera minuscola (a ∈ A)     b ∉ B

Esempi:

• A = {1, 2, 3}
• B = {a, e, i, o, u}
• Insieme dei numeri naturali N
• Insieme dei numeri interi Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Insieme dei numeri razionali Q = { a/b | a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0 }
• Insieme dei numeri reali R
• Insieme dei numeri complessi C = { a+bi | a,b ∈ R }
• Insieme dei numeri primi P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
• Insieme vuoto ∅: non contiene nessun elemento

Insieme finito

Contiene un numero finito di elementi.

Insieme illimitato/finito

Contiene un numero infinito di elementi.

Esempi:

1. {x ∈ R | x < 0} insieme finito
2. {x ∈ R | x è pari} insieme illimitato/infinito

Confronto fra insiemi

• A ⊆ B     ≤a ∈ A → a ∈ B
• a ∈ B e b ∉ A

Note: A ≠ B e A non è contenuto in B

• ∃ a ∈ A : a ∉ B

OSS. importante: due insiemi che non sono disgiunti hanno intersezione non vuota.

Operazioni fra insiemi

Siano A, B ⊆ X, due insiemi.

• A ∩ B = intersezione
• ∀x ∈ X : x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A e x ∈ B
• A ∪ B = unione
• ∀x ∈ X : x ∈ A ∪ B ↔ x ∈ A o x ∈ B
• A \ B = differenza
• ∀x ∈ X : x ∈ A \ B ↔ x ∈ A e x ∉ B
• Ȧ = complementare
• ∀x ∈ X : x ∉ Ā ↔ x ∈ Ā
• Prodotto cartesiano: siano A, B insiemi

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

OSS: A × B ≠ B × A opps sono invertite

Esempio:A = {x, y}     B = {rosso, verde, giallo}A × B = {(x, rosso), (x, verde), (x, giallo), (y, rosso), (y, verde), (y, giallo)}

Def: Sia E ⊆ R, f∈R

diciamo che M∈R è un maggiorante per E se ∀x ∈ E x ≤Moppure che M∈R è un minorante per E se ∀x∈E x≥m

Oss: se E è sup-limitato esiste un maggiorante

m non è detto che esista un maggiorante/minorante per un insieme E, se però ne esiste si esistono infiniti

Esempio 1

1) E={−2,5,7,9}2) inf E=−2 ; sup E=93) Visto che inf E m è un minorante per E4) Esx∈R m≤x≤M M=xx₁=−3₂ x₃ x₄ Mm₁ m₂Es={−∞,+∞}

Def: Sia E⊆R, f∈R

diciamo che x₀∈R è il massimo di f. se− Rx0∈=M maggiorante Eoppure che x₀∈R m é un minorante E, se x₀∈R

Oss: se x sup x max E ⊆ E m max E1) sup E , sup E mmax E2) sup e mmax E non necessari3) a max è x4) x₀∈E max allora E5) x max

Per assurdo suppongo che x₀∉max E e x sup E m max sup R

priviior x_masallora x Epoichè 9 max allora x₀ E x_mas

Esempio Importante

E={5x⁴=3x²+max[0]=sup[3x²+3} x ≤ M

m_x1 x=0

max = −2m=3₁x₂ x

max esiste D=0=si Eparabola max! altrimenti ma max-minorante per=x₁ ab modulo 3 non1) E sup-lim non sup |max |, fam boole

^La = 3√27 | + inf sup c_cos vvi inf) quando e mag agarantato

E è sup-lim ab allora inf exist R[0,9], non se insieme ininterrotto

def:

data una successione {a_n}, dico che essa possiede definitivamente la proprietà P se ∃m ∈ N t.c. a_n soddisfa P ∇ ∇ n ≥ n_n.

• ∃ n ≥ 1 t.c. a_n = 5
• a_n = 5
• definitivamente uguale a 4
• ∃ n ∈ N t.c. a_n ≤ 1
• a_n ≤ 1, ∀ n ≥ n₂
• definitivamente positiva

def:

Una successione {a_n} si dice superiormente/inferiormente limitata

se l'insieme r({a_n}) ammette un massimo

Oss:

• Σ^∞_n=0 ¹e^-n = 1

Def:

limite di successione e successione convergente

diciamo che {a_n} è una successione

se ∀ ε > 0  ∃n₀ ∈ N

a_n = a_m se n, m ≥ n₀

oss:

• Un limite argomento
• lim a_n ¹→ x∈n
• successioni, se lim a_n = 0

Funzioni monotona successione

Valore più grande della successione che interseca la striscia tra l-e e l+e

1)

lim a_n bin ... -100

Se la base, espressione maggiore di 1, allora ...

Se la base, espressione minore di 1, allora ...

(Rivare che la base è tendente fino a ...)

Risolvere la dise in R

... log log a ...

x₁ 15 4 log k …

Calcoliamo la base delle ...

(... ... ...)

x₂ 8 log m ... L²

Se confrontiamo questi valori ... x₁ ... x₂

Se x₁ cons... toryticapro ... ... (x+1) log(10 ...)

quando basta procedere m₃ ...

m₁ ... log

Se momero oder potentata altama x₄ 5 ...mm

x₁ and toryti

2)

a_n in m∈ cos (x) 3/s metri

• mes ... ... 2 cos(3x+1)
• mes ... ... 5 cos (...)
• mes ... cos(...) ... (. ..cos)
• mes ... cos(...)
• mes ... cos(...)
• mes ... .... cos(...)4

Vensetiuma con l n que che Rm o ...

Non comp...muviano bene ... m ... cos ... ?

Se vensiamo mette le t...n ...3 ... ... ... ... m ... cos(x)=m

m=arg ...m STATS

basta scegliere m∈[m₁,x+1] 4

3)

a_n ... (x ...)

lim a_n m ... cos(m+1)

• mcono
• am m
• m-o e conosciere
• esemo

Notaioni: Scriveremo Lb m ... ... n

Lm ... Ln

Lm ... ln ...

...R

3) Fondamentale

Se _n → 0, sin_n / _n = 1

cos_n = 1 - _n² / 2

dim

cos_t → 1

quando per hò considerato

sin_n / _n → 1

quando _n → 0⁺

Teoremi del confronto per successioni divergenti

Teorema:

• _n divergente positivo +_n ≈ +∞
• _n divergente una _n uguale a _n

Condizion:

• Se _n e _n ∈ R⁺, _n = _n ++ ∞
• Se _n ≤ _n e _n 

Esempesi:

1. _n ≤ m = [√_n² + 2]/_n 0⁺
2. _n m = 1 - cos ^2_n

cos(1/n²) = cos( ^s/_n) = cos(1) = 0 un

Lezione 9

27/10/20

Teorema. (Gerarchia degli Infiniti)

Si ha:

Conclusione:

Oss:

Esempi:

1. lim_n→∞ log(n!)ⁿ = an log a_n
2. lim_n→∞ log(logn)n; n²; logn
3. lim_n→∞ vⁿ_m→p = ∞log a_m