Appunti Analisi 1

R

mente gli elementi separatori:

(i) [0, 1], [1, 7];

{2,

(ii) [0, 2[ , 3};

3 3

{x ∈ {x ∈

(iii) : x < 2}, : x > 2};

R R

{n ∈ {n ∈ ≥

(iv) : n < 6}, : n 6};

N N

√

2

{r ∈

(v) : r < 2}, ] 2, +∞[;

Q 2 4

{x ∈ {x ∈

(vi) : x < 1}, : x > 1}.

R R

9. Una sezione di è una coppia (A, B) di sottoinsiemi separati di tali che

R R,

∪

A B = Si dimostri che l’enunciato

R.

“per ogni sezione (A, B) di esiste un unico elemento separatore fra A e B”

R

è equivalente all’assioma di completezza di R.

10. Si provi che esistono sezioni (A, B) di prive di elemento separatore in

Q Q.

2

{x ∈ ≤ ∪ {x ∈

[Traccia: si considerino A = : x 0} : x > 0, x < 2} e

Q Q

\

B = A.]

Q ⊆ ⊆ 6 ∅,

11. Provare che se A B e A = allora

R ≤ ≤ ≤

inf B inf A sup A sup B;

si forniscano esempi in cui una o più disuguaglianze sono strette.

15

12. Sia A un sottoinsieme non vuoto e limitato di e poniamo

R,

{−x ∈

B = : x A}.

Si provi che − −

sup B = inf A, inf B = sup A.

13. Provare che se A, B sono sottoinsiemi non vuoti e limitati di si ha

R

∪ ∪

sup A B = max{sup A, sup B}, inf A B = min{inf A, inf B}.

∩ 6 ∅,

14. Provare che se A, B sono sottoinsiemi di con A B = allora

R

∩ ≤ ∩ ≥

sup A B min{sup A, sup B}, inf A B max{inf A, inf B};

si verifichi che le disuguaglianze possono essere strette.

∞[ ≤

15. Siano A, B sottoinsiemi non vuoti di ]0, . Se esiste K > 0 tale che xy K per

supAB ∈ ∈

ogni x A e per ogni y B, si provi che

· ≤

sup A sup B K.

16. Calcolare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dei seguenti sottoinsiemi di R,

specificando se si tratta di massimi o di minimi:

2x

2 2

∈ {x ∈

: x ; (ii) + y : x, y [−1, 1], x < y};

(i) R

2

x +1 1

2 2

{x −

(iii) x + : x> 0 ; (iv) y : 0 < x < y < 4};

x 1

n−1

+

∈ ∈

: n ; (vi) : x ;

(v) N R

2

n 1+x

n o

k

(−1) 1

+

∈ ∈ \ {0}

(vii) ; (viii)

: k : k .

N Z

3

k k

∈

17. Siano a, b, c, d Mostrare che:

Q.

√ ⇐⇒

2 = 0 a = b = 0;

(i) a + b √ √ ⇐⇒

(ii) a + b 2 + c 3 = 0 a = b = c = 0;

√ √ √ ⇐⇒

(iii) a + b 2 + c 3 + d 5 = 0 a = b = c = d = 0.

∈

18. Per quali x sono vere le seguenti asserzioni?

R √

2 2 2

2

·

(i) (−x) x > x; (ii) x = x; (iii) (−x ) > 16.

16

1.6 Numeri naturali, interi, razionali

nzq A partire dagli assiomi di ed in particolare dall’assioma di continuità, possiamo ora

R,

rivisitare in maniera più rigorosa alcuni concetti che abbiamo conosciuto e adoperato

su base intuitiva fin dalla scuola dell’obbligo. Cominciamo ad esaminare l’insieme dei

N

numeri naturali e le sue apparentemente ovvie proprietà.

Ci occorre anzitutto la seguente ⊆

Definizione 1.6.1 Un insieme A si dice induttivo se verifica le seguenti condi-

induttivo R

zioni: ∈

(i) 0 A, ∈ ∈

(ii) per ogni x A si ha x + 1 A. ≤

Ad esempio sono insiemi induttivi [a, +∞[ per ogni a 0, ]b, +∞[ per ogni b < 0.

R,

⊆ ∩

Si noti che se A, B sono induttivi, anche la loro intersezione A B lo è; anzi, dato

R

un qualunque insieme di indici I e presa una arbitraria famiglia di insiemi induttivi

{A } , la loro intersezione

i i∈I \ {x ∈ ∈ ∀i ∈

A = : x A I}

R

i i

i∈I ∈ ∈

è un insieme induttivo: infatti 0 A per ogni i I in quanto ciascun A è induttivo,

i i

∈ ∈

e se x A per ogni i I, lo stesso si ha per x + 1, sempre a causa dell’induttività di

i

ciascun A .

i

Definizione 1.6.2 Chiamiamo insieme dei numeri naturali, e denotiamo con l’in-

N N,

tersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di R.

Da questa definizione segue subito che è il più piccolo insieme induttivo: infatti se

N

⊆

A è induttivo, esso viene a far parte della famiglia di insiemi di cui è l’intersezione,

R N

⊆

cosicché A. Dunque in c’è “il minimo indispensabile” di numeri che occorre per

N N

essere induttivo: perciò ci sarà 0, ci sarà 1 = 0+1, ci sarà 2 = 1+1, ci sarà 3 = 2+1, e cosı̀

via. Questa definizione di è stata però introdotta proprio per evitare di far uso della

N

locuzione “...e cosı̀ via”: a questo scopo conviene introdurre il seguente fondamentale

⊆

Teorema 1.6.3 (principio di induzione) Sia A un insieme definito da una

induzione N

{n ∈

certa proprietà p(n), ossia A = : p(n)}. Supponiamo di sapere che

N

∈

(i) p(0) è vera, ovvero 0 A; ∈ ∈ ∈

(ii) p(n) =⇒ p(n + 1) per ogni n ovvero se n A allora n + 1 A.

N,

∈ ⊆

Allora p(n) è vera per ogni n in altre parole, si ha A e dunque A =

N; N N.

Dimostrazione Si tratta di una immediata conseguenza della definizione di In

N.

effetti, per ipotesi A è contenuto in le condizioni (i) e (ii) ci dicono d’altronde che

N;

l’insieme A è induttivo, e quindi A contiene per definizione di se ne deduce che

N N:

17

A =

N.

Il principio di induzione è importante non solo come metodo dimostrativo, come vedre-

mo, ma anche perché consente, nell’ambito della nostra teoria (dedotta dagli assiomi di

di introdurre definizioni ricorsive in modo non ambiguo.

R),

Esempi 1.6.4 (1) (Fattoriale) Consideriamo la sequenza di numeri cosı̀ definiti:

dopoinduz a = 1,

0 · ∀n ∈

a = (n + 1) a N.

n+1 n

· · · · · ·

Si vede subito che a = 1, a = 2 1, a = 3 2 1, a = 4 3 2 1, “e cosı̀ via”; fissato

1 2 3 4

∈

n il numero a cosı̀ introdotto si chiama fattoriale di n e si scrive a = n! (si legge

N, n n

“n fattoriale”). {a }

(2) (Somme finite) Data una famiglia infinita di numeri reali , consideriamo la

n n∈N

sequenza di numeri cosı̀ definita:

s = a

0 0 ∀n ∈

s = a + s N.

n+1 n+1 n

Si ha chiaramente s = a + a

1 0 1

s = a + a + a

2 0 1 2

s = a + a + a + a

3 0 1 2 3

s = a + a + a + a + a

4 0 1 2 3 4

“e cosı̀ via”; per il numero s , che è la somma di a , a , a , eccetera, fino ad a , si usa

n 0 1 2 n

il simbolo n

X a .

s = k

n k=0

Si noti che la variabile k dentro il simbolo di somma Σ è “muta”: ciò significa che

s è un numero che dipende solo dall’estremo n della somma, e non da k, il quale è

n

solo una lettera per denotare gli addendi della somma. In particolare, potremmo usare

qualunque altro simbolo al posto di k senza alterare il valore di s :

n

n n n n

X X X X

a = a = a = a .

k i & pippo

i=0 pippo=0

k=0 &=0

Naturalmente, è anche lecito considerare somme finite il cui primo estremo sia un

numero diverso da 0: ad esempio

34

X k = 30 + 31 + 32 + 33 + 34 = 160.

k=30 {a }

(3) (Prodotti finiti) In modo analogo al caso delle somme, data una famiglia n n∈N

di numeri reali si definisce la seguente sequenza di numeri:

p = a

0 0 · ∀n ∈

p = a p N;

n+1 n+1 n

18

si ha p = a a , p = a a a , p = a a a a , e per il numero p si usa il simbolo

1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 n

n

Y

p = a ,

n k

k=0

ove nuovamente k è una variabile muta. Si noti che, in particolare,

n

Y +

∀n ∈

n! = k .

N

k=1

(4) Sia q un numero reale. La somma n

X

2 3 n k

1 + q + q + q + ... + q = q

k=0 k

si dice progressione geometrica di ragione q. Naturalmente, q significa 1 se k = 0,

mentre se k > 0 denota il prodotto di k fattori uguali a q; nel caso speciale k = 0 e

k

q = 0 il simbolo q deve intendersi come 1.

Proviamo che si ha (

n n + 1 se q = 1

X k ∀n ∈

q = N,

n+1

1−q 6

se q = 1

k=0 1−q 6

Se q = 1, la dimostrazione è banale e si lascia per esercizio. Supposto q = 1, indichiamo

con p(n) l’enunciato seguente: n n+1

−

1 q

X k ”.

p(n) = “vale l’uguaglianza q = −

1 q

k=0

Allora p(0) è vera in quanto 0 1

−

1 q

X k 0

q = q = 1 = ;

−

1 q

k=0 ∈

Supponiamo adesso che p(n) sia vera per un dato n e proviamo a dedurre p(n + 1)

N,

(il che, di per sé, non significherà che p(n) e p(n + 1) siano vere per davvero!). Si può

scrivere, isolando l’ultimo addendo,

n+1 n

X X

k k n+1

q = q + q ,

k=0 k=0

e poiché stiamo supponendo vera p(n), otteniamo

n+1 n+1 n+1 n+1 n+2

− − − −

1 q 1 q + (1 q)q 1 q

X k n+1

q = + q = = ,

− − −

1 q 1 q 1 q

k=0 19 ∈

che è proprio p(n + 1). Abbiamo cosı̀ provato che p(n) implica p(n + 1) per ogni n N.

∈

Poiché p(0) è vera, dal principio di induzione segue che p(n) è vera per ogni n N.

(5) Proviamo la disuguaglianza n ≤ ∀n ∈

2 (n + 1)! N.

n 0

≤

Posto p(n) =“2 (n + 1)!”, vediamo che p(0) è vera in quanto 2 = 1 è effettivamente

non superiore a 1! = 1. Supposto ora che p(n) sia vera, si può scrivere

n+1 n

· ≤ ·

2 = 2 2 2 (n + 1)! ;

≤ ∈

da qui ricaviamo, essendo ovviamente 2 n + 2 per ogni n N,

n+1 ≤

2 (n + 2)(n + 1)! = (n + 2)! ,

il che mostra che vale p(n + 1). Abbiamo cosı̀ provato che p(n) implica p(n + 1) per

∈

ogni n essendo anche p(0) vera, per il principio di induzione p(n) è vera per ogni

N:

∈

n N.

(6) Proviamo la disuguaglianza

2 n

≤ ∀n ∈ ≥

n 2 n 4.

N,

2 n

≤

Posto p(n) =“n 2 ”, osserviamo che p(0), p(1) e p(2) sono vere mentre p(3) è falsa;

∈ ≥

inoltre p(4) è vera. Proviamo adesso che p(n) =⇒ p(n + 1) per ogni n con n 4:

N

usando l’ipotesi induttiva, si ha

n+1 n 2 2 2

· ≥

2 = 2 2 2n > n + 2n + 1 = (n + 1) ;

2 2

−2n+1

la seconda disuguaglianza è vera in quanto equivale a n > 2, ossia a (n−1) > 2,

≥

e quest’ultima è verificata addirittura per ogni