Analisi 1 - appunti per esame completo

Calcolo approssimato di un'area

• area sotto la curva = somma delle aree dei segmenti
• è sbagliato se prendere y_i che fitta come altezze (per area rettangolo)
• se considero il segmento ho informazioni su come si comporta il grafico (si alza o si abbassa) → diventa l'area di un trapezio

A_trapezio: 1/2 (y_i + y_i+1) (x_i+1 - x_i)

A_tot = 1/2 ∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1) (x_i+1 - x_i) = 1/2 (b-a) / N ∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1)

• b-a / N → prelievato intervalli di uguale ampiezza

∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1) = y₀ + y₁ + y₁ + y₂ ... + y_N-1 + y_N

quindi è pari a y₀ + y_N + 2 ∑_i=1^N-1 y_i

quindi ottengo

□   A_tot = 1/2 (b-a) / N (y₀ + y_N + 2 ∑_i=1^N-1 y_i)

Successioni

a_nk = elemento

{a_k} = successione di tutti elementi

Relazione di Ricorrenza

a_k = f(a_k-1)

• a un precedente associa un successivo

Successione Geometrica

{ a_k = r a_k-1 a₀ }

=> a_nk = r^k a₀ r = ragione

fattore moltiplicativo, la succ.

geometrica vera e propria e r^k (elemento iniziale)

Per determinare

Σ a₀ r^k = a₀ Σ r^k:

Σ_k=0ⁿ r^k, S_n = 1, r, r², ..., rⁿ

rS_n = r, r², ..., rⁿ, rⁿ⁺¹

Quindi S_n - rS_n = S_n(1-r) = 1-rⁿ⁺¹

Quindi S_n = (1-rⁿ⁺¹) / (1-r) pero' a₀ Σ r^k = a₀ (1-rⁿ⁺¹) / (1-r)

Se r=1 → basta che conti i termini. S_n = n+1

n=1 => bn=4 quindi an<4

quindi an è monotona e limitata

=> esiste il suo limite finito

Numero di Nepero

e = lim (1 + 1/n)ⁿ

|e-an|< bn-an

bn-an = 1/n (1+1/n)ⁿ < 4/n (1/n-an)

Serie

Paradosso Achille-Tartaruga (sA > sT)

t=L per A, per arrivare a T.

se vT≠vT = ẏ_Tt+L => ẏ_c = L/v_A-v_T

è una distanza irraggiungibile

ẏ₁ (A arriva alla posizione di T); v_Aẏ₁ = L => ẏ₁ = L/v_A

S₁ (spazio percorso da T in ẏ₁) ; v_T-ẏ₁ = v_T • L/v_A

ẏ₂ • v_Aẏ₂ = s₁ => ẏ₂ = v_T/v_A² L

S₂ • v_Tẏ₂ = (v_T/v_A)² L

quindi S_n = (v_T/v_A)ⁿ L

Σ S_K = Σ(v_T/v_A)^K L

suc. geometrica,

r = (v_T/v_A)(<1)

Non vale il viceversa: esempio:

a_k=(-1)^{k 1}/_k → ∑ ^∞/_k=1 1/k diverge (→ valore assoluto)

(→)

(→)

(→)

(→)∑ ^∞/_k=1 (-1)^{k 1}/_k converge

Funzioni

Funzione crescente: F. non decrescente:

^{f(x₂) - f(x₁)}/_x2-x1 > 0          (←)

^{f(x₂) - f(x₁)}/_x2-x1 ≥ 0

F. decrescente: Funzione non crescente:

^{f(x₂) - f(x₁)}/_x2-x1 < 0          (←)

^{f(x₂) - f(x₁)}/_x2-x1 ≤ 0

∀x₁,x₂ ∈ I

Le funzioni crescenti e decrescenti (sono iniettive) sono invertibili. Le funzioni non strettamente monotone non sono invertibili.

Diciamo che una funzione è limitata in I ⊂ dom f se ∃M : |f(x)| ≤ M ∀x ∈ I

Massimo assoluto in x₀ : f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ dom f(x₀).

Minimo assoluto in x₀ : f(x₀) ≤ f(x) ∀ x ∈ dom f(x₀).

Massimo e minimo relativi sono verici solo in un intorno di x₀. (∀x ∈ I_x0/{x₀})

Poi può tendere a 0 se

e

Definisco allora la derivata di f in x₀:

Quindi:

Se chiamo x = x₀ + h:

Rapporto incrementale

Osservazione:

Definisco

D1 = -^f'(x)⁄_f(x)

ricapitolando in contemporanea con ¹⁄_fx:

¹⁄_fx, f(x₀)-f(x), f(x)-f(x₀) ^f(x)-f(x₀)⁄_x-x0 ^x-x₀⁄_f(x)-f(x0) => f'(x₀) => f(x₀)

=> ^f'(x₀)⁄_f²(x0)

f(x) - ^{f'(x)·g(x)-g'(x)·f(x)}⁄_g²(x)

Lo considero come f(x). ¹⁄_g(x) (inoltre riservato incarnazione)

=> f'(x).¹⁄_g(x), f(x). ^g'(x)⁄_g²(x) = ^{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}⁄_g²(x)

D f(g(x)) = f'(g(x)).g'(x)

Posso dire che: g(x)-g(x₀)= (x-x₀)(g'(x₀)±u) f(y)-f(y₀)= (y-y₀) (f'(y₀)+u)

Sostituzioni: g(x) => y g(x₀)=y₀

=> f(g(x))-f(g(x₀)) = (f'(g(x₀))±u)(g'(x₀)±u)(x-x₀) y=>y₀ f(g(x))-f(g(x₀)) ^{f(g(x))-f(g(x₀))}⁄_x-x0 = ^{(f'(g(x₀)±u)}⁄₀ (g'(x₀)±u) => D f(g(x₀)) => f(g(x₀)) => ^g'(x₀)⁄₀

=> f(g(x₀)). g'(x₀).

(limite per x=>x₀=> g(x)=>g(x₀)=> y=>y₀)