Analisi 1 - appunti per esame completo

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Revisionato il 26/05/2026

di G_dipalma

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Rielaborato degli appunti presi durante le lezioni del corso di analisi matematica del docente A. Morro per ingegneria informatica.Prima parte: serie e successioni, …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Morro Angelo

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2018-2019

101 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Calcolo approssimato di un'area

area sotto la curva = somma delle aree dei segmenti

È sbagliato se prende y_i che fitti come altezza (per area rettangolo), se considero il segmento che unisce il grafico ho informazioni su come si comporta il grafico (si alza o si abbassa) → diventa l'area di un trapezio

A_i = y_i¹ (x_i+1-x_i)

i=0, 1, ... N-1

A_trapezio = ¹⁄₂ (y_i+y_i+1) (x_i+1-x_i)

⇒ A_Tot = ¹⁄₂ ∑_i=0^N-1 (y_i+y_i+1) (x_i+1-x_i) = ¹⁄₂ N ∑_i=0^N-1 (y_i+y_i+1)

^b-a⁄_N precedentemente intervallo di uguale ampiezza

Considero ∑_i=0^N-1 (y_i+y_i+1) = y₀+y₁+y₁+y₂+...+y_N-1+y_N

Quindi è pari a y₀+y_N+2 ∑_i=1^N-1 y_i

Quindi ottengo

Δ_Tot = ¹⁄₂ ^b-a⁄_N (y₀+y_N+2 ∑_i=1^N-1 y_i)

Calcolo Approssimato di un'Area

Area sotto la curva = somma delle aree dei segmenti

È sbagliato se prendere y_i che fitti come altezza (per area rettangolo).

Se considero il segmento

A = y_i^* (x_i+1 - x_i)i = 0, 1, ... N-1

Si comporta il grafico (si alza o si abbassa) → diventa l'area di un trapezio

A_trapezio = ¹⁄₂ (y_i + y_i+1) (x_i+1 - x_i)

A_tot = ¹⁄₂ ∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1) (x_i+1 - x_i)

b-a─N

Considero ∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1) = y₀ + y₁ + y₂ + ... + y_N-1 + y_N

Quindi è pari a y₀ + y_N + 2 ∑_i=1^N-1 y_i

Quindi ottengo

Δ_Tot = ¹⁄₂ ^b-a⁄_N (y₀ + y_N + 2 ∑_i=1^N-1 y_i)

Successioni

a_k = elemento

{a_k} = successione di tot elementi

Relazione di ricorrenza: a_k = f(a_k-1)

↳ a un precedente associo un successivo

Successione geometrica:

{a_k = r a_k-1a₀}

=> a_k = r^ka₀ r = ragione

fattore moltiplicativo, la succ. geometrica vera e propria e' r^k (elemento iniziale)

Per determinare Σa₀ r^k = a₀ Σ r^k:

nΣ r^k S_n = 1, r, r²,...rⁿk=0

↳ S_n = rⁿ, r²,...rⁿ⁺¹S_n - rS_n = S_n(1-r) = 1 - rⁿ⁺¹

Quindi S_n = ^1-rⁿ⁺¹/_1-r percio' a₀ Σ r^kk=0= a₀ ^1-rⁿ⁺¹/_1-rr ≠ 1

Se r = 1 => Basta che conti i termini: S_n = n+1

Successione Crescente:

a_k < a_k+1, ∀ k ∈ ℕ

Se i termini sono positivi posso anche dire che:

(Non decrescente: a_k ≤ a_k+1)

^a_k+1/_{a_k} > 1

Successione Decrescente:

a_k > a_k+1, ∀ k ∈ ℕ

Se i termini positivi:

(Non crescente: a_k ≥ a_k+1)

^a_k+1/_{a_k} < 1

Monotona / Str. Monotona

Succ. Limitata:

∃ M : | a_k | ≤ M, ∀ k ∈ ℕ (Inferiormente o superiormente)

Per trovare il minimo dei maggioranti = estremo superiore

Posto dal presupposto che ∀ ε : a_k > M - ε ⇒ dopo fine

devo trovare k > x₁ in termini di ε (arbitrariamente piccolo)

Limiti di Successioni:

Limite finito ⇒ lim_k→∞ a_k = a ^{∀ ε ∃ k̅ : k > k̅ ⇒ |a_k-a| ≤ ε}
Limite infinito ⇒ lim_k→∞ a_k = ∞ ^{∀ M ∃ k̅ : k > k̅ ⇒ a_k > M}
Σ convergente
Σ diver

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