Appunti Analisi 1

Quindi 2 2 2 2 2

] ]

( (

() = 0 + 0( − 2) + − 2) + [( − 2) = − 2) + [( − 2)

2

Tornando al limite

−2 2 2 2 2

] ]

( ( (

− 2) − sin( − 2) − 2) + [( − 2) − 2) [( − 2)

ⅈ = ⅈ = ⅈ + =1

2 2 2 2

( ( ( (

− 2) − 2) − 2) − 2)

→2 →2 →2

Per definizione è un infinitesimo di ordine superiore a quindi il loro rapporto da 0

2 2

] (

[( − 2) − 2)

per il confronto tra infinitesimi. Dobbiamo quindi risolvere solo una frazione polinomiale.

Invece di fare le derivate si può usare questa

Esempio x

2

(1− )− sin 0

2

ⅈ = [ ].

2

0

→2 2 3

1) )

ln(1 + ) = − + + ⋯ + (

2 3

2 2 2

) )

ln(1 + = + ( mi fermo a x per il denominatore

2

3 5

2) +2

= − + + ⋯ + ( )

3! 5!

= + () mi fermo a x perché c’è una x che moltiplica il seno. Per arrivate al grado del denom.

2 2

x

Quindi 2 2 2 2 2 2 2

) ) ) )

(1 − − sin = + ( − ( + ()) = + ( − + ( = + ( )

2 2 2 2

2 2

x

2 2

)−

(1− sin +( ) 2 2

( ) 1 ( ) 1

Allora 2 2 2

ⅈ = ⅈ = ⅈ + = ⅈ + =

2 2 2 2 2

2 2

→2 →2 →2 →2

Gli integrali vengono usati per calcolare l’area di una certa regione del piano e per trovare la

primitiva di una funzione.

Data limitata

[,

: ] → ℝ

l’intervallo [a, b] può essere suddiviso usando una suddivisione

= { ≡ , , , , … , ≡ }

0 1 2 3

Quello che ne risulta è il trapezoide (o rettangoloide)

{(, ): ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ ()} tutte le x e le y con x che va da a a b e y da 0 alla fine di f.

Come possiamo calcolare l’area del trapezoide?

Considerando i singoli intervalli risulta che:

estremo inferiore e superiore, minore e maggiore valore assunto da

= ⅈ =

[ , ]

[ , ] −1

−1

quindi .

≤

Si possono considerare due somme:

1. Somma inferiore relativa a f e alla suddivisione D (, )

∑ ( − )

−1

=1

Sommatoria della moltiplicazione tra l’estremo inferiore dell’intervallino (minimo

valore assunto) e la larghezza dell’intervallino stesso, cioè base ( per

− )

−1

altezza ( dei rettangolini ottenuti, che si mantengono sotto la funzione. Si

)

ottiene un’approssimazione per difetto dell’area di T. Se si infittiscono i punti

l’area aumenta avvicinandosi sempre più alla funzione, quindi

)

≤ ⇒ (, ≤ (, ).

1 2 1 2

Più punti ci sono più precisa è l’approssimazione.

2. Somma superiore relativa a f e alla suddivisione D (, )

∑ ( − )

−1

=1

Anche qui come sopra a ma i rettangolini che si mantengono sopra la funzione

poiché l’altezza è , il massimo valore assunto dalla funzione nell’interavallo. Si

ottiene un’approssimazione per eccesso dell’area di T. Se si infittiscono i punti

l’area diminuisce avvicinandosi sempre più alla funzione, quindi

)

≤ ⇒ (, ≥ (, ).

1 2 1 2

Più punti ci sono più precisa è l’approssimazione.

Ne risulta che poiché .

(, ) ≤ (, ) ≤

Possiamo inoltre affermare che suddivisioni ) )

∀ , (, ≤ (,

1 2 1 2

Dimostrazione

= ∪

1 2

) )

(, ≤ (, ) ≤ (, ) ≤ (,

1 2

perché

)

(, ≤ (, ) ≤

1 1

per definizione

(, ) ≤ (, ) perché

)

(, ) ≤ (, ≤

2 2

Otteniamo quindi ) )

(, ≤ (,

1 2

Dati e ogni elemento di S è un maggiorante dell’insieme delle somme inferiori e

{(, {(,

)} )}

ogni elemento di s è un minorante dell’insieme delle somme superiori. Cioè (, ) ≤ ⅈ (, )

Una funzione limitata si dice integrabile secondo Riemann se

[,

: ] → ℝ

e questo è il cui risultato sarà un numero finito.

(, ) = ⅈ (, ) ()

∫

La più grande approssimazione per difetto coincide con la più piccola per eccesso

limitata, Hp

[,

: ] → ℝ () ≥ 0

Tesi. {(, ): ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ ()} ⇒ () = ⅈ

∫

1. Funzioni continue in [a, b]

2. Funzioni limitate e continue a tratti in [a, b]

3. Funzioni limitate e monotone

[,

1 ∈ ] ∩ ℚ 1 se e 0 se

() = { ∈ ℚ ∉ ℚ

[,

0 ∈ ]\ℚ

è un esempio di funzione non integrabile. Verifichiamo:

=1

∑ ( )

∀ (, ) = − = 0( − ) = 0 ⇒ (, ) = 0

−1

=1 =1

(, ) ∑ ( ) ∑ 1( ) 1( ) (, )

∀ = − = − = − = − ⇒ ⅈ = − .

−1 −1

In conclusione: poiché

(, ) ≠ ⅈ (, ) 0 ≠ −

1. Linearità

;

[ () ± ()] = () ± ()

∫ ∫ ∫

2. Inversione percorso di integrazione

() = − () opposti

∫ ∫

3. Integrale senza area

;

() = 0

∫

4. Additività rispetto al percorso di integrazione

() = () + () se tra a e b c’è un punto c

∫ ∫ ∫

5. Confronto tra integrali

() ≤ ()

()

() ≤

∫ ∫

continua Hp

[,

: ] → ℝ

Tesi. [, )(

∃ ∈ ]: () = ( − )

∫

0 0

l’area del trapezoide coincide con l’area del rettangolo con altezza e base

)

( ( − )

0

Dimostrazione

Per il teorema di Weireistrass esistono e

= max () = min ()

[,]

[,]

Possiamo dire che e quindi che risolvendo

≤ () ≤ ≤ () ≤

∫ ∫ ∫

otteniamo ( − ) ≤ () ≤ ( − )

∫

()

∫

dividiamo entrambi i membri per

− ≤ ≤

−

Per il teorema dei valori intermedi la funzione continua in (a, b) assume tutti i valori compresi

()

∫

tra Max e min. Nel nostro caso quindi

[, )

∃ ∈ ]: ( =

0 0 −

Moltiplicando per e leggendo da dx a sx otteniamo )(

− () = ( − )

∫ 0

. Il risultato dipende da x

() = ()

∫

continua Hp

[,

: ] → ℝ

Tesi. La funzione integrale è derivabile in [a, b] e

()

′ () (,

= () ∀ ∈ ) ⇔ () ⅈⅈⅈ ⅈ ()

Dimostrazione

Assicuriamoci che F(x) sia derivabile.

Rapporto incrementale:

+ℎ

()−∫ ()

∫

(+ℎ)−() per l’additività rispetto al percorso di integrazione

=

ℎ ℎ

+ℎ +ℎ

()+∫ ()−∫ () ()

∫ ∫ .

=

ℎ ℎ

+ℎ

Per il teorema della media quindi

)( )

() = ( + ℎ − ) = ( ∗ ℎ

∫ 0 0

+ℎ ()

∫ )∗ℎ

( 0

)

= = ( (, + ℎ)

0 0

ℎ ℎ

Per avere la derivata facciamo il limite del rapporto incrementale

( ℎ) ()

+ − ( )

=

lim lim 0

ℎ

ℎ→0 ℎ→0 e quindi

Sappiamo che per il

( ℎ);

≤ + ℎ ≤ + ≤

≤ lim lim ≤ lim lim ≤

0 0 0

ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

anche

teorema del confronto dei limiti (o due carabinieri)

lim = .

0

ℎ→0

Quindi Poiché f è continua

( ) (). ( ) ()

= =

lim lim

0 0

ℎ→0 →0

O più semplicemente se si avvicinerà a quindi

ℎ → 0 →

0 0

In conclusione, il limite del rapporto incrementale esiste ed è ()

continua Hp1

[,

: ] → ℝ

G primitiva di f Hp2