Appunti di analisi 1 su Numeri complessi

Indice documento

• Numeri complessi
• Forma algebrica
• Formule di De Moivre
• Teorema delle radici ennesime

Numeri complessi

C = {(a,b) : a,b ∈ R}R × R

Definizione

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) somma e differenza

Osservazione

(a,b) ⋅ (c,d) = (a⋅c, b⋅0) Non vale la legge di annullamento del prodotto (a,d) ⋅ (a,1) = (0,0) elemento neutro è nullo ma noi vogliamo estendere tale proprietà quando non va bene

Definizione (prodotto)

(a,b)⋅(c,d) = (a⋅c-b⋅d, a⋅d+b⋅c)

Esempio

Provare che vale annullamento prodotto (a,b) = (0,0) (a,b) ⋅ (c,d) = 0 ⇔ oppure (c,d) = (0,0) n° 1 (a,b) ⋅ (0,1) = (-0,0) o t.o = (0,0) analogamente si fa per l'inverso

Osservazione

(1,0) è l'elemento unità ⇒ (a,b) ⋅ (1,0) = (a,b) (a,b) ∈

Definizione Reciproco

(a,b)^-1 = ^a/_a²+b² - ^b/_a²+b²) da Rapporto (^a/_b)_(c.d) = (a,b)_(c,0)¹ Attraverso la seguente mappa R → C a ∈ R → (a,0) le operazioni su R si preservano su C

Osservazione

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (0,1) (b,0) = a + i b i = (0,1) unità immaginaria è diverso dall'elemento unità

Forma algebrica di un numero complesso

z = (a,b) ∈ C ⇒ z = a + i b a: parte reale di z i: parte immaginaria di z In un numero reale la parte reale è se stesso, la parte immaginaria è zero. C non è mai totalmente ordinato

Esercizi:

Sia X = { ^m+1/_m | m ∈ N } trovare inf X, sup X ^m+1/_m ≥ 0 ∀ m ≥ 1 Si quindi, 0 ≤ X cerchiamo x ∈ R: ^m+1/_m ≤ x ∀ m ∈ N

^m+1/_m ≤ 2 ∀ m ∈ N

m + 1 ≤ 2m ∀ m ∈ N 1 ≤ 2m - m ∀ m ∈ N ⇒ 1 ≤ m VERA 2 <= x <= 2 sup X, max X = 2m + 1/m = mⁿ + 1/m ≥ 11 è mininconto 1 ≤ X

Proviamo che 1 = inf X Sia Y ∈ R minimoante per X Voglio provare che y < 1 y <= x (estremo valore) y ≥ x¹ con y ≠ 1 ∀ m ∈ R m y < m+1 ⟹ m y - m - 1 ≤ 0 m(y - 1) ≤ 1 se (y > 1) per assurdo m <= 1/y - 2 ∀ m ∈ N N <= 1/y - 1 lo spiego Archimede che non c'è un estremo superiore per N x > 0 ∀ z ∈ R m ∈ N m x <= 2 se x = 1 z = 1/y - 1 { ∃ m ∈ N : m > 1/y - 1 un assurdo

Esempio A

A = {1/(x²+x) : x > 0} inf A , sup A α ∈ A <= 1 inf F = 0 sup A = 1 I < y > 0 mininconto Y ≤ 1/√(x²+x) ∀ >> 0

Riprendendo i numeri complessi: _ℂ = ℝ x ℝ

1. La forma algebrica di un numero complesso z = a + ib

a = parte reale b = parte immaginaria √-1 ∉ ℝ

Osservazione

i² = -1 i = (0; 1) [0; 1] = (-1; 0) = -1 i = √-1 ∈ _ℂ z = a + ib ∈ _ℂ si definisce:

1. Coniugato di z ぢ = a - ib
2. Modulo di z |z| = √a² + b²

Ricordiamo che P = (a, b) ∈ ℝ x ℝ può essere unicamente determinato (∅, θ) Con ∅>0 θ ∈ [0, 2π[ {a = ∅ cos θ b = ∅ sen θ}

Trasformazioni polari

{∅ = √a² + b² θ = arcctg ^b/_a}

Trasformazioni polari inverse

Quando la mappa (a,b) -> (β, 9) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra punti del piano Usando le trasformazioni polari: z ∈ ℂ z = a + b= β (cos 9 + i sen 9) Forma trigonometrica di z S > 0 trasformazioni polari inverse 9 ∈ [0, 2π]

Esempio

Se z = z (cos 9 + i sen 9) z² = z ● z= [β (cos 9 + i sen 9)]²= β² (cos 9 + sen 9 - 12)- si usa la formula di addizione: = β² (cos (2 9) ≠ sen (2 9))

Formula di De Moivre

z ∈ ℂ (m ∈ ℕ _m≥2) (2^m) = β^m (cos (m 9) ≠ sen (^m9)) se z=β (cos 9 + sen 9). Sia m ∈ ℕ (m>2) z ∈ ℂ studiare l' equazione Wⁿ = z Supponiamo che z sia un numero complesso z = β (cos φ + i sen φ) Fissiamo un generico w ∈ ℂ

w = ⁿ√β (cos ^φ/_n + i sen ^φ/_n) Affinché w sia soluzione di wⁿ = z: deve accadere (utilizzando De Moivre) wⁿ = (utilizzando la formula in gen.) β (cos (m φ) + i sen (m φ)) dove esso è uguale a: β (cos φ + i sen φ) m φ= (cos (m ^φ/_n) + i sen (m ^φ/_n)) = β (cos φ + i sen φ)

Essendo la mappa: (a,b) → (^a/_n, ^b/_n) è bium. ovv. ne segue che: φ è soddisfatto se e solo se m φ = φ → due numeri trigonometrici sono eguali se m φ = φ + 2kπ φ₂ = ^φ/_m + 2kπ k ∈ ℤ

In sostanza, si ottiene w₁^m = ^√β√z = √β (cos (^{φ + 2kπ}/_m) + i sen (^{φ + 2kπ}/_m)) Fissati w, β e φ quanto soluzioni otteniamo?

Teorema radici n-esima

Sia z = β (cos φ + i sen φ) ∈ ℂ, m ∈ ℕ m > 2

Il teorema dice che esistono solamente m radici n-esima di z distinte e si ottengono

√z = √β (cos (^{φ + 2kπ}/_m) + i sen (^{φ + 2kπ}/_m)) solo per k = 0, 1,..., m-1

Esercizio

Calcolare ³√i ⁵√i ⁷√i Partiamo da: scrivere il numero in forma trigonometrica n = 2 i = 0 + 1i ρ = √0² + 1² = 1 φ = arcotangente ^b∕_a trasformato in polari

Osservazione

Stabiliamo: ρ = √a² + b² φ = arctg ^b∕_a se (a, b) ≠ 0 se a = 0; φ = π∕2 se b > 0 -π∕2 se b i = 0 + 1i = 1 · (cos π∕2 + i sin π∕2) = 1 = risultato in forma trigonometrica

La radice quadrata

³√i = cos (π∕2)^1∕2 + i sin (π∕2)^1∕2 per k=0 = cos (π∕2)^1∕2 + i sin (π∕2)^1∕2 + 2πi = 2π Ossia: (√2∕2, i (1 + 0))

Osservazione

I servono nella decomposizione di un polinomio

Teorema

Sia P(x) un polinomio in R di grado m ∈ N allora P ammette m-radici in C Inoltre in C non esiste alcun ORDINAMENTO TOTALE

Supponiamo che questa relazione sia un ordinamento totale su C si fissa una coppia di numeri complessi; 0, i e dobbiamo vedere che 0