Appunti sui numeri complessi

C

modulo

Il di un numero complesso è = −

Definizione z z a bi

coniugato

Poiché = = (sopra scritto come "w"), allora vale anche che

−1 a−bi

1

Nota. z 2 2

z a +b

= e quindi:

−1 z

z 2

|z| = (1)

2

· |z|

z z 1

∀α, ∈

Proprietà. β C:

1. =

· ·

α β α β

2. + = +

α β α β

3. =

|α| |α|

=

4. α α

5. + = 2 ·

α α Re(α)

6. = 2

− ·

α α Im(α)

7. ≤ |α|

Re(α)

8. ≤ |α|

Im(α) Dati due numeri z, w ∈

Proposizione. C:

1. =

|z · |z| · |w|

w|

2. + +

|z ≤ |z| |w|

w|

Dimostrazione:

1. Per la (1),

= (z (z = (z (z = (z (w = +

2 2 2

|z · · · · · · · · · · |z| |w|

w| w) w) w) w) z) w)

2. Sempre per la (1),

+ = (z + (z + = (z + (z + = + + +

2 2 2

|z · · |z| |w| · ·

w| w) w) w) w) z w w z.

Si osserva che = ovvero è il coniugato di Dunque la

· · · ·

w z z w, z w z w.

precedente si può scrivere come + + 2 utilizzando la

2 2

|z| |w| · ·

Re(z w),

proprietà 5.

Osservando poi che = = si può concludere

·w) ≤ |z ·w| |z|·|w| |z|·|w|,

Re(z

che + + 2 + + 2 da cui la tesi.

2 2 2 2

|z| |w| · · ≤ |z| |w| · |z| · |w|

Re(z w)

Forma trigonometrica.

Dato un numero complesso scritto in forma algebrica = + con

∈

z a bi C,

(a, , esso si può rappresentare sul piano complesso che ha per asse

2

∈

b) R

delle ascisse la parte reale dei nuemri complessi, mentre sulle ordinate la parte

immaginaria, in modo che la coppia (a,b) identifica univocamente ogni numero

nel piano.

Il vettore che unisce l’origine del piano complesso e il numero (rappresentato

quindi come un comune punto) forma un angolo con l’asse delle "parti reali",

perciò si può scrivere: (a, = (r cos sin (2)

b) θ; r θ)

e, quindi, il numero z: = + sin (3)

·

z r(cos θ i θ)

√ +

con = = 2 2

|z| a b .

r 2

viene chiamato e vale, per ogni angolo, che = + 2kπ,

Nota. θ θ θ

argomento 0

con k Se 0 2π, è chiamato

∈ ≤ ≤

Z. θ θ argomento principale.

Se e hanno lo stesso modulo ma gli argomenti differiscono

Osservazione. z z

1 2

per multipli di 2π, = .

z z

1 2 √

In forma estesa si può scrivere: = + = + + ,

a b

2 2 ·

z a bi a b i

√ √

2 2 2 2

a a

+b +b

dove si nota:

• cos = a

θ √ 2 2

a +b

• sin = b

θ √ 2 2

a +b √

da cui si ritorna alla forma trigonometrica, perché + =

2 2

a b r.

Prodotto in forma trigonometrica

Dati = + sin e = + sin il prodotto tra i due numeri

z r(cos θ i θ) w R(cos ϕ i ϕ),

complessi è: = + + sin(θ + (4)

· ·

z w r R[cos(θ ϕ) i ϕ)]

infatti:

= + sin + sin =

· ·

z w r R(cos θ i θ)(cos ϕ i ϕ)

(ricordando =

2 −1)

i

= cos sin sin + cos + sin cos

· −

r R[(cos θ ϕ θ ϕ) i(sin ϕ θ θ ϕ)],

dalla quale si riconoscono le formule di somma del seno e del coseno già svilup-

pate, perciò non resta che riscriverle in forma compatta e si ottiene la formula

del prodotto presentata di sopra.

In generale, = [cos(nθ) + sin(nθ)] (5)

n n

z r i

Notazione esponenziale

Un’ultimo modo per poter rappresentare i numeri complessi è attraverso la

notazione esponenziale.

Dato un numero = + sin si scrive:

z r(cos θ i θ),

= cos + sin (6)

iθ

e θ i θ

Ovviamente, se = 1, si scrive .

iθ

̸ ·

r r e

In questo modo è molto più semplice calcolare il prodotto tra complessi perché

ci si riduce ad utilizzare le proprietà delle potenze.

Osservazione

Proprio dalla notazione esponenziale si può ricavare la famosa formula:

+ 1 = 0

iπ

e

in cui compaiono cinque grandi simboli della matematica (e, 1, 0, = ).

i,

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