Appunti di Analisi matematica 1 sui numeri complessi

-X

(1 i) (1-1) 2

1

es + =

. i) 2 i2

i) 2i

2i

i)(1 (1

(1 1 +

+ +

+

+ =

= =

E a-ib

Definizione coniugato

numero

Il complesso

chiama

complesso

numero si

: =

ib

di a

z +

= -12b2 b2

@2 ib-idb

E az

Risulta ib (a-ib)

(a

z > +

+ +

: . = =

=

vile

Il divisione

la

coniugato per

è :

atb latibarib moltiplio e se

n

-

= den il coniugato

per

del den

iab'-izbb'

ga'-ia'b +

= =

a2 be

+ (

da i)b'a

bb' ab

+ -

+

b2

a2 a2 b2

+ +

algebrica

forma

Scrivere

es i

in

. -2

trigonometrica

2 Forma Teoremadi

pitagora e

M ib

a

---------z +

=

! 0)

(9 angolo

-

.

S COSO

↓ ↳ &

Trovare 0

distanza dal centro : =

assi (ro(

degli S

18 > b

A seno

· = & &(coso

Scosa igseno

Z iseno

= +

+

= =

vTED2 a

9 1z1

= = E 92

a2

S cos

e il O

modulo del Complesso

num =

. 92

b2 senza

O è l'argomento del Complesso

num =

. 1

Il

a 92

b2 (cos20 20

isen

= + +

=

b coso

seno = ,

Esempi 3

z

: · =

M 2 5 3

= =

0 0

= iseno

3(COSO

z +

=

>

⑳

3i

z

· = 2 3

=

N O 112

Za = isiniz)

3(cost12 +

z =

10 >

3

z

· -

= A 2 3

=

G π

= iSint

z 3(COST +

=

>

* 3in

z

· -

= 2 3

=

> O 31T 2

,

= 2)

31T

3(CoS3121T isin

+

z 1

=

Z

·

i

z 1 +

· = E

9 =

Q IT14

= (Cosiu

V2 isin in)

z +

= 253

z 2i

+

· -

= V2

9 Seno

4 '12

4)

+ =

=

= -5312

O 516 coso

= =

4 (COST16 isinatio

z +

=

FORMA

3 ESPONENZIALE

=gei0

z 39i0

z

z 3

es - =

=

. RADICI

POTENZE E

prodotto

① di numeri complessi

iseno

(COSO1

S

z +

.

=

. 32(COS82 isen82

72 +

= 0

sent

isenoisenoz de isen

coso

(COSO cos

92

S1 i

Costa

Z2

Zi +

+

. -

.

. = I

i2

[/COSO cos02)]

L

& i(coso

22 CosO2-senonsende) seno

Senoz

+ +

,

,

= 1 ,

02)]

[COS(01

22 i sen

3 02) (On

+

+ +

= . Se cost

B)

Sen Send

(d COSB

N B + +

· =

. . sen

B) COSCCOSB-Sena

COS(d +

· =

Interpretazione geometrica loro i

ha moduli

moltiplicare

fra l'effetto fra

moltiplicazione

La di

no complessi e

gli

Sommare angoli . Zz

z ..

N )

.

0

) ,

10

Formula (

delle potenze (De Moiure

isine)]"

[a En no

(CosO

zn no

(cos isen

+ +

=

= 2

E

il

Es (1 +

: =

G 114

= isenBit)]

[COS

(2)

z (31) +

·

= (3)

(COS isin

(3)

64 +

.

= Il

Il Sin i

COS IT "

Il

I

-

64

=

=

delle

Formula radici

Z"=w ha soluzioni dette

distinte di

N-ESIME

sempre .

W

complesso

nel RADIC

campo

n (COSC

Dato isena)

complesso

no r

W

lo calcolare

+ voglio

e

=

,

zzP w

=

Lo forma

rappresentiamo in Trig

· .

& (Cosotiseno

z =

Enenccos no formula

isinnol potenze

-

+

S S rin

zn 2n

cioe 3

w r

= = =

= & 2

+

no O_

2kIT

2 +

=

rin)

= (

dek isen

cos ent e

+ di

delle

Osservazione lati

immagini ,

Le radici di poligono n

regolare

divertici

si un

trovano

: gín.

nell'origine

inscritto circonferenza raggio

centro e

in con

una cubiche

Calcolare di

le radici

Esempio : 1(z3

z 1)

= =

①E 1 isinO

1 (COSO

1 +

= =

0 0

= 13 -

= isen

(COSPIT + (ho 3 radici

2

0 1

= .

.

Z2

&

zo iseno

coso

n 1

0 +

-

= = = in

-1

Z zit13

U isen

COS213

1 - + =

=

= , i

--

COSUttiz isenuiz

Zm

K 2 +

1 =

= =

z2 73

i

i)z

(1 +

+ 0

· - =

titui / (A + ) vi

zo (1 +i 2i

+

1 -

=

. = 2

Fei

Latit

= =

24 calcolo zi

- 2)

3

3512

(COS isin

2i 2 + 1

- =

1

7-ii) =-

Esercizio =-

i

: 2i 1

-

di

Determinare le soluzioni :

· (i)3 z

27 W

= =

w3 radici

delle

formula

la

27 uso :

-

= - 3 27-27-27/COStiSiniT

=

& π

= (SIT (

= isin

3 +

isini

3)(0

= W

0 +

- isint)

(Cost

= 3

1 3 Wa

+

- -

= =

3)Sisi)

K 2 -

=

Risostituisco Z

W con :

· +

3)

= -i +

i

7 -

- =

3)

i) i Hi

z - - = -

= i)

( . i

72 i

.

Risolvere complesso

nel campo

· = iz1

Zi CE : iz 1

+

z 1 i

z + -

z3 [i(iz

2z 1)

-

- = 2

z3 2z Zi

- = -

z3 2i

-

= 3

0

8 2 2

/

=

= (coS3512 3 2)

2i isin

2 + ,

- = isin

· =

Ei (cos2 +

sei 6) Jai

0

= =

↳

↳ 1

o

(053isi)

- =

= 1 ↳ ↳