Appunti sui numeri complessi

Numeri Complessi

Problema: ∃ un campo indicato con C, t.c. R ⊂ C e ogni p.c. ogni polinomio di grado n ∈ ℕ abbia assolutamente n radici: è condotto con il proprio moltiplicité, in C?

Es. in R non funziona:

• P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x + a) grado 6, ha 6 radici, 3 as molteplice 2
• Q(x) = (x³ + x⁴)(x - 2)² grado 4, ha sole radice reale x = 2 molteplice 2

Risposta: Sì!!

Come insieme tale campo si identifica col piano cartesiano ℝ² in cui definiamo opportune operazioni di somma e prodotto che soddisfano gli assiomi di campo (1-9)

La retta reale verrà identificata con l'asse delle ascisse (x,y)

È possibile mostrare che C non può essere un campo ordinato infatti se esistesse (se fossero definite: <, ≤ , >&comna; ≥, ), si vede facilmente dovrebbe valere x² ≥ 0 che invece z₀ < 0

Ma se la risposta alla prec. domanda è affermativa ∃ z₀ ∈ C t.c. z₀² + 1 = 0

Cominciamo a definire la somma:

sommа di vettori.

Definizione:

Se (x₁, y₁), (x₂, y₂) sono punti di ℝ², pongo:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂).

Prodotto:

è definito in modo meno intuitivo:

(x₁, y₁) · (x₂, y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁).

La definizione del prodotto non è ovviа. Per costruire una ragionelvole def. di prodotto chiediamo in primo luogo che l'operazione risultа soddisfi gli assiomi di campo (per il prodotto).

Scriviamo:

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

Cercо di definire il prodotto (x₁, y₁) · (x₂, y₂) coerentemente con gli assiomi di campo.

(x₁, y₁) · (x₂, y₂) = [x₁(1, 0) + y₁(0, 1)][x₂(1, 0) + y₂(0, 1)] =

= x₁x₂(1, 0)(1, 0) + x₁y₂(1, 0)(0, 1) + y₁x₂(0, 1)(1, 0) + y₁y₂(0, 1)(0, 1).

(g) |z + w| ≤ |z| + |w|

Rappresentazione Trigonometrica Dei N_um_er_i Compr_essi

z = (x + iy) 4 rappresenta G_ausiana

S_e z ≠ 0 vale che x = |z| cos θ

y = |z| sin θ

zo; z = x + iy = |z| (cos θ + isin θ) = ∫ (cos θ + isin θ)

|z| = √(x² + y²)

θ = angolo compreso tra schisaxe ari. pos.

altro schiidsx inid

z 0

θ (0, 2π)

P_ossiamo R_{epresentaere equ}iva_leente

z : x + iy, z = ρ [cos θ + i sin θ]

e_x. z = -1 + √3i

|z| = √(1² + (√3)²)² = 2

z = 2 [cos π + i sin π]

cos θ

sin θ

i

6z = 2π

z = 2 [cos 2π + i sin 2π]

(cos 2π + i sin 2π)

Q35. Il Geom. Fond. dell’Alg. non si oppone a equaz. che

ricomplogano somme. i, 121, Re, 1, Imn, …

Es.

Risolviamo: z³ = 1

0 < 1 = cos v + i sin y z = cos x + i sin (π ω)

z₃ = (cos (2 v) + i sin (2 π ω))

Ciò succede (z) pcioè p = 0 opp p = 1

e z - ψ = - v + zki π k X Z

… opp z = … poiché … …

Salva, distinto, ger k = 0, 1, 2

Rispar che le solv, sono

z₀ = 0

z₁ = 1

z₂ = cos (2 v) + i sin (2 π) =

= -1 + √3/2

z₃ = cos (2 π) + i sin (2/3 π) =

= -1/2 + √3/2

Notazione: Si defi

e^u = cos yt + i sin θ y∈R

(Con tale notazione vale c1, e^is eⁱ e^z e^{(y₁ + y₂)}

Inoltre possiamo scrivere z = e^{[cos u + i sin θ]} come z = e^i.3 e vale

se w∈cop e

= e^(sup) z = j (e^-p) z = j (e^-p)

Sc

Se scriviamo z = re

e con β≥0 e e R atunci direm che z è scritto in

forma esponenziale (rifromazione di nell’aproprone), le formule di DE movipe

si leggono in tale forma come propriet