Appunti Analisi 1, parte 5 - Derivata 2, Taylor, numeri complessi Integrali

10 non -

1

OSS . teorema

del

vale il di Fermat

viceversa

non )

flx }

( ) ha

funzione che

è

-1 non

es una

x

= ( »

estrema o ,

}

)

f' ( (

tuttavia annulla

-1 cioè

=3

× × 0=1

si ✗

in )

( Hd

f'

è

dunque 1 P -0

stazionario

un

anche ✗

se -

= .

o di

tuttavia punto

è estremo

non

esso

funzione punti di

può estremo

2

Oss avere stazionare

una non

. ,

1×-11

flx

) ^

|

= punto

0--1 di minimo

✗ assoluto

relativo e ,

(a)

g. esiste

non

ma

>

•

1 ✗

= o funzione

3 di

ossi punti estremo di

i vanno

una

ricercati

tra i punti

a) stazionari /

tra potuta

di

punti

b) i NON deriva

continuità

estremi del

tra gli

c) Dominio

^ [ ]

1,3

M es su

×

y

3 =

= - - .

•

- - - di

è rel

punto

✗

0=1 min

assoluto

e nel

punto di

è

=3

✗ Max

assoluto

1 e

M

= •

- - I >

1 3

1

iEAE§-↳Ao-g

Ma

Teo di Rolle

,

mea

Rena ☒

]

:[

f li

sia a -

-

, [ b)

f

) del

continua Weierstrass

i

stessa

è

i su te

a →

, .

ta b)

f

) derivabile

ii è su ,

f

fla (b)

)

)

iii =

allora cela b) f' (c)

tale

7 che O

=

,

DIMOSTRAZIONE f [

l' ]

li

di

di di

esistenza

garantisce su

un

Weierstrass

Teo Max a

e min

un ,

. fa flxm

) flx

) flxn

)

nun M

nn )

= = Max

= =

[ ]

li

✗ c- a. [ ]

li

✗ c- a.

M

cade in = n

|

f tu

allora i

;

= b)

eta

G) ti

f' 0 ✗

- ,

= = ,

, I

1-

( b) >

tutti gli soddisfano

✗ c- a la tesi

,

M ?

=/

cosè un m - - .

può che

dire

si flb

fla

) '

) EM

a-

un ⇐ I

un 1- →

- -

- I

1 >

almeno

M

essendo b

#

in a

disuguaglianze

delle due

una stretta

deve essere ^

M

>

ipotizzo che 2 ad

la

sia

se - -

-

- →

flxn

stretto f( )

essere b) M )

flb

=

< nafta

) = .

.

_

. l

I '

l

b)

ta

allora ad

è intorno

xn ,

, '

( b) l

cadere né

può né

non >

in in

a

Fermat

te

per

-

= .

f' ( ) ad

xn o

=

corollario I

derivabile

f definita continua su

e

, )

f'

tra (

f

di di

certamente

2 cade

tesi zero

zeri ×

uno

: "

( )

2)

(

( ^

1)

)

flx -4

x

es x

× -

-

= y

flx

) 1

O ✗

per =

= 2

✗ = 4

✗ =

fla

) )

fa -0

-

= ,

,

go.am aaaaa , , ,

su

, e , ,

f' (c)

)

4,2

3- O

ce =

: )

"

/

flx "

) " ×

log 1

snnx e

es +

=

f ☒

derivabile su

f #

ke

annulla K

negli kit

✗

si con

= ,

allora )

(

f' infiniti

ammette

× zeri

/

ETE-ETE-ma.

TL medio

valore

Grange

>

mea

Rena ☒

]

:[

f b

sia a. -

- [ ]

al

f

) continua

è

i su ta b)

f

) derivabile

ii è su ,

allora ÈÈ

f'

zcc.la b) (c)

: =

, b- a

significato geometrico ^

)

f ( b )

13lb fili

)

;

) ,

ala fla

) màs

,

Blb )

flb ) '

, 1

,

fla

)

flb ) fla

)

/ ) ) I

- )

retta fla

Tata

AB

in - -

= , ,

b- a | '

l

'

i i

c' >

e

a

significato fisico 2h

dato

che Milano impieghino

Reno si

raggiungere

suppongo per 160km

per

allora 80K¥

rimedia = ^

subito MI

ha

se viaggio non •

_

la

istante

Irregolarità qualche

in

, "

stata ¥

è "

Mst Tanca

"

> applicazione '

TUTOR Teo

es .

. 1

LaGrange '

riferisce alla TO

Si via

→ •

-

. l

mia t

' -

DIMOSTRAZIONE ?

AB

retta

era . )

Ala fla

)

,

( )

b flb )

B , a)

( passante punto

rette

y Fascio per

yo ✗ un

✗

un

= -

- mlx a)

f (a)

y -

=

- flat

flb

) ( a)

f (a)

)

( ×

rcx

FEFE -

+ -

y

a)

f (a) - =

× - b-

g- = a

(

b- 2 retta AB

eq

= .

fcx

)

) )

funzione rlx

la

considero ngcx -

=

ausiliaria L Gib

]

il

soddisfa su

Rone

Teo

> . differenza

come

Perché ]

1) Ea b

continua su →

: g f

di

, continue su

Ea li]

,

differenza

fa come

b)

eterna bile

2) su →

8 f

di

, derivabile

b)

la

su ,

)

( b

(a)

3) g

g = rx a)

-8 (a)

(b)

f

{ (

f

)

G) flx (a) ×

+ -

→ = - b a a)

flat

flb

{ ) (

fla

) f

(a) (a) a- =

-

+

g = - b- a

fla

)

fla

) o

=

-

= }

#

flb

{ ) ¥

f (b) f

(b) (a) =

+

g = - b- a

(b)

f

fcb

) 0

=

-

=

b)

fa

] (c)

' 0

allora c-

c

Rolle

te :

per : =

g

,

.

f G)

' f

G) (a)

(

f )

' b

=

g - -

b a f (a)

(c) (b)

f

'

f f

(a)

(

f

(c)

f' )

b

(c) O

' = = -

-

og o -

= b

b a

a

di monotonia

Test studiare intervalli di crescenza e funzione

di

Decrescente una

b) b)

☒ derivata

(a)

7-

f

sia →

: ,

allora decrescente ÉO

f f' G)

suI

E) I

crescente ✗ c-

< -

= , decrescente

Io fè

G)

f' I

ttxe suI

E) state crescente

,

DIM I

if I ^

derivabile su

sud

iif ;

crescente t

G)

f' I

ttxe

zo , t |

'

T

q

( b) i

scelti punti '

2 C-

✗ a

× 1

:

/

o i

, ,

I

1 1 i -

flx

) b

✗ ✗ ✗

< < a xo

☐ →

-1

¥

, lei

limite

al )

3-

il finito

quale

passando per

fkl-fkd.fi ad

lui

✗ X

✗

→ Xo

o - del

↳ Permanenza

te

per

zo .

↳ segno

= rovesciato

, I

ltxe

fkxo

) 0

> ,

DIM II b)

7-

Maf (

definita su ai

senta b)

f

) derivabile

i ,

4) I

) f' I

ii zo ✗ c-

,

allora f I

è crescente su

fa b)

scelti Xz >

✗ × ci o

>

E

2 <

punti ✗ ✗ : = -

, ,

,

1 z

, fa b)

[ ]

applicare su ✗ ✗ c

LaGrange

posso Teo 1 a ,

,

] b)

( a) ela tale che

c- ✗

e xn :

,

, b)

f' fa

)

flxa )

fai

(c) la ii

perché ce e per

o

-

= ,

>

- -

( 1)

x2 ✗

-

Io fan

)

fan

)

fcxa

) =

o

=

- b)

ta f 7-

flxn

)

f fa b)

scelti cioè

cioè = è crescente

< in

× su

× , ,

, ,

analoga DIM

del dove

II sostituiscono

DIM E o

>

O

con >

OSS l'

vale implicazione

. ⇐

non ☒ [

CONTRO ] stretti

5 -1,1

su crescente

✗

=

è G)

'

f (a)

f'

5×4=0 f stretta

anche è

o

o

= in se

✗ =

=

☐ crescente ovunque

f '

I f V-x.CI

Strett 0

crescente >

su ,

. al di

corollario teorema Lagrange

f I ( )

I

☒ derivabile intervallo

sia su

: -

- ,

allora G)

'

f flx ) V-x.CI

I

) c

0 ✗

i e -

< =

= = ,

,

( =)

DIM f '

f G)

allora

< è O

costante =

11 flxo

flx

) ) ¥g

- 0

= =

=

☒ F- E

( ) I I

[ ]

scelti applicando

> e LaGrange

Xn il su

= ✗ ✗

× e e

tono 1 a

, ,

.

,

PIÈ & (c)

f' la )

i

per

o

=

=

flxz flxn

) 7

I

)

> c-

= ✗

xn

= a

, ,

G) I

f cost

cioè e

✗

= , I !

corollario vale

il intervallo

su

oss . ) (f)

flx arctglx

)

arctg

es =/

✗ O

+

= ,

)

(

1 ¥

f' G) + =

-

= • ,

(f) 2 ×

1 + 1- :# :#

+

= +

=

' G)

ho f

che

scoperto 0 =/

✗ 0

= .

, !

?

ti

f

concludere

Posso costante

è no

che ✗ =/ 0

,

( a)

(

a) !

U intervallo

è

perchè o + non

no un

,

- ,

)

fu (f)

infatti )

rotoli È

%

arctg

e + a + =

= =

ftp.arctg#+arctgfn)---I-jI-- È

-

FG

) ☒

[ #

] ^

su

es i

×

= O

•

G) ☒ #

f' 0 e \

✗

= , 0

•

ayag

guano

,

pago

ma era

non costante

sia una I

☒ #

perché è un

ne

\

l' I

infiniti

di

ma unione dell'

seconda Incremento

FORMULA Finito

f li

Ca ] ☒

→

: ,

f Ea li ]

) continua su

i , b)

(

derivabile a.

su b)

fissati ( ha

allora che

c- si

xn × a

, ,

, (

(1) ( a)

f' (c) )

flxn

flxz

) ) essendo

x2 Quantitativa

✗ xs

CE ✗

+ →

= ^

- ,

formula

alla >

rispetto 1

(2) a) (

flx (

a)

flxo (

f'

) )

) avanzava

→

× ✗

o x

✗ ✗

+ per ✗

+

✗ →

= - - o o

(

la f )

I

derivabile

27m globali

ad

risponde ipotesi in

.

la ( f )

17m derivabile

ad

risponde locali

ipotesi Xo

in

. ( =D

Classificazione dei G)

f'

stazionari

Punti Hp :

Tien : raggio

/ )

f Irlxd (

derivabile su xotr

xo r

= - ,

i )

( Irlxo

)

definita continua su

e (

f' ( a)

) )

i =D è

Xo Stazionario

✗ p . SX

intorno }

f' G) Go xD

✗

se E

tesi zo r

: -

, , × punto Max ronzano

,

>

=

×

☐

intorno

f' G) ( )

Xoxo

✗

IO .ir

c-

se , 7

1 >

i

✗ o

SX

intorno }

V-xc-G-o.ir

f' G) xD

E

se 0 , , nun

× punto ronzano

,

>

=

×

☐

intorno

f' G) ( )

Xoxo

IO ✗ .ir

c-

se , <

r :

? =/

=/ ^

1-

× ✗ ° '

es × .

5 5

o •

✗ =

,

perché

✗ Min

no

o

fcx derivabile

) ✗

no in o I

fcx

) ? ×

es × e-

=

f' (2×-1-2)

G) ± ✗

E

xae

2. e-

e-

✗ -

=

( )

f' '

f ! !

o

>

× > o -

- -

_ _

_ → >

la

Min

✗ relativo

p

0=0 . relativo

✗ Max

1=2 p . (f)

sin'

' =/

{ ✗

✗ o

☒

es = ✗

o applicare

I quale

nel

esiste

non si possa

teorema

il è

O MIN

un

✗ = p

o . SUPERIORE

di

Derivate ordine Irlxo

)

f derivabile

continua

sia su

e f' )

(

della

il rapporto incrementale

costruisco × :

f' )

) (

Go

)

(

f' Irlxo

)

× ✗ c-

- -

-

✗ ✗ o

- f' f' xd

(

In ( ) finito

3-

calcolo se

se × - =

✗ xo

→ "

f (

xD

finito

7

se DI

(

f " d)

a)

In f' (

f' f' xd

(

G) ✗ ✗

=

- = × .

✗ ✗

→ o

f

funzione (

" )

la sarà

Oss x

. f (D)

" ( f' valore

questo

D ove

× -

: . finito

esista

xD

Jr

( )

"

f finito

(

esiste su esiste

×

se e

f ( f xd

In " ) " ( " xd

(

f'

x - =

✗ xo

→

%)

"

f. ( )

xD

V-x-c.fr derivata

( la km

potrà ordine

se di

costruire

esiste ma

-

)

LK

¥

" ( )

km una

flxo -

f

f )

)

lui

finito ( »

esiste - ×

se =

_

-

✗ xo

→ ✗ Xo

-

flx

) '

es +3 ×

✗

= '" "

4×3+3

' 0

y

y =

= ]

[

" 12×2

y .

= .

.

"

Y' 24 ✗

=

""

y 24

= )

( K

) fcx

flx 7

derivabile K ¥

☒ te continua

è

☐ )

volte e-

c-

✗ e

se ,

"

' )

EH f (

y

I e

c-

su ⇐ ÈC "

f'

) " (

'

f

f Ie

f )

(

G) )

es esistono

< su

e

se x ×

, ,

I

continue su

sono

f ÉT

(2)

è f 7

derivabile di

arbitrario

n° volte

c- è

☒ su

< un

tra

☐ tutte continue

derivate

le sono

e

è )

Pnlx

y

es cosa

y y

= =

;

; =

fe Él

(7)

è f I

è continua

☒ tra su

☐ 2+1/3

E-

FG

) 2 pe

✗

es ✗ e

✗

= "

"^

( )

' è

f § (a)

a ✗

+

= .

f)

( ( f) "

f " s è (a)

n

at + ✗

= } § }

↳

<

"

f' (f)

(2+1) .

-

f) .

( =/

× ✗

n + 0

=

= 213

✗

f l' (B)

di classe > (B)

classe

è E

di

ma

- non ?

"

?

( (

f ) V.

G) x-D ☒

es n e

✗

×

= -

=

È

f è

(E)

di classe (B)

classe

e- di

ma

- non

convessità

f danf

derivabile )

fcx

sia C-

in xo

t tg

la retta

ammette )

tgcx

i

1 ; i

'

tlx

) xD

f (

(a)

fcxo

)

y '

×

+

= i

= - ,

f ÈE 7 dauf

Ircxo ✗

)

è convessa o

e

in ✗ <

o ¥ )

flx tglx

Irlxo )

) =

✗ e ,

f stretta

parla dice vale

che

Si convessa =/

si

Oss o se - ✗ Xo

per

,

. f è convessa in Xo ma

,

Strett ✗

non convessa in o

.

)

tglx ¥

convessità Globale un )

Tlxo

7

derivabile

f -

su

f 7 I

è su

convessa punto

se è C-

connessa ✗

in ogni o

concavità [

f È 7 danf

Ircxo

)

è concava e

in xo < )

tgcx

) i

8 "

" -4 !

"

In "

"

✗ c- '

' g) ' l /

' , '

' , -

concavità Globale Xo

7

derivabile

f su

f 7 I

è su

concava punto

se è C-

connessa ✗

in ogni o

f-

atto convessa

> -

]

concavità ↳ ! concava

Basso → xD

( la

FLESSO retta

esista tg

ove in

è Flesso

✗ P

o . la retta

esista tg

ove

ÈÈ ] domf

Iride f )

"

+8

{ se ✗ <

✗

' :

Jago °

)

1) e

✗ ascendente

flesso

: fcx )

) tgcx

se >

× xo :