Appunti completi esame Analisi 1, prof. Catino Giovanni, libro consigliato "Analisi Matematica 1", Bramanti, Pagani, Salsa

Revisionato il 30/05/2026

di S._Cava

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Esame Analisi e geometria

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Catino Giovanni

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

56 pagine

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Insiemi Numerici

N = {0, 1, 2, ...}

'Numeri Naturali'

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

'Numeri Interi'

Q = {x ∈ Q | x = p/q,

p, q ∈ Z, q ≠ 0}

'Numeri Razionali'

Alimentamento Decimale:

∃ si tratta di un numero definito nella forma

± a₁a₂...a_nb₁b₂

Q è l'insieme di tutti gli allinemanti decimali finiti o infiniti periodici

Teorema (Euclide)

Sia x soluzìone dell'equazione

x² = 2

=>x ∉ Q

Dim (per assurdo)

x ->x ∈ Q

=>x = p/q,

p,q ∈ Z, q ≠ 0

Supponiamo che MCD (p,q) = 1

x² = 2 =>p²/q² = 2

=>p² = 2q²

=>p² è pari

p è pari

p = 2t, t ∈ Z

=>(2t)² = 2q²

=>(2t)²

=>q² è pari

q è pari

q = 2s, s ∈ Z

=>> MCD (9, p)

= 2

ASSURDO □

R-Q sono i numeri Irrazionali

R-Q = {Algebrici}

U {trascendentali}

V √2

π, e, δ

I numeri reali sono l'unico campo ordinato completo

INSIEMI NUMERICI

N = {0, 1, 2, ...} 'Numeri Naturali'

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} 'Numeri Interi'

Q = {x ∈ Q | x = ^p/_q, p, q ∈ Z, q ≠ 0} 'Numeri Razionali'

Allineamento Decimale: Si tratta di un numero definito nella forma a₁a₁, ..., a_n0.a₁a₂

Q è l'insieme di tutti gli allineamenti decimali finiti o infiniti periodici.

Teorema (Euclide)

Sia x soluzione dell'equazione x²=2

=> x ∉ Q

Dim (per assurdo)

=> x ∈ Q

x = ^p/_q, p, q ∈ Z, q ≠ 0

Supponiamo che MCD(p, q) = 1

x² = 2 => ^p²/_q² = 2 => p² = 2q² => p² è pari => p è pari

=> p = 2t, t ∈ Z => (2t)² = 2q² => 4t² = 2q²

=> q² è pari => q è pari

=> q = 2s, s ∈ Z => MCD(q, p) ≥ 2

ASSURDO

- R \ Q sono i numeri IRRAZIONALI

- R \ Q = {Algebrici} ∪ {Trascendenti}

∪

- √2 π, e, i

I numeri reali sono l'unico campo ordinato completo

CAMPO

Sia X un insieme. Diremo che X è un campo se esistono due operazioni:

SOMMA (+) [X × X → X] (a,b) ↦ a+b
PRODOTTO (·) [X × X → X] (a,b) ↦ ab

Tale che per ogni x,y,z ∈ X :

x+y = y+x ; x·y = y·x _COMMUTATIVA
(x+y)+z = x+(y+z) _ASSOCIATIVA
∃0 ∈ X | x+0 = 0; ∃1 ∈ X | x·1 = x _{ELEMENTI NEUTRI}
∃(-x) ∈ X | x+(-x) = 0; ∃ x⁻¹ ∈ X | x·x⁻¹ = 1 _{ELEMENTI OPPOSTI}
(x+y)z = xz + yz _DISTRIBUTIVA

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