Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 6 - Numeri complessi

Un numero complesso è definito come un elemento della forma x + iy, con x e y numeri reali e i una soluzione dell'equazione x² = -1 detta unità immaginaria. I numeri complessi sono usabili in tutti i campi della matematica e della fisica (molti anche nella meccanica quantistica), nonché in ingegneria (specialmente in elettronica, telecomunicazioni ed elettrotecnica) per il loro utilizzo nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.

In matematica, i numeri complessi formano un anello (nonché un'algebra reale bi-dimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti di un piano detto piano complesso. Una proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell'algebra, secondo il quale qualunque equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.

6.1 Definizione (Numeri complessi)

(i) L'insieme C dei numeri complessi è R² = {(x,y) | x,y ∈ R};

(ii) Proprietà fondamentali:

• (x,y) + (u, v) = (x + u, y + v), ∀ (x,y), (u,v) ∈ R²;
• (x,y) ⋅ (u,v) = (xu-yv, x v + y u);
• L'isomorfismo R² x {(0,0)} x R è l'insieme per somma e prodotto e x identifica 1 = (1,0) all'unità;
• 0 = (0,0) all'elemento neutro, con (x,0) x (1,y) x {0} ≈ x {0} ≈ R, in questo senso Φ ≈≈ R.

(1,0) ⋅ (1,0) = (1 ⋅ 1 - 0 ⋅ 0, 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0) = (1,0), quindi questo insieme contiene un elemento i, il cui quadrato fa -1.

L'insieme {(x,0)} x (1,0)} = {(x,u), 0} = {x ⋅ u} ⊇ R Re (x + i y) = x ∈ R, dove Re sia per parte reale. Im (x + i y) = y ∈ R, dove Im sia per parte immaginaria.

6.2 Teorema (C è un corpo)

Dim Per le proprietà commutativa, associativa e distributiva di (+) e (⋅):

• L'elemento neutro somma: (0,0), 0 = 0 + i 0;
• L'elemento neutro prodotto: (1,0) = 1 = 1 ⋅ 1 + i 0;
• L'opposto di (x,y): x + iy = xi (-iy), -^ = xi (-iy);

Il reciproco: ∀ z ∈ C, z ≠ 0 Facile che z ⋅ z^-1 = 1 (x,y) ⋅ (u,v) = 1 (y | x ⋅ u - y ⋅ v = 1; x ⋅ v + y ⋅ u | x ² + y²).

Una soluzione se si determinano della monice dei coefficienti ≠ 0. Se x ≠ 0, y ≠ -y (x)^-y =, per cui - ycosφ = cosθ e sinφ = sinθ e fondamentalmente: => cosφ = cosθ e sinφ = sinθ => φθ + 2kπ, k ∈ ℤ ed in conclusione, ne z = w => z² = |z ⋅ w| ⋅ |z| (|cosφ + isinφ|) ⋅ |w| (|cosθ + isinφ|) = |z| ⋅ |w|(cosθ + isinφ) cosθ + isinφ cosθ + isinφ ⋅ isinφ)

Cor = |z| ⋅ |w| (cosθ + isinφ) = argw = argz, ∀ z, w. Il reciproco di z = x + ß|1/0|vcrpm eprsme la rappresentazione trigonometrica, ottenendo un valore simmetrico sull'asse x.

Formula di De Moivre: z = |z| ∀ k ∈ ℤ.

6.6 Rappresentazione esponenziale

Un altro modo oltre alla forma cartesiana di rappresentare un numero complesso z=|z₀|e, espressa in uscai_al, dati Armettia positiva dell'asse z eule alla semantica dox ardA_ste z=|e₀|e^ip.

6.7 Teorema (Radici n-esime di un numero complesso)

Dato _x c _x, un numero W_k è detto una radice n-esima di _x se W_kⁿ = _x, n c N.

_x = |_x|ei_x, h una radice n-esima definita W_k = |_x|^1/h e^i2kπ/h, con k = 0,1,... ,n-1. Ogni numero complesso _x ≠ 0, dunque, ha n radici n-esime distinte (eh: ∀^k → n radici distinte).

Dim Sia W_k verifica W_kⁿ = _x |W_k|ⁿe^{in_WK = |_x|ei_W} Per definizione...fare...per cui è vero che ci guarderà |W_k|ⁿ = |_x| |W_k| = |_x|h_Wsubk(9+2kπ)K _Z h = θ + 2kπK ... ... _x ^k.Z

Quale soluzioni esistono quando W_k = W_k? |_x|^1/nei_2kπc/n = |_x|^1/nei_2ncπk, con _Z...legge...di ogni con k^2kπK/Z|_x|^1/n

Formula Radici n-esime W_k = |_x|^1/he^i2kπ/h, k = 0,1,...',n-1

Esempi W₀ = |_x|^1/heⁱ