Riassunto esame Fondamenti di Informatica, Prof. Papalini Francesca, libro consigliato Analisi matematica 1, Bramanti Pagani Salsa

Orale Analisi 1

Assioma della completezza:

Dati due sottoinsiemi di R, tali che gli elementi di un insieme siano tutti minori di quelli contenuti in un altro insieme, esiste sempre un numero di separazione. Nella loro intersezione.

A, B ⊂ R: ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ≤ b ⇒ ∃c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A, b ∈ B

Insiemi limitati e illimitati:

• Dato A ⊂ R, A ≠ ∅ :
• A è limitato inferiormente se ∃ r ∈ R ∃ a ∈ A: a ≥ r ⇒ Es: A = N
• A è illimitato superiormente se ∀ k ∈ R ∃ a ∈ A: a ≥ k ⇒ Es: A = { 1/n : n ∈ N }
• A è illimitato se ∃ r < 0: |a| ≤ n ∀ a ∈ A ⇒ Es: A = { 1/n : n ∈ N }
• A è illimitato se ∀ k > 0 ∃ a ∈ A: |a| > n ⇒ Es: A = IR

Estremo inferiore e superiore:

• A ⊂ R, A ≠ ∅ , limitato superiormente
• Estremo superiore = il più piccolo tra tutti i maggioranti:
• sup A = Δ è un maggiorante | ∀ a ∈ A
• ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : Δ - ε < a
• A ⊂ R, A ≠ ∅ , limitato inferiormente
• Estremo inferiore = il più grande tra tutti i minoranti:
• inf A = i è un minorante | ∀ a ∈ A
• ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : i + ε > a

Definizione di funzione, dominio, codominio:

• Funzione: è una legge che associa ad un elemento di un insieme, un solo elemento di un altro insieme.
• Dominio: è un sottoinsieme dell'insieme di partenza in cui ha senso applicare la legge.
• Codominio: è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo ed è composto dalle immagini del dominio.

Successioni:

• Sono particolari tipi di funzioni per le quali valgono i concetti sopra espressi. Possono essere:
• Convergenti → hanno limite finito
• Divergenti → hanno limite infinito
• Indeterminate → il limite non esiste
• Sono regolari (hanno limite)

• (a_n)_n convergente → (a_n)_n è limitata
• Se a_n → l, la successione ha come limite l
• Se a_n = (-1)ⁿ → è limitata ma non converge
• (a_n)_n divergente → (a_n)_n è illimitata
• Se a_n → +∞ la successione non ha limite
• Se a_n = (-1)ⁿ, è illimitata ma oscilla

Teorema di regolarità delle successioni monotone

(a_n) monotona → (a_n) è regolare

Ipotesi: (a_n) crescente → a_n ≤ a_h e prendono il sup q_n < +∞

1) Se il limite è l: - ∃ε > 0 ∀n ∈ ℕ - ∀ε > 0 ∃r ∈ ℕ : q_n > l - ε

Quindi ∀n ≥ t ho che q_n = q_n → l - ε < q_n ≤ a_n < l + ε cioè se prendo il più grande di n, lim_n→+∞ q_n = l

2) Se è illimitata superiormente: ∀M > 0 ∃ r ∈ ℕ : q_n > M → ∀n ≥ t q_n ≥ q_n > M Cioè se prendo n più grande di r, lim_n→+∞ q_n = +∞

Conclusione: In entrambi i casi (a_n)_n è regolare!

• Se (a_n)_n è regolare ⊄ (a_n)_n è monotonaEsempio: a_n = (1)ⁿ / n → converge ma non è monotona
• Se (a_n)_n diverge ⊄ (a_n)_n è monotonaEsempio: a_n = 1 + (-1)ⁿ → aggiunge uno e leva uno, quindi non è monotona ma diverge

Teorema di unicità del limite

a_n → e e è unico

Supponiamo per assurdo a_n → e₁ e prendiamo due I₁, I₂ intorni disgiunti tali che: I₁ ∩ I₂ = ∅

Allora: ∃ m_{I1 : ∀n ≥ n2 → ∃ n ∈ I2 ∃ me2 : ∀n ≥ n2 → ∃ n ∈ I2 , Ricordando la definizione di funzione deduco che ciò non è possibile: un qualunque numero reale deve cadere sia in un intorno che in un altro → dunque e è unico}

Serie Armonica:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \] falliscono tutti i criteri uso \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \log(n+1) - \log(n) \] che diverge

Uso il criterio del confronto asintotico:

\[\lim_{n \to +\infty} \frac{\log(n+1) - \log(n)}{\frac{1}{n}} = \log \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1\] → Le due seme hanno lo stesso comportamento

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^a} \]

• \[ a > 1 \] > converge
• \[ a \leq 1 \] > diverge

\[ n^a < n \rightarrow \frac{1}{n^a} > \frac{1}{n} \] > diverge

Teorema

Se una seme converge in valore assoluto → converge anche senza

Se invece diverge col val. assoluto, cambio strada → criterio di Leibniz

Criterio di Leibniz:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} a_n \quad e \quad a_n \geq 0 \]

Iporesi:

• \((a_n)\) monotòna decrescente
• \(a_n \to 0\)

Tesi: la serie converge

Considero le dispan distinte dalle palra:

• \(a_n\) cresce → \(S_{2n+1} \uparrow\), \(S_{2n} \downarrow\) → non mi serve
• \(a_n\) decresce → \(S_{2n+1} \downarrow\), \(S_{2n} \uparrow\) → \(S_{2n} \leq S_{2n+1}\)

Ha \[ S_{2n+1} - S_{2n} = a_{2n+1} \]

• \(l^'\)
• \(l\)
• o per ipotesi \[ l = l^' \]

Funzioni:

Classificazione di un punto rispetto ad un insieme

• \(A \subseteq \mathbb{R}, \, x_0 \in \mathbb{R}\)
• Punto di accumulazione per \(A\) se \(\forall I_{x_0}\) → \(I_{x_0} \cap A - \{x_0\} \ne \emptyset\)
• Punto isolato di \(A\) se \(\exists I_{x_0}: \, I_{x_0} \cap A = \{x_0\}\)
• Punto interno di \(A\) se \(\exists I_{x_0}: \, I_{x_0} \subseteq A\)
• Punto di frontiera per \(A\) se \(\forall I_{x_0}\) → \(I_{x_0} \cap A \ne \emptyset\), \(I_{x_0} \cap A^c \ne \emptyset\)

Definizione di limite:

\(\forall I_{x_0} \exists I_{x_0}: \forall x \in I_{x_0} \cap A - \{x_0\} \rightarrow f(x) \in I_{\epsilon}\)

- f ∈ ℓ(I) e invertibile, f⁻¹ è ancora continua?

No, f⁻¹ potrebbe essere discontinua se il dominio si interrompe.Sì, f⁻¹ è continua se il dominio non si interrompe (connesso).

Es:

Dominio non connesso

f⁻¹ è discontinua!

Riassunto:

1. Continua, non invertibile, non monotona:

   f(x) = sin x in [0, 2π]

2. Monotona, non invertibile, non continua: (non strett.)

   f(x) =

   1. 1     0 ≤ x ≤ 1
   2. 2     1 < x ≤ 2

3. Invertibile, non continua, non monotona:

   Funzione definita per casi e discontinua:prima sale e poi scende o viceversa

4. Continua, monotona, non invertibile: (non strett.)

   f(x) = k

5. Invertibile, continua, non monotona:

   f(x) = 1/x

6. Invertibile, monotona, non continua: (strett.)

   f(x) => Discontinua di tipo "a salto"

7. Invertibile, continua e strett. monotona:

   f(x) = x