Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

C=n!

k!(n-k)!

S=x

F(x)=0 e^x

growth

S=x

e=mc²

network

success

marketing

idea

strategy

ideas

S=Udv

x=Sudv

lim sin(x) = 0

cosθ

π = 9/009

arctg x

idea

connect

management

work

solution

strategy

success

ideas

t:=t

S=Udv

v:sinx

F(y)=0

S=x

x - y

dy = dx

sin x = x

F(x)=0

business

cosθ

9/009

log a

F(y)=0

sin y

x - y

Analisi I

[12 CFU] Appunti Anno 2022-2023

Teoria & Teoremi

Chapter 1 - Insiemi Numerici

• 1.1 Proprietà di R
• 1.2 Principio di Archimede
• 1.3 Teorema
• 1.4 Teorema
• 1.5 R come corpo ordinato Archimedeo
• 1.6 Densità dei numeri razionali ed irrazionali in R
• 1.7 Intervalli
• 1.8 Maggioranti, minoranti ed estremi superiori ed inferiori
• 1.9 Teorema
• 1.10 Teorema
• 1.11 Teorema
• 1.12 Teorema
• 1.13 Somma progressione geometrica
• 1.14 Cenni di calcolo combinatorio
• 1.15 Proprietà dei coefficienti binomiali
• 1.16 Formula di Newton per la potenza di un binomio

Chapter 2 - Funzioni

• 2.1 Notazioni e definizioni
• 2.2 Funzione valore assoluto
• 2.3 Funzione potenza ad esponente R e Q
• 2.4 Funzione esponenziale
• 2.5 Funzione logaritmica
• 2.6 Funzioni trigonometriche
• 2.7 Funzioni trigonometriche inverse
• 2.8 Funzioni elementari (recap)
• 2.9 Operazioni sui grafici

Chapter 3 - Limiti

• 3.1 Limiti di successioni
• 3.2 Teorema
• 3.3 Teorema
• 3.4 Teorema
• 3.5 Teorema
• 3.6 Teorema
• 3.7 Teorema
• 3.8 Teorema
• 3.9 Teorema
• 3.10 Forme indeterminate
• 3.11 Teorema
• 3.12 Teorema
• 3.13 Teorema
• 3.14 Teorema
• 3.15 O piccoli
• 3.16 Teorema
• 3.17 Teorema
• 3.18 Limiti di funzioni
• 3.19 Teorema
• 3.20 Teorema
• 3.21 Funzioni composte

Chapter 1 - INSIEMI NUMERICI

Un insieme è una raccolta in cui vengono raggruppati degli elementi aventi una o più caratteristiche in comune,mentre solitamente vengono indicati con le lettere maiuscole, mentre gli elementi che ne fanno parte con le lettereminuscole. Elementi di notevole importanza nello studio dell'analisi matematica sonogli insiemi numerici N, Z, Q, R, C,che vengono utilizzati per descrivere la totalità dei numeri.Un particolare insieme è quello vuoto, al quale non viene indicato alcun elemento, e come tale è riconosciuto un sottoinsiemedi qualsiasi insieme. Un altro particolare insieme è l'insieme universale, il quale viene indicatocon il simbolo ε, il quale comprende tutti gli oggetti della classe di insiemi di cui si parla.

• N = { 0, 1, 2, 3, ..., n ∈ N }
• Z = { 0, ±1, ±2, ..., ±n ∈ Z }
• Q = {m/n, m, n ∈ Z, n ≠ 0 }
• R = {m.C₁C₂C₃..., m ∈ Z, C₁ ∈ {0, 1, 2, ..., 9} }
^{rappresentazione decimale in 0. a₁a₂ a₃...}

∅ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ ℍ

I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata.

1.1 PROPRIETÀ DI R

R è un campo che ammette 2 operazioni: qualisomma e prodotto. Tali che:

• ∀a, b, c ∈ R → a+(b+c) = (a+b)+c / (ab)c = a(bc); PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
• ∀a, b ∈ R → a+b = b+a; ab = ba; PROPRIETÀ COMMUTATIVA
• ∀a ∈ R, ∃0 ∈ R → a+0 = a; ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO
• ∀a ∈ R, ∃b ∈ R → a+b = 0 → b = -a; ESISTENZA DELL'ELEMENTO OPPOSTO
• ∀a ∈ R∖{0}, ∃1 ∈ R → a ∙ 1 = a; a ≠ 0 ESISTENZA DELL'ELEMENTO RECIPROCO
• ∀a, b, c ∈ R → (a+b)c = ac+bc; PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

In R c'è una relazione d'ordine tale che:

• ∀a, b ∈ R → a ≤ b → a = b;
• ∀a, b ∈ R → a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b;
• ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c; IMPLICA
• ∀a, b, c ∈ R → a ≤ b → a+c ≤ b+c;
• ∀a, b, c ∈ R, con c > 0 → a ≤ b → ac ≤ bc;
• ∀a, b, c ∈ R, con c < 0 → a ≤ b → ac ≥ bc;

In R inoltre vale l'assioma di completezza, per cui R si dice COMPLETO. Tale assioma assicura la corrispondenzabiunivoca tra gli elementi di R e i punti della retta orientata.

1.14 Cenni di Calcolo Combinatorio

Il calcolo combinatorio è la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo certe regole dei elementi di un insieme finito di oggetti. ...

1. In quanti modi si possono scegliere k oggetti da un insieme di n elementi, dove l'ordine conta e un elemento non può essere scelto più di una volta?
2. In due modi si possono ordinare n oggetti distinti? ...
3. In quanti modi si possono ordinare k oggetti distinti presi da n?

P_nk = n! / (n-k)! Numero delle disposizioni di k oggetti presi da n.

3. In quanti modi si possono raccogliere k oggetti da n senza badare all'ordine?

C_nk = n! / (k!(n-k)!) ... Combinazione di k oggetti presi da n.

1.15 Proprietà dei Coefficienti Binomiali

Dim(1): (k è sempre minore o uguale di n) ...

... n_k + C_n-k ¹ = C_n-k² ...

... e quando ...

1.16 Formula di Newton per la Potenza di un Binomio

Va, b, e R, e vneN ...

Dim: ...

3.8 Funzioni Elementari (Recap)

Retta

f(x) = mx+q, con m e q ∈ ℝ

Valore Assoluto

f(x) = |x|

• x ≥ 0
• x < 0

Potenza Intera

f(x) = xⁿ, con n ∈ ℕ

• n ≥ 0, n pari
• n ≥ 0, n dispari

Radice n-esima

f(x) = x¹/_n = xⁿ, con n ∈ ℕ⁺

• D = [0, +∞] se n pari
• D = ℝ se n dispari

Esponenziale

f(x) = a^x, D = ℝ, con a > 0, a ≠ 1

Osservazioni: a^x ⋅ a^y = a^x+y

Logaritmica

f(x) = log_a(x), D = (0, +∞) con a > 0, a ≠ 1

Osservazioni:

• log_a(x) + log_a(y) = log_a(x ⋅ y)
• E ∀ x ∈ ℝ, log_a(a^x) = x
• E ∀ x > 0, a^log_a(x) = x

Trigonometriche

f(x) = sen(x), cos(x), D = ℝ, con T = 2π

e f(x) = \(\frac{sen(x)}{cos(x)}\)

D = ℝ|{x ∈ ℝ | x ≠ kπ, k ∈ ℤ}}, con T = π

Trigonometriche Inverse

f(x) = arcsen(x), arccos(x)

D = [-1, 1]

e arctan(x), D = ℝ

arc_g(x), D = ℝ

3.9 Operazioni sui Grafici

• f(x) + a
• f(x) - a
• f(x+a)
• f(x-a)
• -f(x)
• f(-x)