Riassunto esame analisi matematica 1 e geometria, Prof. Dulio Paolo, libro consigliato Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Bramanti, Pagani, Salsa

Matrici

Costruzione Matrice Inversa

Teorema: Condizione necessaria e sufficiente perché esista la matrice inversa è che sia M non singolare, ovvero che detM ≠ 0. In tal caso vale la formula:

N⁻¹ = (1 / detM) * (M^ij)^T

Dimostrazione

Sia m_ij un generico elemento della matrice M e M_ij il suo complemento algebrico; coniughiamo a sinistra M^-1(M^ij)^{T> = M a blocchi, otteniamo:}

M = [detM ... 0 | ... | detM⋅I_r,r]

detM ... 0... ... detM⋅I_r,r

se detM ≠ 0, si può dividere per detM:

M (M^ij)^T / detM = I_n ... I_r,r

N = (1 / detM) ⋅ (M^ij)^T

MATRICI

COSTRUZIONE MATRICE INVERSA

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché esista la matrice inversa e che sia Nnon singolare, ovvero che detN ≠ 0.In tal caso vale la formula:

N ^-1 = ¹/_detN · (N ^t)

Dimostrazione

sia m_ij un generico elemento della matrice M, e H_ij il suo complemento algebrico:consideriamo la matrice N = [H_ij] e la matrice (N^t), detta matrice aggiunta di N. Allora:

R_k(N_i,j) = ∑_i=1 ^r(m_ijH_ij) = δ₀^rM_k,j se k = h per il teorema di LaplaceR_k(H_n) = δ₀^rM_k,j se k ≠ h per il teorema di Laplace

Σ ottene, dunque, che:

M · (H^t) _r = detH ... 0... 0 detM = detM · I_r,r

Σ detN ≠ 0, Si può dividere per detN:

M · (H^t) · ^I_r,r/_detN = N →^I_r,r/_N · (H^t) · ¹/_detN →N^-1 = ¹/_detN · (M^t)^t

SISTEMI LINEARI

TEOREMA DI ROUCHE'-CAPELLI

Teorema: un sistema lineare Ax=b ammette soluzioni se e solo se la caratteristica di A è uguale alla caratteristica di A∗=[A|b]

Dimostrazione:

1. r(A)=r(A|b)

• 1) r(A)=r(A|b) —> sistema risolvibile
• 2) r(A)≠r(A|b)

2. r(A)=r(A|b)

• 1) r(A)=r(A|b)
• 2) r(A)≠r(A|b)

Dimostrazione

1. Suppongo che il sistema lineare sia risolvibile,

…perciò la matrice dei coefficienti (assumendo m di colonne) = A = [c₁|c₂|…|c_m]:

A₁x₁ + A₂x₂ +…+ A_mx_m = b₁

A₁x₁ + A₂x₂ +…+ A_mx_m = b₂

A₁x₁ + A₂x₂ +…+ A_mx_m = b_m

= c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_mx_m = b

cioè il sistema è risolvibile, esistono dei valori che sostituiti ad x₁,x₂,…,x_m (ridotto ad l'uguaglianza) => b è combinazione lineare delle colonne di A,

=> => r(A)=r(A|b)

2. Suppongo che r(A)≠r(A|b)

…Sintomo di dipendenza da r+1 da sua colonna b, l'uguaglianza delle caratteristiche implica che b è dipendente dalle colonne di A

• b = c₁z₁ + c₂z₂ +…+ c_mc_m

• b = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_mc_m

—> il sistema Ax=0 ammette soluzioni x₁ = α₁, x₂ = α₂, …, x_m = αm

TEOREMA DI CRAMER

Teorema: sia NX= b^~ un sistema lineare quadrato di r equazioni nelle r incognite incognita x₁,x₂,…,x_r associato ad un sistema Rx=b risolvibile. Allora la generica soluzione del sistema NX= b' risulta:

x₁ =

• detN_j / detN

dove N_j si ottiene da N sostituendo b_~ al j-ma colonna.

Dimostrazione

• Considero una matrice inversa N⁻¹ di N di il sistema NX= b' diventa:

x = detN

[ c₁(N⁻¹)* b ] N = b'

1. …con …
2. b₁' = b₁
3. b₂' = b₂
4. …
5. b_r'

• per la matrice trasposta è un sistema
• …
• [ Ri((N⁻¹)*) = Cⁱ (M^T) = N+ b₁' a₁ b₂' +…+ M_nbr'

Se i , ho inoltre,che

M =

• [ C₁ C₂… C_i-1 C_i C_i+1… C_m ]

M_i = [ C₁ C₂… C^b' | C₁ C_i+1 |… C_m ]

calcolando detMi applicando il I TEOREMA DI LAPLACE alla colonna Bi, si ottiene che :

• detMi = b_i+1M_i+1 + b_i+2N_i+2 + ... + b_iN_i = R_i(N^c)^b, Bi

dunque si ottiene che :

x' =

• X₁ = detM
• X₂ = detM
• ...
• X_c = detM
• X_r+d = detM
• ...
• X_m = detM

X =

• X₄ = - detM
• X_r = - detM
• ...
• X_r+4 = - detM
• ...
• X_m = - detM

SPAZI VETTORIALI ASTRATTI

TEOREMA DEL RIMPIAZZAMENTO

Teorema: sia X = { y₁, y₂, ..., y_n } un insieme generatore di uno spazio vettoriale V e sia Y = { y₁, y₂, ..., y_m } un insieme di vettori linearmente indipendenti di V.Allora risulta m ≤ n.

Dimostrazione:- siccome X è un insieme generatore di V, ogni vettore di V può essere ottenuto mediante combinazione lineare dei vettori di X:y₁ = a₁₁ * y₁ + a₁₂ * y₂ + ... a_1n * y_n con a₁₁, a_1n # 0 per tutti non nullo in quanto Y è formato da vettori indipendenti

- posto a₁₁ = 1 si ottiene che risolvendo l’equazione per l’incognita si ottiene che:y₁ può essere scritto in funzione di y₂, y₃ ..., y_m

- il vettore y₄ è anche generato dall’insieme X₂ = { y₂, y₄, y₂, ..., y_n }

- siccome V = < y₄, y₁, y₂, y₃, ..., y_n >, risulta anche W = < y₄, y₂, ..., y_m > → è stato cambiato l’insieme di generatori iniziale,rimanipolando per y₁ ottimizzeremo lo spazio al fine di ottenere eventuali relazioni lineari di esclusione

→ quindi per y₂ il ragionamento fatto per y₁:

- si supponga di avere b₁₂ = 0 e b₁₂ * y₂ + ... + b_1m * y_m con b_m ≠ 0, per cui se l_m è non tutto nullo in quanto gli y_i sono linearmente indipendenti- suppongo che b₁₂ + b_i = 0 -> b₁₃ = 0 e k : in motiplicando l’equazione per bⁱ si ottiene che:

y₂ ≤ b^-1_1i * y_r + b_1i * ... - y

→ il vettore y₂ è anche generato dall’insieme X = { y₂, y₃, y₄, y₅, ..., y_m }

- siccome V = < y₁, y₂, y₃, ..., y_m >, risulta anche X = < y₄, y₁, y₂, y₃, ..., y_m > e il sistema di generatori è stato ulteriormente aggiornato

- ripetendo il procedimento, dopo n rimpiazzamenti si ottiene che:W = < y₁, y₄, y₁, y₂, ..., y_m >

- se fosse m < n, i vettori di Y non verrebbero esauriti dopo m rimpiazzamenti => esisterebbe un vettore y_m+1 non ancora utilizzato,ma questo, in quanto vettore di V, potrebbe essere ottenuto come combinazione lineare dei generatori: y₁, y₁, y₂, ..., y_m → assurdo

- dunque, risulta m ≤ n

TEOREMA DI UNICITÀ DELLE COMPONENTI DI UN VETTORE RISPETTO A BASE ASSEGNATA

Teorema: sia V uno spazio vettoriale su un campo K e sia β = { y₁, y₂, ..., y_m } una qualsiasi base di V.Ad ogni vettore y ∈ V è associata una e una sola m-pla di coefficienti a₁, a ₁, ..., a_m ∈ K tale che:y = a₁ * y₁ + a₂ * y₂ + ... + a_m * y_m

dove a₁, a₂, ..., a_m ∈ K vengono detti componenti (o coordinate) di y rispetto alla base β fissata.

Dimostrazione:Considero una qualsiasi base β = { y₁, y₂, ..., y_m } di V: ogni vettore y ∈ V può essere scritto come combinazione lineare dei vettori di β:a₃, a₁, a_m ∈ K tale che y = a₁ * y₁ + a₃ * y_r + ... a y_m y_m

- l’uguaglianza y = a₁ * y₁ + a₂ * y₂ + ... + a_m * y_m corrisponde ad un sistema lineare nelle m incognite a₁ ..., a_m, avente come matrice dei coefficienti la matrice unitaria e dunque ammette una e una sola soluzione, per una qualsiasi m-pla esiste ed è unica in quanto β è una base.

→ la m-pla di coefficienti a₁, ..., a_m ∈ K è unica

Tutte le basi di un dato spazio vettoriale hanno lo stesso n° di vettori

Teorema: Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità (= stesso numero di vettori per basi finte)

Dimostrazione:

• Considero due basi distinte B₁ e B₂:
• Siccome B₁ è una base di V, essa è un insieme generatore di V
• Siccome B₂ è una base di V, essa è un insieme di n vettori indipendenti di V
• Per il teorema del completamento ⇒ |B₁| ≥ |B₂|
• Considero ora B₁ come un insieme di n vettori indipendenti di V
• Per il teorema del completamento ⇒ |B₂| ≥ |B₁|
• ⇒ |B₁| = |B₂|

L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio di ℝⁿ

Teorema: L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo in m incognite è un sottospazio vettoriale di ℝⁿ, avente dimensione k=m-r

Dimostrazione:

• Considero un sistema omogeneo Ax=0, formato da m equazioni in m incognite, sia S={x∈ℝⁿ|Ax=0} l'insieme delle soluzioni ⇒ l'insieme S è contenuto in ℝⁿ, le ∀x₁,x₂∈S sia che:
• A(αx₁+βx₂)=A(αx₁)+A(βx₂)=αA(x₁)+βA(x₂)=α⋅0+β⋅0=0
• ⇒ S è un sottospazio di ℝⁿ

Teorema sulla rappresentazione analitica di un sottospazio di ℝⁿ di dimensione k mediante m-k equazioni indipendenti

Teorema: Ogni sottospazio W di ℝⁿ di dimensione k (d ≤ k ≤ m-1) può essere rappresentato analiticamente come l'insieme delle soluzioni di un opportuno sistema lineare omogeneo di m-k equazioni in m incognite

Dimostrazione:

• Considero come sottospazio W di ℝⁿ un sistema omogeneo di m equazioni in m incognite: Ax=0 ⇒
• Se r(n-r) il sistema ammette m-r soluzioni ⇒ m-r paesi in incognite, x₁,x₂,...,x_m diventano parametri
• ⇒ La generica soluzione del sistema è combinazione lineare degli m-r vettori fissi
• Scelgo gli m-r vettori fissi sono i generatori indipendenti dell'insieme S delle soluzioni del sistema omogeneo, essi formano una base di S ⇒ dim sono le coordinate.

• sfruttndo i teoremi degli omotermismi, δₙ, con […] e ci, si ottiene che:aᵠ(i,j) := Aβ'[i,j] - φ_gen (∅) = - βᵦ(i,j); := (y ᵔ i } in base ll [b₁'...bₘ'⁻¹]⁻4 [b₁,...,c}

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, DIAGONALIZZAZIONE

MATRICI SIMILI HANNO LO STESSO POLINOMIO CARATTERISTICO

Teorema: Siano A, B due matrici quadrate di ordine m. A è simile a B se esiste una matrice quadrata P, di ordine m, invertibile, tale che A = P^-1BP. In tal caso, le due matrici simili A, B hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Dimostrazione:

• Considero due matrici simili B, A, tali che B = P^-1AP
• Per il teorema di Binet si ottiene che:det B - λI = det (P^-1AP - λI) =x (c.a.) = det(P^-1AP - λI) = det(P^-1(A - λI)P) = det(P^-1) det (A - λI) det Pdet(P^-1) det (A - λI) det P = (A - λI) = x (c.a.)det P→ x(A) = x(A) x B (A)

AUTOSPAZIO ASSOCIATO A DATO AUTOVALORE DESCRITTO COME SOLUZIONE DI SISTEMA OMOGENEO

Teorema: L'autospazio E_λ coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo (M - Aλ)x = 0, essendo M {e₁e₂} = N con una base qualsiasi.

Dimostrazione:

• un vettore x ≠ 0 è un autovettore associato all'autovalore λ se e solo se φ(λ)x = Ax
• questo equivale a dire Mx = λx ; da cui si ottiene il sistema omogeneo Mx = λx = 0
• risolvendo x a destra si può scrivere il sistema come: (M - Aλ)x = 0
• x ≠ 0 è un autovettore associato a se e solo se (M - Aλ)x = 0 ⇒ aggiungendo la soluzione banale del sistema omogeneo si ottengono tutti gli elementi di E_λ.

VETTORI GEOMETRICI

PRODOTTO SCALARE

DEFINIZIONE: dati due vettori v, w ∈ ℝ³, si definisce prodotto scalare tra i due vettori il numero dato da:

< v, w > = ||v|| ||w|| cosα

DIMOSTRAZIONE FORMULA PER IL CALCOLO IN COORDINATE:

• Considero due vettori v, w ∈ ℝ³ e li scrivo in coordinate:
• v = ai + bj + ck e w = a′i + b′j + c′k
• Calcolo il prodotto scalare mediante le coordinate dei due vettori:
• < v, w > = (ai + bj + ck) • (a′i + b′j + c′k)
• Applico la proprietà distributiva rispetto alla somma:
• = ai•a′i + ai•b′j + ai•c′k + bj•a′i + bj•b′j + bj•c′k + ck•a′i + ck•b′j + ck•c′k
• Per definizione e per proprietà del prodotto per un numero:
• = a•a′i•i + 0 + 0 + 0 + b•b′j•j + 0 + 0 + 0 + c•c′k•k = a•a′ + b•b′ + c•c′

=> < v, w > = a•a′ + b•b′ + c•c′