Appunti completi di Algebra e geometria lineare

Vettori

• s: sigma
• lo spazio euclideo tridimensionale
• _AB^→ = B - A

Un vettore è un oggetto che racchiude queste 3 informazioni

• direzione = retta tra due punti. Coda testa della freccia
• verso
• lunghezza/intensità/modulo

Le coppie AB e CD rappresentano lo stesso vettore se individuano i lati opposti di un parallelogramma. Ci sono infinite coppie di punti che rappresentano lo stesso vettore. È una classe di equivalenza.

|B - A| = norma del vettore

|V| = |_AB^→| = |_BA^→| = lunghezza/norma

Se la coppia CD rappresenta lo stesso vettore della coppia AB

_AB^→ = _CD^→

V insieme dei vettori

definiamo su _V una struttura ossia delle operazioni che hanno delle proprietà:

somma

u, v ∈ V

v + w ∈ V

regola del parallelogramma.

affianco i due vettori v e w ad A come parte estrema. Costruisco un parallelogramma con i lati dati.

v + w è la diagonale che esce dal punto A.

se v e w sono paralleli

se v e w hanno lo stesso verso.

v ---> w

v, w hanno verso opposto

spostamento nullo.

-V + (-V) = 0

AB = V

BA = -V

V + (-V) = 0

La somma su V gode delle prop. associativa

ed è anche commutativa

e dunque un commutativo (o abeliano)

gode di queste 4 proprietà:

• elemento neutro
• opposto
• commutativa
• associativa

Def

I vettori u, v e w si dicono linearmente dipendenti (LD) se essi sono multipli uno dell'altro, ovvero una combinazione lineare nulla.

Se non sono multipli, sono linearmente indipendenti (LI).

Prop

• Un vettore u è LI se e solo se u ≠ 0.
• Due vettori u e v sono LD se e solo se sono paralleli.
• Tre vettori u, v e w sono LD se e solo se sono complanari.

Dim (1)

• U LD per def ∃ λ ∋ λu = 0 ⇔ u = 0.

Dim (2)

• U, v LD per def ∃ λ, μ ∋ λu + μv = 0 ⟹ se u, v sono paralleli allora μu = λv.

Dim (3)

• U, v, w LD ↔ x, y ∙ a(v - bu).

Es.:

• A, B, C, D sono complanari.

1. Determinare le coordinate di v₃ rispetto della base f.u. v₁, v₂, v₃

v₃ = av₁ + bv₂ + cv₃

v₃ = a(v₁ + 2v₂ + 3v₃) + b(v₂ + v₃) + c(2v₁ + v₂)

(a + 2c - 1)v₁ + (-a + b + c)v₂ + (a + b - 1)v₃ = 0

{ a + 2c = 1 a - b + c = 0 a + b = 1b = 2a

C = -¹/₃a} = -¹/₃a = ²/₃a + ²/₃y{-3a = -5

a = ⁵/₃b = ²/₃

Rispetto alla base u, v, w sono a = ⁵/₆, b = ²/₃, c = ³/3

2.

Prendiamo {v₁, v₂, v₃} base di V

u = 2v₁ - v₂ + 3v₃

v = -2v₁ + v₂

w = -v₂ + v₃

{u, v, w} è una base?

Spanno {u, v, w} ?

au + bv + cw = 0

a = 0 , b = 0 , c = 0

a = ^3a-c-c/_3a-c-co

(c = 3a)b = 2ac = 3a-0 : 20 : 3c = 00 = 0 {a} : 2a : 3a

Esempio:

a = ⁵/₆u = 2v - 3w = 0

a = ⁷/₂⁄ ⁄ 1/v + 3w = 0

∀ c ∈ ℝ au - 2cv - 30w = 0

Non conurtiscono una base e sono L.D.

Spanno {u, v, w} è un p.i. diverso spano {u, v, y}

Sono generazioni per lo spazioma non sono un base.

Proiezione Ortogonale

: la proiezione di nella direzione di

= < , >/< , > ||² = < , >/|| < , >||

Proiezione ortogonale di nella direzione di Si aggiunge a ciascun dei vettori 'somma di |₂||

Proposizioni

Sia {, , } una base ortonormale e ∈ ℝAllora = < ^{_> , >}

= ⟹ =

= ( + ()⟩_j⟩

equations < >^⟩

determinano l'insieme dei vettori ortogonali a due

X = X₁, X₂, X₃ è || X || = 0

0 = X₁Y₁ - 2y = 0

Y = 3X + 2Z

t 2 _{Br +(3x - 2t)} + 2{rk}

X, Y, Z ∈ ℝ

{{(X - Z)}} + (Z/ − {Z/ − }} ∈ ℝ

{(f)∞/∘}/{(rjf,)}

X, Y, Z ∈ ℝ

= SPAN {(v, /x, 3z); j.r;

d

Prodotto vettoriale: U x V = V

{{V x U}} U x V

⇑ x v ⇑

d

- ↓ Lim: 3 &Sub&/one

d'Alumno dei 2 fattori, cambus

• U x 2⊕3U m
• V ⋃ W sono solo
• V × W = {0} < ⊗ V x W dire0 = 0

1. V e W sono non paralleli
2. norme = ||u|| ||v|| sen 0₀ direzione ortogonale alla spane di {u}, dotto

1. direzione ortogonale al

V ⋃ W sono 0

V e W sono ⊕ diremar; D,

⇒ V × W dire0 = 0

V ⋃ W meer &Y2; = spazio piano

norme = ||u|| ||v|| seno 0

∠ ∈ (0, π)

direzione ⊥ ortogonale a entrambi i vettori⊕

verso = verticale della mano destra

ℝ x ℝ x ℝ _→ ℝ³

ℝ³ ≛ { ( x₁ x₂ x₃ ) = x₁ x₂ x₃ ∈ ℝ }

V ≛ ℝ³

{ i j k } a ogni vett. v associato con v (coppia cliclo se destornato)

_{u = x1 i} + x₂ + y j ... k

base ortonormale

Data una base { i k j k i } è definita una corrispondenza

biunivoca tra lo spazio V e lo spazio ℝ³

con questa identificazione

u = (1 0 0 )

j (0 1 0 )

k (0 0 1 )

Base Canonica Base Standard di ℝ³

Osservazione

u = x₁ i + x₂ j + x₃ k

v - x₁ r; x₂ j + x₃ k

u + v

( x₁ x₂ x₃ )

( x₁ x₂ x₃ )

= ( x₂ + x₁ )

= ( x₂ + x₃ )

= ( x₃ + x₁ )

α u =

( α x₁ ) = α ( x₁ )

( α x₂ x₃ ) = ( x₂ x₃ )

(V_{f prodotto per numero reale} <> ℛ )

ℝ³ + prodotto per numeri reali

Hemos è step

x₁ + x₂

somma e prodotto per scalare è hanno luogo è step è

proprietà che in V - ℝ³ + finito

ℝ³ è uno spazio