Appunti Completi di Algebra e Geometria Lineare

Appunti di Geometria e Algebra Lineare

Corso di Ingegneria Aerospaziale, Università di Bologna.

Le seguenti pagine sono frutto della rielaborazione delle lezioni tenute dal Professor Francaviglia

Queste pagine sono appunti universitari presi durante il corso delle lezioni. Pertanto, è possibile che vi sia qualche errore, per quanto io abbia posto la massima cura sia in fase di realizzazione, sia in fase di correzione di questi appunti. Perciò, se trovate errori, refusi o abbiate anche solo dei semplici dubbi, non esitate a contattarmi. Io mi impegno a pubblicare solo appunti grazie ai quali ho conseguito un buon risultato, in modo tale da garantire anche a voi una buona percentuale di successo. Buona fortuna e in bocca al lupo per il vostro esame. Se questa dispensa vi è stata utile, date un’occhiata anche alle mie altre pubblicazioni.

Indice dei Contenuti

1. Numeri, Gruppi Anelli e Campi 3
2. I Polinomi 5
3. Gli Spazi Vettoriali (Combinazioni Lineari, Generatori, Base, Dipendenza Lineare, Equazioni e Sistemi Lineari, Sottospazi e Intersezioni, Span, Applicazioni Lineari, Nucleo, Isomorfismi) 6
4. Le Matrici (Matrice associata, Matrice del Cambio di Base, Sottospazi affini, Giacitura, Teorema di Rouchè Capelli, Determinante, Teorema dei Minori Orlati) 25
5. Gli Endomorfismi (Autovalori, Autovettori, Forma di Jordan) 36
6. Le Forme Bilineari (Forma quadratica, Prodotto Scalari, Segnatura, Criterio di Sylvester, Ortogonalità) 41
7. Distanze tra Sottospazi Affini 50
8. Le Isometrie 51
9. Le Coniche e le Quadriche in Rn 53

Dimostrazione del corollario

Poniamo p(x) ∈ \([K] \ P(x)\). Radunano una radice, chiamata λ.

Possiamo ora scrivere P(x) = (x - λ)^(q)(x). Per lo stesso motivo, q(x) = (x - α)^(z)q(x).

Il teorema si può applicare ricorsivamente, percui ogni p(x) ∈ (K[x]

è fattorizzabile in fattori di grado 1 ⇒

GLI SPAZI VETTORIALI

Uno SPAZIO VETTORIALE su un campo K è un insieme V dotato di una somma interna + : V⨯V → V e di un prodotto misto · : K⨯V → V in cui:

1. (V, +) è un gruppo abeliano
2. ∀v, w ∈ V ∀α, β ∈ K si ha α(v + w) = αv + αw
3. ∀α, β ∈ K ∀v ∈ V si ha (α+β)v = αv + βv
4. ∀x, y ∈ K ∀v ∈ V si ha x(yv) = (xy)v
5. ∀v ∈ V si ha 1v = v

Gli elementi di V si chiamano di solito VETTORI, gli elementi di K SCALARI e il prodotto misto PRODOTTO SCALARE (o scalare per vettore) (o prodotto pescalare).

Esempi

• Prendiamo il caso di V = \({Kx}\). Effettivamente per i vettori esiste il prodotto misto per scalare.
• λ · \({∑(a_kX_k)}\) = ∑(λa_k) x^k → 3\(x² - x + 1\) = 3x² - 3x + 3
• Si possono velocemente verificare le altre proprietà ⇒ polinomi sono uno spazio vettoriale su K
• Prendi il caso di K_m\[x\] → Sono uno SPAZIO VETTORIALE
• Nel caso di K = \[K] non è definita l'operazione e emarca e b → NON SONO s.v.

Un sottoinsieme w di uno sv \[V\] è un SOTTOSPAZIO VETTORIALE se:

1. È chiuso per somma: ∀v, w ∈ W, si ha v + w ∈ W
2. È chiuso per prodotto: ∀λ ∈ K, ∀v ∈ W, si ha λv ∈ W

TEOREMA Ogni sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale.

Teorema

Sia V spazio vettoriale su K e W ⊆ V

W è sottospazio vettoriale di V ⇔ W è chiuso per comb. lin.

Dimostrazione

• Dati v₁, v₂ ∈ W - c₁v₁ + &ldots; + c_nv_n comb. lin. di n elementi di W
• v₁ + v₂ ∈ W → chiuso per somma
• Se v ∈ W, λ ∈ K
• λv ∈ W poiché chi di c₁v₁ + c₂v₂ ∈ W → chiuso per prodotto.

• Siano v₁, v₂, ..., v_k ∈ W e λ₁, ..., λ_n ∈ K si dimostra che Σλ_iv_i ∈ W
• ∀v_i, ∀v_j poiché W è chiuso per prodotto, ∀λ_n ∈ W, poi che W è chiuso per prodotto.
• ∀λ_n ∈ W, poi che W è chiuso per somma.

Teorema

Sia V spazio vettoriale su K e W⊆ V (sottosp. vett.) e W ≠ V. Date queste condizioni, V non genera V

Dimostrazione

• Se W ≠ V, ∃ v ∉ W. Ma dato che W è pez def. chiuso per comb.
• lineare, v non è comb. lineare di elementi di W.

Generalizzazione di Indipendenza Lineare

Sia V spazio vettoriale su K e I ⊆ V, i vettori di I sono linearemente indipendenti se l'unica loro combinazione lineare nulla è quella

banale, cioè se ogni sua soddisfazione è composto di vettori linearmente indipendenti

• ∀v_i, ..., ∀n ∈ I Σλ_iv_i = 0 → λ_i = 0 ∀i

Esempio

• V=K[x]\
• I = {xⁱ | i ∈ ℕ}
• I è un insieme infinito di polinomi lin. ind. infatti
• ∀v_k ⎰ m il massimo deg(x) di V₁, ..., V_k ∈ K[x]
• Noi sappiamo che 1, x, x², >...... x^m sono lin. ind. in K[x], ma anche che
• {v₁, ..., v_k} ⎰ {1, x, x², ..., x^m} Dato che {v₁, ..., v_m} ⊆ soddisfa com di vettori
• lin. ind., è l'intera di vettori linearemente indipendenti.
• Quindi, I è un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Dimostrazione (dum._finito)

Lemma 2

Se v₁, ..., vₙ sono lin. indipendenti e v non è comb. lin. di Vₗ, allora v₁, ..., vₙ, v sono linearmente indipendenti. V ≠ ∑ vₖiᵢ

Sia v₁, ..., vₖ base di V (dim(V) = k) e v₁, ..., vₙ ∈ A. Allora v₁, ..., vₙ, wᵢ generano T (dato che ogni insieme di generatori genera). Usiamo sel. sparizione = ordine. L'insieme risultante è una base di V ⊇ A

Corollario

Se dim(V) = n, k > n allora v₁, ..., vₖ non sono lin. indip.

• Se v₁, ..., vₖ sono lin. indip., allora dim(V) ≥ k

Corollario

• Se dim(V) = n
  • V₁, ..., Vₖ generano ⇒ k ≥ n
  • V₁, ..., Vₖ lin. ind. ⇒ k ≤ n
• Se k = n V₁, ..., Vₖ
  • Generano ⇔ sono lin. ind.
  • Generano ⇔ sono base

Teorema dell'intersezione dei sottospazi

Sia V T sp. vett. su K e siano V₁, W₂ ⊆ V

Allora V₁ ∩ W₂ è sottospazio di V.

Dimostrazione

V₁, W₂ sono chiusi per comb. lineari, per ipotesi. ∀ v₁, ..., vₖ ∈ V₁ ∩ W₁ (v₁, ..., wₖ ∈ W₁ ∩ W₂) Quindi, ∑ λᵢWᵢ Є W₁ mando Σ λᵢxᵢ Є W₁, => ∑ λᵢuᵢ Є W₁

Corollario

L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo in n incognite e coeff. in ℝ s.s.v. ℝⁿ

Dimostrazione

Sia a₁x₁ + ... + aₙxₙ = 0 e siano (x₁, ..., xₙ) e (y₁, ..., yₙ) due soluzioni. Allora Z(x'ₙ) = Za(i)x. ∑ αᵢ(Xᵢ ➕ yᵢi) = [Σ (αᵢxᵢ + αᵢyᵢi) = Σ xᵢxᵢ = Σ αᵢyᵢ] = 0 = 0 } ↪ chiuso per somma ∑ αᵢ(Xᵢ) = Σ αᵢxᵢ ≠ Σ aᵢxᵢ = 0. ∑ aᵢxᵢ = 0, 1.0 = 0 chiuso per prodotto

Teorema

Date n equazioni Equ₁, ..., Equₙ omogenee. Con V₁ V₂ sottospazio della selezione i-esima, le selezioni del sistema di

• V₁, W₁, ..., Wₘ
• Equ₁, ..., Equₘ

Esempi

• V=R[x], K=R, W=V, F:V -> V e l'identita. F(p(x)) = p(x) = p(x) F(a_ixⁱ) = ∑a_ixⁱ E un'applicazione lineare. (p + g)'= p'+g' (λp)'= λp'

Teorema

Siano V,W sp vett K. F: V -> W e lineare. G: W -> U e lineare.

• Allora G◦F: V -> U e LINEARE (G◦f)(v) e U e composizione di F e G.

Dimostrazione

G (F (∑λ_iv_i)) = G (∑λ_iF(v_i)) = ∑ λ_iG(f(v_i)) Si usano le due linearta. □

Corollario

La derivata enesima e lineare.

Esempi

• V=R[x] W=R x₀=R, f(p)=p(x₀) e LINEARE f(∑a_ixⁱ)= ∑a_ix₀ⁱ (p+q)(x₀)-p(x₀) + q(x₀) (λp)(x₀)=λp(x₀)
• a,b ∈ R, ∫( p(x)) dx e LINEARE

Teorema

Siano v ε W sp vett su K. Hom(V,W)= { F: V -> W F E LINEARE }

ε gr vett su K con (F + G)(v) = F(v) + G(v) e (λF)(v) = λF(v)

Esempio

• V=R[x] W=R F(p) = p(10) = ∫p(x) dx e LINEARE.

Definiamo la RESTIZIONE di un'applicazione. Sia V U F|_v(v) = F(v) F|_v ε Hom(V,U)

La restrizione e un'APPLICAZIONE LINEARE. Rettizione Somma = Somma e Sottosn.

Data F: V -> W Lineare il NUCLEO di F, detto anche kernel o ker,

e

definito da Ker(F) = { V ε V/ F(v)=0 } con F ε Hom(V,W)

Teorema

Ker(F) e ssv di V.

Dimostrazione

v₁, ..., v_n ε K, F(∑λ_iv_i)= ∑λ_iF(v_i), ma F(v_i)≠0 ∑ λ_i 0 = 0 se vi ε ker(F), anche ∑ λ_iv_i ε ker(F)

□

F si dice iniettiva se F(x₁=F(x₂) => x₁=x₂ F INIETTIVA