Appunti di Algebra lineare e geometria II

:M -M

DEFINIZIONE dato F endomorfismo

: , -x(2)

det(M(F)

dif

caratteristico

il è

polinomio Pf(x) = di grado

polinomio n

1n)

(A-X

(M) caratteristico det

Pa(x)

è

A

di

polinomio

AE Muxn il

se = .

, del

le

esattamente

di

OSSERVAZIONE endomorfismo

autovalori radici

gli sono

: un

caratteristico

polinomio

ESEMPIO (3x

12

12 f(x

F 241

y)

: >

- =

: . . autovalori

12

te 3 2 sono

= =

M (30) Fe diagonalizzabile

A (F) -

= = (3-x

x(2))

det)(30) det

Pf(x) Pa(x) = =

= -

(3 x2

x)(2 x) * 3x 6

+

= -

- - FARE PASSAGGIO

NON di

radici

le PA(X

3

X 2 sono

x

= =

. di

Re autovalon

tr F

unici

gli

3 2 sono

=

=

ESEMPIO (22) seguente

associata endamaris

matrice

la

B el a me

Sia

: = I y)m(x y)

(x + y

, -

di

Calcoliamo B)

caratteristico caratteristico di gl

polinomio

il polinomio

= (

det(z

(21) x2)

(13)

x(29))

(B (2-x-x

det

det

PB(x) = =

=

-

=

-

= -

B(/g) l'unico

ha 1

autovalore 1

= =

Mostro M autovettori di

che di formata

esiste base da B il 2

non per

una =

diagonalizzabile

criterio B è

non

, 3 di M

Evav

Supponiamo di B

autovettori di

che esiste base

B

assurdo

per = ,

vettore

l'unico

I

siccome è

1

= * ha

1 unico

B autospacio

Ve

Ve Ve un

=

. = .

.

B 1 V2

Vz Ve

= = bel

bre

ver"

siccome ogni a

ave

v +

=

, ,

Blavr bre) Bre bve

che BVe

B b

segue a

+ +

dive

v + v

=

. = =

. .

=

↓ linearità

per

viervato Ve

che B.V

quindi FALSO

avremo v

= . quindi di

(2) #() di

autovettori o

di

(2) base

(0)

B

B =

= . )

/22

ESEMPIO a

Ma la

A

sia E

: = 1 2

&

caratteristico di A:

polinomio

calcolo det)) 120)) det I

I

x13)

det (A

PA(X) e

-

=

=

-

= 12 x1

I - -

& 11 x

↓ - tale

applicare E

Non G a

.

. det

matrice calcolare il

per

? 1) (

-e(t 2 22)

(2

(r x) )

2)

( + ( + 0

= =

-

. .

- 01

riga

29 X

-

x)[(2 2[)

1] x)]

2)(1

x((1 x)

(2 + - =

= -

- -

-

-

(1- x)(x2 x)

(1

1) evidenza raccolgo

di

~metto risolvere

invece

+

3x in

= =

- =

-

-

↓ di grado

polinomio (2 x)(x)(x 3)

(1 x(((x x)(x

1) (1 3x)

1) 0

+

3x =

= -

= = -

- -

-

- - =

radici

3

A distinti autospazi

ha autovalori

3 3

,

ESEMPIO AUTOVETTORI

TROVARE

COME

: 2

M

F >

-

: y)m(x

(x y)

3y

+ 3x +

,

,

Il è

caratteristico

polinomio :

(23)

M(F) associata

matrice Frispetto base canonica

a

= 32 det)(23) x(2))

det (A x(2)

Pf(x) Pa(x) =

- =

= -

=

(2 (2-x- 33

-x3)

det (x-ax

x2x-8

= =

= =

gli autovalori ie +

=> sono =

12 2

= -

di

A autovalore è associato autospazio

ciascun F :

un Kers)

43)

+V3

SveR2/f(vl (

Ker A Ker(2

p(20))

Vi Ve =

=

=

= = =

- -

&

↓ = 01

F(vl -4

If -rid)(v) 0

=

veKer/f-rid)

= veKer(A-112)

2 )

= 2(

-2)

ker(82

I

( 32

# -

Ker 2

2

= E G

con , =

-

. . 3 3

- x 0

y =

-

S t

x y

= =

t

y =

(2)

verifichiamo all'autovalore

Frelativo

che di

autovettore

infatti e 14

Vr :

= 194)

1) 2)

(2

(1

2)

f(a 4

+

2

3 2 3

+ =

= :

: .

=

. .

. endometismo di R

sottospazio della

di matrice

è uguale al

Va

ogni Ker

OSS un

: MIF)

A-1 sottospazio vettoriale

A partiedare è

In dove in Va un

=

. :

. difelivianivetai( ),

Nell'esempio to

tuttigliarettori tem

t

determinare

dif

autovalore dell'autospazio

OBIETTIVO a base

ogni una

per

: ,

relativo R

a .

Determinare dell'altro

base V21 Va

autospazio

una =

283 diretta

Vaz autospazi in

Via DISTINTI

1 sono somma

ve =

Fivl

Fig

↳ ar zv

=

= - 5

↑ 2u V

V = >

= =

- Ker(33)

2(E))

Evem2 152))

Ker((53)

Ker(A-(-22c)) Ker(A

-2v3

V +

f(ul + =

=

=

=

=

=

z

- e(22)

= (1) autovettore

è di

verificare f a

relativo

che -

ve =

= 2(2) (2)

f) (2)

= = =

-

In (2) è relativo all'autovalore

conclusione di

autovettore z1 R

ve = =

, 22

(2)" 2

ve =

= -

(23

Eve

Siccome M di

è di di

autovettori

B (2) F

base

va una

= = =

~ diagonalizzabile

il f è

°

2

per criterio ,

M(H) (20 I f(vel &Ve

=

= f(vz)

0-2 [Ve

= -

Una F

di

diagonalizzazione è : MBIA

M (23) (22).

(f) = = in L

(

) -

= (x 1)

(x -2)

di che

l'endomorfismo F ricava Pf(x)

si

Oss sopra

per

se

: = -

35

ker)

Kerl(23)

-222)

Ker(A (201 3)

Vz =

= =

= - ↓

1

3 -

(32)

A Vk

13 2

= =

Exce

eurore

un

(2-20)

ESEMPIO la caratteristie

polinomis

ha

motrice A

: e

= 01 1

(1 x)x(x 3)

Pf(x) = - -

gli autovalori 21 1

3

sono =

: (A)

vk(A)

det null

A

22 3

<

0 o

0

=)

= = , ,

23 3

=

Determinare A diagonalizzabile

è

se dei

Determinare ciascuno

base autospazi

3

per Ker()2-20)

v3

EveM31Av Ker(A-2a)

Vzz Ve = =

= =

= 011

=

I e a

(

da

dim generato

ha

Ve 2 ve

= =

,

renedAkekker

E G .

. +2)

I 3)

Se =

0

000

Ex e s

donn

Non

(

ha

Vo generato

dim da

1 Ve

= =

, (

(verificare )

A)

che : =

ema-

= I

&

E .

G

.

↓

Ker) 3) ke)

--

= =

2

- 01-2 000

(

dimV3 generato da

è

vs

1 va =

=

Si che

osserva (2)

Eve 2) 7 - 2)3 diretta)

( dim (verifica

base

B ve va

= una

= = =

-

- L

2 2 3

=

S

Ra 3

23

2 O =

=

il diagonalizzabile

criterio

o è

A

1

per . e

12 - I

A 2

=

= di spon

12 L 2

- -

è una INDIPENDENZA

UNEARE RELATIVI

AUTOVETTORI AD

AUTOVALORI DISTINE

PROPOSIZIONE A

F " endomorfismo

-

Sia

: : distinti

siano autovalori dif

Ra Ar

. .... autovettori all'autovalore

di

siano relativi Ar

Ze

F

vi

var .....

.... f(val Zorr

Reve f(vo)

fivel Rave

Ossia = =

= . ....

vo]

Eve

Allora ind.

R

è

. .... .

DIMOSTRAZIONE nel 2

caso

: v = autovalori di F

siano Zete Ve] lind

è

Eva

E flvel

autorettori teve allora

ve =

: . .

f(vz)

VzERM RaVe

=

. caset ?

che =

supponiamo ack

deve as an

con

+ o

= =

applico

↓ f

Flazve F(8) perché

8 è

ave) lineare

+ =

= ,

Il =

def(vel af(v)

+

S = =

=

+ + @zV

QzVz deVe

&I

Ve =

arfive) arteve

defiv artev

+

+ Meto moltiplico le

teth 29 eq

esempio

se per

per ,

, .

Vette

e

E

le dall'altra

sottraggo una

eq .

ReacVz-2202V = I

(2-12)

(22-12) o

=

Va az

=

&2 =

.

· ·

scalari Trat

↓ ↓

vettora & 0

=

2

Evava} 1

=

== ind

+arVe ar

Arte sono

deve 0 =

= .

Vett

Az 0

=

la

OSSERVAZIONE distinti

falsa autovettori stesso

relativi

gli

è

proposizione allo

se sono

: autovalore el

Es (13)

A Ze Vo

4

= =

: : .

(3) distinti

e vi dip

stesso

relativi autolare

autovettori l

(2)

ve sero

sono e

=

= .

I

Estrano /I T A autovalori

determinare caralt autospazi

A pol e

: = -

diagonalizzabile

Il A è

se

det) de

- (

x 23)

det (A

PA(X s

1

= =

- = 212

212 1 x

-

- -

112 112-X

2 - detfact

(212

+2

(-214 1- 2131-

det (

214 22

det)

X

viga- 212)

( 212212)

x2(2)

29 2 +

+ -

- -

- -

. 212-112-x

12-x

1 -

x)[)

(212 x)212]

112]

x)) 2122

[ 2(2) x) 11k]

x) (2

+

212

212 1 212

2 +

- =

-

-

= - -

-

- . -

- -

- -

-

(212 2x4]

2x]

y2 24 42 42]

x)[x2 15212x 212[212x

312x + + + =

+

= - - - -

- -

(212 (x 312)

x) 314x

* +

= - =

- -

x[(2(2 314]

x)(x 312)

+

= =

-

-

- 314]

x[ 3/4

x 212x +

+

312x =

-

= -

- di

(x x(x

x( 1) caratteristico

x] polinomio A

1)

x +

x +

=

x

= =

- - . -

- . S

/gli di 12 weve)

autovalori A Vo

sono o ne

=

= 2

-

( e se

Vo Ker2

KerA pre

=

= =

l'autospazio dim

Vo ha = (relativi il

eve=

(2)

di stesso

di autordore

base autovettori Vo è

una v a

= 2 Ker(3

e

I

Ker(A

Ker(A-(-2)

V 23) 23)

+

=

-e =

=

l'autospazio (r)

dim

Ve 1<