Appunti di Geometria e algebra lineare

(AB'

B ....

A =

· .

K .

M n M

K

>

. A(B

-

(A c)

B) c =

· .

- .

BA

F

AB

· IN

Fissato ne IRP

[enlez Se

/en] 3

In è

dove base di

canonica

en

= ... ... .

In (1)

= [6i]

I = [148

Is =

In 5. e

o

: Ann

An

elementi

è

Data degli Azz

quadrata di l'insieme

PRINCIPALE A

la DIAGONALE

matrice A

XM

n

una , . ...

↑

AnAzz I

A33 Ant

VA In

A

K A

matrice x n

· =

.

,

nxh B B

In

B matrice =

· .

,

(Aen/Aez) (Aen)

In

A =

. ...

h

k nn -

. enta")

A =A A.

= A

A

2 =

.

- ...

In =

.* X21 Xnen

Xzez

+ +

... BR) /

BY 1 /BY)

B

B / /In

In

In B

In

= =

.

. ...

...

TRASPOSIZIONE MATRICE

dI UNA (A)iz

AleMm(n

SeatMR(k n) Asi

K) =

, ,

(53) A (2)

A scambiar

colonne

righe si

= e e

=

(AY)31 A13

= (AT)" T

(Ai)

Osservazione :. = T

(Ai)

(AT) =

:

·

(AT) A facudola

= di

volte

involutiva 2 torni

-> operazione punto Partenza

al

:

"

(A BT

AT

B)

+

· +

=

(Xa)" (xAT)

· =

(AB) BT

AT

#

· .

B T

A T

F

(A

.

es . 3

-3x X

+ x

3x2

(AB)T BT At

· = .

B) T AT

(A B

es -

. = 33 2

x

4 x

- e

2x + 4 x2

↓

- x 2 A

Proposizione B) BT

B nxh (A

é 1

Se Kx

A è

Matrice e matrice

n xk

allora .

=

: .

h

Dimostrazione 1

1 1

K =

: =

: ,

(Bi

(a an B

A = =

...

Ab,

B

A tanbn

. = ... A

BT (

(b bn)

= =

....

BTAT Fon

b A ... An

= xh arbitri

i

4

-2

: TAT

En

m

hxk hxk Jia [BT. AT]

[(A B)

h che =

12 di mostrare

e cerco in

.

1 = k

=

[(AB)

Tit (AB) Bi

As.

= =

ti

[BT "

(AT) (AG)t

(i)

(BT)

A Tio ·

. :

= =

=

(In) In

·

3x2 (

&Xz 5xx

3xc

+

E 5X9

2xe + 6 [x (

4x3

+ +

- = =(

+ - )

6Yr

6x1 3X3 3xs

+ *

+

1

7Xd

+ =

10

Xz X4

+

xc + =

(*) e

x = di

vettore

-> ()

x(e)

)

,

xy(

(3) x(8)

- + =

+

+

13 (id

5

=

&

coefficienti vettore dei

matrice dei noti

termini

5

A x =

. 3

(A

UbeR" A

5 H

Il ha

Ax =

soluzione di

generatori

sistema sono

= ...

1

↑ le A

di

colonne

AXI

Se /Potrebbe

le A ha l

il

linearmente indipendenti soluzione

il

colonne massimo

sistema

di sistema una

sono

anche avernel

non

MATRICI INVERTIBILI

SISTEMI

e

Definizione B B

Data A

B

A A In

quadrata A matrice

: di

matrice è

una matrice nx inversa x

una una =

n =

. .

.

, ↓ Identità

matrice

Definizione A è A

invertibile di

esiste inverso

se

: un .

Onxa

La è è

invertibile In

Osservazione nulla stessa

un'inversa

mentre di

matrice ,

non se

: -

In

In In

=

.

Lemma Se è A

BA C

In BIC

BaxneCaxn In

A allora

nxn esistono e

se = =

: : -

,

(B (A c)

B

A) C

· . = .

. .

I

1 In

B

C

In =

. .

11

C B

=

Se B

Corollario B

A

C di

inverse C

sono allora

e

: =

Inlemma B C

B In

Dimostrazione C

A

A =

= =

: .

. A

Se

Notazione l'inversa

invertibile

è

A è

A devotata

di con

:

Un AXIb invertibile

lineare equazioni invertibile e

di n

in A

sistema e

incognite

n se 5

= A

Proposizione Se è X

Ax invertibile ammette soluzione

sistema allora un'unica

,

: un =

r

ba b

+ a

ax x

0 =

= .

15

Xo

Dimostrazione A

=

:

= b) 5)

2)

53 (A

(A1 -

AXo A

A

AXo = .

.

= .

In 5

5 =

.

5

Supponiamo X

che A

ora =

. ,

(5)

-

A (AXn) A

=

(A -

1 A) X A

= 5

A

Inx Xo

Xe soluzioni

ci possono

= altre

= essere

= non

->

+ IRM

Corollario è

invertibile

affinché formino

le base

A che

Condizione di

A

colonned

necessaria una

sia

: .

5 A

{A M"

VER

Dimostrazione ha

AX

La invertibile

è soluzione

implica =

che A il sistema

proposizione se generano

: = ... .

&A 3 IR"

=> è base

A di

...

(88) (2) invertibili

sono

non

C ) Sil

soddisfa ?

sufficiente

condizione

la è anche

necessaria condizione

ma

, HeM

BASA.

Proposizione A 3

formino

Condizione affinché che

sufficiente di

invertibile

A base

è di

A

Colonne

le

: una

sia ...

(te /[2n3

Al S Bn]

Ba)

Inoltre -

= ... R

3

&A

Dimostrazione A base

che

Assumo di

siamo

: ...

Butn AB

di

cerco In

costruirm :

i =

B

B BY

(A ....

(A

B (A

A = . .

-

. /21)

In lend

= ...

B

A e

=

. B2

A 22

=

.

B en

=

B" AX

deve 2

soluzione

essere =

B [e -

= Ba

B [ec

= Ba

/[ /ten2 By)

By

Posto B .

.

= ...

B

A In

= costruzione

per

.

↓ sviluppando l'argomento

B-A In

=

(in) {(1) (i)3

Ba

A = = ,

(0) (i) (i)

2(1) (in)

(11)

= = -

+

e

( h

-

A

(e)( ( (n 4)

= (

= =

, (

<

(i (i )

(1) ) (bi)

) =

=

ex2 (4) e

> indipendenti

linarmente

-

A = ((8) (i) 3

(i)

B =

= , .

te-Bx (n)

=

[22] (

Ba )

=

[esBx (

=

(

1

A

E Gene

( )

(3)

(i) +

a .

= =

.

=[ 6

() 6) E

e

= T

(A)

A (AT)

Se

Osservazione e invertibile

A l' invertibile anche =

e

: A A

Dimostrazione B B In B In

A

=

= =

.

: .

" Int

(A B) In

= =

-

(B AT) In T

"

(A B) In

=

= =

. -

Bi / AT)

AT B In

= =

. . (AT) BT

A é invertibile

=> e = IRP

IRP,

Se base

Conseguenza formano di

base

le A

le

A di righe

di di formano

colonne anche

: ,

R AM

Le AT

formano AT

E

base

A invertibile base

le

A invertibile

è

di di

colonne

colonne di

E

=

di E sono

A B matrici entrambe il invertibile 2023

invertibili prodotto è

AB 17 11

sono n

e nx . .

1

"

(AB) B -

A

= A

B-

Considero ( Cè AB

dimostro l'inversa

che

e di

= -

(AB) (AB)(B )

( A

=

. B A

A

A I I

A

A

proprietà

Applico A

la associativa = . =

=

: =

.

.

"

(AB) B

B

B

C I

I B

B

AB

A =

. =

= -

1

V -

B

D -

A

= B

(AB) A1

D I Cil

#

A B commutativo)

prodotto è

= non

. .

. .

Esempio :

(23) (6i)

-

B

a = ( 2)

=

( ) -1

A

B =

= E EY

"

y(5) ( %

x() )

+ = (i)

5(5)

7(2) + :

- (225)/b4) !

(c )

=

A B = )(-)

(0- -)

=

1 (

B -

A =

= =6)

(8 8)

)(2 ( 3)

=

= 10)

(2

(2)( =E

&

( )

)

"

A B =

=

= É

DETERMINANTE associato coefficienti

la realis

ciascuna

reale

un numero modo

quadrata

: questo

a matrice in :

(Ann)

Se det

1 A il

n A An

=

= =

,

sen (Ar

A

2 922)

=

= Ac

detA

il in

a

A

=

Data A matrice 11 : Mij1 n

nxn

(n-1) (n-1)

La la

ottenuta colonna

la

cancellando :

matrice

Alio] e

riga

= *

13) (detAln 13)

Aze (det Aan(detAta (1)

(det (detA53 13)

13) 12)

A[1

det A Ann

A [2

An Ag +

+

= - -

1 ,

...

, ,

. , ,

↑ 3 4

1 +

il

indicano +

segno =

=

Esempio :

det(2) 3

5 1

2 7

= =

. - .

/trollo

e

( ( I -- 8 1188-188 %8 e

:

= +

000 4 090 050 170

0

0 0 0 .

.

.

3

2n

1 n

-

-

-

- nxn

3

3 n(n !

1)(n 3

2)

3 1

& =

-

4 x -

- ...

55x95 2

5 x3

4

x

Formula Laplace =

1

A In

di matrice non Jo

:

~To * 1)

(1) (det 53) ob)

(detA52 (det

+

A 1) A

%03

+ +

[1 En

- ...

,

, ,

Se fisso 11:0 In

: iotaio. (1)

-1) (det Azio

( 13) (detAtio 3) A

+ det

Gio =

,

a

,

...

,

[ I

la

+ +

-

+ +

- -de e

I tele di

I

Proprietà :

IATI

Ial =

· I 28 % 73

188 3 +

-

=

i I 1

se 1) : 31 2(48) 3) !

-

= +

Se A

A det

ottiene A scambio detA

allora

colonne

da di

· si per uno =

s

1503/a /5

A = =

483

1/89 753

| al = +

-

11591 +(83) 7/83)

|A l +