Concetti e argomenti per l'esame di analisi matematica 2

Teorema di Cauchy

(di esistenza e unicità locale)

C_{y'} = {x,y,y'} legge diff. non lineare (1a ordine)

y(x) funzione incognita

1. f(x,y) continua in un rettangolo I x J.

I = { x ∈ R : |x-x₀| ≤ a }

J = { y ∈ R : |y-y₀| ≤ b }

2. f(x, y) LIPSCHITZIANA, cioè se f_y e derivabile rispetto a y e

f_y continua e ∃ L > 0 tale che

|f(x, y₁) - f(x, y₂)| ≤ L |y₁ - y₂|

∀ x ∈ I, ∀ y₁, y₂ ∈ J

(L è detta costante di Lipschitz)

Discontinuità

applicando alla precedente:

_^∂f/_^∂y ||y₁ − y₂|| ≤ M||y₁ − y₂||

Teorema:

∃ δ>0

∃! y(x) soluzione

Si riesce a trovare la soluzione non per tutto l'intervallo ma per un intervallo che può essere più piccolo (δ).

S = min{ a, _^b/M}, M = max{||f(x,y)|| ∈ I x J}

Corollario:

Hp1: (1) f(x,y) continua in un rettangolo

I = {x ∈ R :|x−x₀|≤a}

J = {y ∈ R :|y−y₀|≤b}

(2) ∃_^∂f/_^∂y ed è continua in I x J

Serie di potenze

Teorema

∑ a_n xⁿ converge in x = x̄

∀

converge totalmente in [-r, r] con r < x̄

[ -r □ r ] p = raggio di convergenza

p = SUP { 1/x̄ | la serie converge }

Dimostrazione

∑ a_n x̄ⁿ converge → ( lim a_n x̄ⁿ = 0 )

∃ M so / |a_n x̄ⁿ| ≤ M, ∀ n ∈ ℕ, (a_n xⁿ)

|a_n| x̄^-n, ∀ n ∈ ℕ

|a_n x̄ⁿ |x|ⁿ ≤ M (|x| / |x̄|)ⁿ

|a_n xⁿ| ≤ M (r/x̄)ⁿ

r/x < 1

Tesi

|f_n(x)| ≤ M, ∀ x ∈ [-M, M]

            M_n convergente

Vettore tangente:

^vr(t) = (x(t), y(t))

t ∈ [a, b]

t₀ ∈ I

^vr'(t₀) = (x'(t₀), y'(t₀))

|^vr'(t₀)| = √(x'(t₀))² + (y'(t₀))²

Versore tangente:

^vτ = ^vr'(t₀) / |^vr'(t₀)|

es:

^vr(t) = (t³ - t, t² - 1)

t₀ = 2

^vr'(t) = (3t² - 1, 2t), ^vr'(2) = (11, 4)

|^vr'(2)| = √121 + 16 = √137

^vτ = (11 / √137, 4 / √137)

lunghezza di una curva:

ϕ: [a,b] ⟶ ^ℝm

• t ⟶ (x₁(t), ..., x_m(t))
• [a,b] ⟶ ℝ²
• t ⟶ (t+1, t+2)
• t=o
• f(1,2)

1. L(ϕ) = ∫_a^b ||ϕ'(t)||

ϕ : [a,b] ⟶ ℝ²

• t ⟶ (t, f(t))

grafico: quando la curva è proprio il grafico

2. L(ϕ) = ∫_a^b √1+[f'(t)]² dt

• y = f(x)

coordinate polari:

• ϕ:{x=ρ(t) cos Θ(t)
• y = ρ(t) sin Θ(t)
• t ∈ [a,b]

3. L = ∫_a^b √[ρ'(t)]² + ρ(t)[Θ'(t)]² dt

Lavoro:

L = ∫_γ F · ds^-, ds^- = dx î + dy ĵ

F(x, y) = a(x, y) î + b(x, y) ĵ

prodotto scalare:

L = ∫_γ (a(x, y) î + b(x ,y) ĵ) · (dx î + dy ĵ) =

= ∫_γ [a(x, y)dx + b(x, y)dy = ∫_γ ω ]

Calcolare l'integrale curvilineo significa calcolare il lavoro del campo di forza.

[Forma differenziale esatta vuol dire campo conservativo]

dove γ è una curva di estremi

(x₀,y₀) e (x,y) si ottiene aggiungendo a γ il segmento

di estremi (x,y) (x+h,y) , chiamato p.

f(x+h,y) - f(x,y) = ∫_γ w = ∫_p w

perciò:

f(x+h,y) - f(x,y) = ∫_γ w + ∫_p w - ∫_δ w

per h > 0 (se h < 0 l'intervallo è [h,0]):

x(t) = x + t

y(t) = y

∀t∈[0,h]

A(x,y) e B(x+h,y)

γ(t) = (x + t(x+h-x), y + t²(y-y))

dividendo per h:

f(x+h,y) - f(x,y) / h = 1/h ∫₀^h a(x+t,y)dt

passando al limite per h > 0, per il Th

della media integrale (a è continua), si ha:

Teorema di integrabilitá delle funzioni continue

D ⊂ R² normale

f : D → R continua

Tesi: f è integrabile su D

∃ c ∈ R

s(P₁) ≤ c ≤ S(P₂)

c è c per determinare l'integrale doppio, della funzione f(x,y) nell'insieme D

Se f ≥ 0 in D ⇒

∬∬_D f = il volume del solido in R³ delimitato da D, dal grafico di f e dai segmenti paralleli e passanti per i punti della frontiera di D.

Sia A un dominio di R²:

|diam(A)| = sup{|x-y|, x,y ∈ A}

diametro: distanza max tra due punti del dominio.

Sia D un dominio normale e {D₁, … ,D_n} partizione in domini normali.

f : D → R continua

∬∬∬_D f(x,y) dx dy = ∑_i ⁿ ∬∬_Di f(x,y) dx dy

T

T

x = u + v

y = u + v + v

x = u +

y =

det J

d =

J → matrice delle derivate o jacobiano

J =

det J =

→

=

=

Se è il sostegno della superficie o

codominio

equazioni parametriche:

x = φ₁(u, v)

y = φ₂(u, v)

z = φ₃(u, v)

(u, v) ∈ D

Es.:

D dominio connesso

f : D → ℝ, f ∈ C¹(D) invertibile

superficie ⇒

ψ : D → ℝ³

(u, v) ↦ ψ(u, v) ⇒

{

x = u

y = v

z = f(u, v)