Concetti e argomenti per l'esame di analisi matematica 2

Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale

Consideriamo l'equazione differenziale non lineare del primo ordine:

y' = f(x, y)

con la condizione iniziale:

y(x₀) = y₀

dove y(x) è la funzione incognita.

Ipotesi

1. f(x, y) continua in un rettangolo I x J.

I = {x ∈ ℝ : |x-x₀| < a}
J = {y ∈ ℝ : |y-y₀| ≤ b}

2. f(x, y) è Lipschitziana

ossia f è derivabile rispetto a y e f/dy continua e ∃ L > 0 tale che:

|f(x, y₁) - f(x, y₂)| ≤ L |y₁ - y₂| ∀x ∈ I, ∀y₁, y₂ ∈ J

(L è detta costante di Lipschitz)

Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale

y^' = f(x, y) (eq. diff. non lineare 1^o ordine)
y(x₀) = y₀
y(x) funzione incognita

Ipotesi

1. f(x, y) continua in un rettangolo I x J.

I = { x ∈ R : |x-x₀| ≤ a }
J = { y ∈ R : |y-y₀| ≤ b }

2. f(x, y) Lipschitziana

cioè ∃ f _∂ derivabile rispetto a y e ∂f/∂y continua e ∃ L > 0 tale che:

|f(x, y₁) - f(x, y₂)| ≤ L |y₁ - y₂| ∀x ∈ I, ∀y₁, y₂ ∈ J

(L è detta costante di Lipschitz)

Disuguaglianza

Applicando Lagrange alla precedente:

|f(x, y₄) - f(x, y₂)| = |_df (x, ξ)_dy ||y₁ - y₂| ≤ M|y₁ - y₂|

N = max _{I x J} |_df_dy|

Teorema

∃ δ>0 tale che su I_{x0 - δ, x0 + δ} esiste unicamente y(x) soluzione.

Si riesce a trovare la soluzione non per tutto l'intervallo ma per un intervallo che può essere più piccolo (δ).

S = min _{{a, b}}, M = max_{I x J} {|f(x, y)|(x, y) ∈ I x J}

Corollario

H₁: (1) f(x, y) continua in un rettangolo

I = { x ∈ R: |x - x₀| ≤ a }
J = { y ∈ R: |y - y₀| ≤ b }

(2) ∃ _df_dy ed è continua in I x J

Teorema di Cauchy di esistenza e unicità globale

Ipotesi

1. f(x, y) continua in una striscia I x R

I = { x ∈ ℝ : |x-x₀|

2. f è Lipschitziana in I x R

|f(x, y₁) - f(x, y₂)| ≤ L |y₁ - y₂|, ∀ x ∈ I, ∀ y₁, y₂ ∈ R

Tesi

∃! y(x) definita su I, soluzione

Corollario

H_p:

1. f(x, y) continua in una striscia I x R

I = { x ∈ ℝ : |x-x₀|

2. ∃ ∂f/∂y
3. ∃ M > 0 tale che | ∂f/∂y (x, y)| ≤ M

∀ (x, y) ∈ I x R

Serie di funzioni

{f_n}_n≥1:
S_n = ∑ f_m, S = ∑₁ f_n
S_n = lim S_k

f_n: X ∈ I ⇒ f_n(x) ∈ R

C.P lim_n→+∞ S_n è puntuale
S(x) = ∑ f_n(x) ∀x_fissato ∈ I

C.U. lim_n→+∞ S_n è uniforme
M_n = sup_x∈I |f_n(x)| serie numerica
∑ M_n converge

CT ⇒ CU ⇒ CP

Teorema sulla continuità della somma

La somma di una serie di f continue, convergente uniformemente, è anch’essa continua.

f_n continue

S = ∑₁ f_n C.U.⇒ S è continua

Dimostrazione

se ≪i≫ sono continue ⇒ ≪i≫ continua ⇒⇒ ≪i≫ continua, perché limite uniforme di ≪i≫ (th continuità del limite)

Teorema integrazione per serie

≪i≫ continue in ≪i≫

∫_a^b ≪i≫ ≈ dx = ∑₁^∞ ∫_a^b ≪i≫ dx

Dimostrazione

∫_a^b ≪i≫ ≈ dx = ∫_a^b lim ≪i≫ dx = lim ∫_a^b ≪i≫ dx == lim ∑₁^∞ ∫_a^b ≪i≫ dx = lim ∑₁^k ∫_a^b ≪i≫ dx

Serie di potenze

Teorema

∑₀^∞ a_n xⁿ converge in x = x ⇒ converge totalmente in [-r, r] con r < x

ρ = sup. r

ρ = raggio di convergenza

C.P. (-x, x)

ρ = sup { x / la serie converge }

Dimostrazione

∑₀^∞ a_n x