Matematica generale - concetti

Gruppi ciclici e omomorfismi

Sia G un gruppo ciclico. Se G è infinito, se G è finito.

Inversi nei gruppi ciclici

Sia \( n \{ \} = -Z [ 0 ], [1],..., [ n 1] [r ] \) Sia. Data la classe esiste l’inversa se:

\( n \sdot = \Rightarrow \equiv \Rightarrow =[ r ] [ x ] [1] rx 1( n ) ( r , n ) 1 \)

Se n è un numero primo, esiste sempre l’inversa.

Operazioni nei gruppi ciclici

Rispetto all’operazione di addizione, forma un gruppo abeliano mentre forma un gruppo sen \( n= + \sdot( r , n ) 1 ( Z , , ) \), quindi se è valida quest’ultima condizione forma un anello.

Esempio: [ ]= =Z [ 0 ], [1], [ 2 ],..., [19 ] [r ] ( r , 20 ) 1 Sia n=20. Consideriamo tutte le classi:

• [1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19]

X costituisce un sottogruppo di \( { }=20[ ] \).

Sottogruppi di un gruppo ciclico

Sia \( X = [1], [ 7 ], [ 3], [ 9 ], [11], [17 ], [13], [19 ] \).

• \([1]\)
• \([3]\)
• \([7]\)
• In quanto ad esempio, \([3] \cdot [7] = [21] \equiv 1 \mod 20\)

Sia \( Y = \{ [1], [3], [7], [9] \} \). Y è un sottogruppo di X ciclico generato da [3]. Infatti, \( [0] = [1], [2], [3] \).

Sia \( Z = \{ [1], [9] \} \). Z è un sottogruppo ciclico generato da [9].

Partizioni e laterali sinistri

Consideriamo il laterale sinistro di Y rispetto alla classe [11]:

• \( Y \cdot [11] = \{ [11], [13], [17], [19] \} \)

Notiamo che abbiamo effettuato una partizione di \( YX \) in \( \) e \( \).