Appunti Analisi 2

TEOREMA DELLA DIVERGENZA (GAUSS) ∂

1) ′ =

∫ ∬

Ω

∂

Sia regolare a tratti con bordo orientato 2)

Ω ⊂ ℝ − ′ =

∫ ∬

Ω

positivamente (secondo la normale uscente). ′

( ), ( )

� � � ∗

1

Sia aperto, .

, ( )

Ω ⊆ , : → ℝ , ℝ

∈

Allora Essendo il dominio normale, si può scrivere:

2

{( ) [ ], ( ) ( )}

Ω = , ∈ ℝ : ∈ , ≤ ≤

116

Osserviamo che il bordo di può essere spezzato

Ω ( ) ( )

�

= �, � − �, �

in 4 parti e quindi in 4 curve:

Calcoliamo ora ∂

−� =

Ω

() ( )

� ,

= − �� � =

()

( ) ( )

�

= − �, � − �, � =

( ) ( )

�

= �, � − �, �

come grafico di come segmento

(),

1 2 come grafico di

verticale dal basso verso l’alto, Ho quindi dimostrato che

3

al “contrario”, come segmento dall’alto

()

4 ∂

verso il basso. � �

′ = −

Ω

2

[ ]

: , → ℝ

1 Per dimostrare

1′ ′

( ) ( ) ( ) ( )

= �, � = �1, �

,

1 ∂

� �

′ =

2

[ ( ), ( )]

: → ℝ

2 Ω

2′

( ) ( ) ( ) (0,1) scriviamo come insieme normale rispetto

= , =

, Ω

2 all’asse :

2

[ ]

: , → ℝ

−

3 2

{( ) [ ], ( ) ( )}

Ω = , ∈ ℝ : ∈ , ≤ ≤

3′ ′

( ) ( ) ( ) ( )

= �, � = �1, �

, −

−

3 Si effettuano i medesimi calcoli di prima e si

2

[ ( ), ( )]

− : → ℝ osserva sempre che

4 4′

( ) ( ) ( ) (0,1)

= , =

, −

−

4 ′ ( ( ), )

� �

= − +

+ + +

=

1 2 3 4 ( ( ), )

�

+ ⏟

0 + + ⏟

0 =

′

( ), ( )

� � � ∗ =

2 4

[ ( ( ), ) ( ( ), )]

� =

= −

( )

� +

= �, � ∗ 1

() ()

( )

� +

+ , ∗ 0 ( )

� ,

= �� � =

() ()

( )

� +

− �, � ∗ 1

� ◼

=

() Ω

( )

−� , ∗ 0 = Significato fisico della divergenza:

()

Se ho un punto e un campo cosa

)

( , , ,

( ) ( )

� =

= �, � − �, � significa ( )

div ?

, ,

Costruisco una pallina intorno al punto di raggio

Cambio il nome di ⇝

117

)

(( )

= , , , ′

( ), ( ) ( ) ( ), ( )

� � � ∗ − � �

= ′

( )

=

∗

Sappiamo che

∂ ( ) ( )�

�� , + ,

=

Ω

⟨,

� �

div = ν⟩

Che diventa

Se dividiamo per il volume della sfera e ′

prendiamo il limite per il raggio che tende a 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( )

� � � ∗ + � �

′

1 ( )

=

∗

� div

lim )

(

+

→0

∂

( ) ( )�

�� , + ,

=

Per il Teorema della media posso trovare un Ω

punto dentro la palla tale che l’integrale sulla Osservo che

palla diviso il suo volume è pari a ′ ′

( ) ⟨ℎ,

)

( � �

∗

+ ∗ = =

⟩

∈

div , ,

���������������

E quindi il limite tende a

∂

( )

div , , ( ) ( )�

� � , + , =

=

���������������������

Ω

cioè la divergenza nel punto. ,−

⟨,

∂

ν⟩

∬

( ) ( )�

��

= , − , =

( )

⇒ div , , = lim

���������������

)

(

+

→0 Ω

rot ℎ

In particolare se allora il flusso

( )

div , , = 0

è nullo.

(0,0,1) ⟩

⟨rot

�

=

ℎ,

Ω

DEF: FORMULA DI GAUSS-GREEN (TEOREMA DEL

solenoidale

Un campo si dice se esiste un

ROTORE IN )

ℝ

3 tale che

potenziale vettore rot ℎ =

ℎ: → ℝ 2

Sia dominio regolare a tratti, con bordo

Ω ⊂ ℝ

[ conservativo vuol dire campo

⇒ = , orientato positivamente (secondo la normale

�

scalare in particolare

⇒ rot = rot = 0; esterna); Supponiamo aperto,

Ω ⊂ ,

circuitazione nulla.

⟨,

⇒ = 0

⟩

∮

2 1 2

( )

, ℝ

, ∈

: → ℝ

solenoidale campo vettore⇒ in

⇒ = rot ℎ, ℎ

( ) ( )

, = ,

particolare div = div rot ℎ = 0; Allora vale la formula

superficie chiusa ]

⟨,

⇒ = 0,

⟩

∯

⟨, �

� � �

= − =

⟩

+

Ω Ω

Teorema della divergenza = 2:

(0,0,1) ⟩

⟨rot

�

= ,

Definiamo un nuovo campo Ω

( )

− , DIM:

( ) � �

ℎ , = ( )

, Si consideri un campo

Sia ( ) ( ), ( ) ( )

− , = , , = ,

Bisogna dimostrare che 118

(0,0, −4)

rot =

( ) ( ) ( )

ℎ , = �