Appunti Analisi 2

LE SERIE Studiare i caratteri di una serie significa stabilire

se la serie converge, diverge o è indeterminata.

(1 1) (1 1)

1 − − − − − …

⏟ = 1? Nel nostro caso

?

Serie numeriche a valori complessi 2

= 1 + + + ⋯ + =

Sia una successione di numeri complessi

)

( ℂ. −1

(1 )

= 1 + + + ⋯ + =

+ −

∈ ℂ, ∀

+1

= 1 + ∗ −

Definiamo la successione )

( Se ≠ 1

+1

(1 )

− = 1 −

= � = + + ⋯ +

1 2 +1

1 −

=0 =

1 −

è la successione dei termini generali

( )

1

è la successione delle somme parziali (o

( )

||

⎧ , < 1

1 −

⎪

delle ridotte) +∞, = 1

lim =

⎨

→+∞ +∞, ∈ ℝ, > 1

⎪

La coppia di successioni e si chiama ||

) )

( ( ⎩ , ∈ ℝ, ≤ −1 ∉ ℝ, ≥ 1

serie. ESEMPIO:

1

Vista la serie = ⇒

2 +∞

1 1 1 1

= + + + ⋯ +

3(cos(1))

�

2 4 8 2 =37

lim = 1

→+∞ La serie è geometrica di ragione |cos (1) | < 1

quindi è convergente

Se esiste +∞ 36

lim = 3

→+∞

3(cos(1))

3(cos(1

)) = − �

� cos(1)

1 −

+∞ =37 =0

=

� ESEMPIO:

=0 = +

+1 +1

somma della serie.

si dice la

− =

+1 +1

convergente.

Se è finito la serie si dice Se è

±∞ Supponiamo che la serie sia convergente,

divergente.

si dice Se il limite non esiste si dice = lim =

lim

divergente. +1

→+∞ →+∞

Sia − = 0 =

⇒

+1 +1

TEOREMA DELLA CONDIZIONE NECESSARIA PER

( −1)

=

LA CONVERGENZA DI UNA SERIE:

0 è

( −1)

= � = � Sia una serie convergente

+ + ⋯ +

1 è 0 1

=0 allora

lim = ?

lim = 0

→+∞

→+∞

Consideriamo = , ≥ 0

∈ ℂ,

non

La condizione è necessaria ma sufficiente.

2 serie

La serie si dice

1 + + + ⋯ +

geometrica di ragione . 1

RELAZIONE TRA SERIE E INTEGRALI senso generalizzato su se e solo se la

[1, +∞[

GENERALIZZATI serie di partenza è convergente, e

+∞

Ogni serie può essere pensata come un integrale +∞ ( )

�

� =

generalizzato 1

=1

+∞

( ) ( )

� �

= lim

→+∞

LA SERIE ARMONICA

Sia data una successione , di cui vogliamo

( )

considerare la serie. Sia una successione

)

( 1

Definiamo la funzione : [1, +∞[ =

() = , ∈ [, + 1[

() = 1/, ∈ [, + 1[

+1 +1

( )

� �

= =

() ≥ 1/, ∀ ∈ [1, +∞[

La somma parziale della serie Vista la precedente osservazione, la serie

= + + ⋯ + = converge se e solo se esiste finito il limite

1 2

2 3 +1 +∞ 1

( ) ( )

( ) � �

� + + ⋯ +

= (log 1)

� − = +∞

= lim

1 2 →+∞

1

+1 Quindi dato che la funzione non è integrabile, la

( )

�

= non converge.

serie di partenza

1

Dire che la serie converge equivale a dire che 1 1

Poiché e non è integrabile, su

( )

≥ [1, +∞[,

esiste finito il limite all’infinito per le somme per il confronto non lo è nemmeno e quindi la

,

parziali

1 è divergente.

serie ∑

+1 ( )

�

= lim

⇒ lim 1

In generale possiamo vedere se converge?

∑

→+∞ →+∞ 1

Quindi se esiste l’integrale generalizzato della

+∞ 1

1 1−

� �

� = lim =

funzione coincide con la somma della serie

, 1 −

→+∞ 1

1

(sostituisco con

+ 1). +∞, < 1

Se esiste la somma della serie vale viceversa, ma 1

�

= , > 1

va dimostrato. − 1

1

Sia una serie, sia la funzione

+ + ⋯ +

1 2 , ∈] − 1, ]

() =

associata come sopra, allora è integrabile in

In questo modo la funzione risulta essere

2

1 Per il Teorema del confronto dei limiti si conclude

( )

≤ che

1

è integrabile perché è integrabile, +∞ +∞

, > 1,

� ≤ � ◼

1

quindi la serie generalizzata è convergente

∑

=0 =0

per > 1. AUT AUT PER LE SERIE A TERMINI POSITIVI

1

Se la serie è divergente.

∑

0 < < 1 Sia Allora la serie

≥ 0, ∀ ∈ .

TEOREMA CRITERIO DEL CONFRONTO PER SERIE +∞

A TERMINI POSITIVI �

=0

Sia allora se la serie

0 ≤ ≤ , ∀ ∈ ,

non può

è convergente oppure divergente,

+∞ essere indeterminata.

�

SEMI DIM:

=0

converge, converge anche Si usa la monotonia della successione delle

.

ridotte )

(

+∞

� SERIE A TERMINI POSITIVI

=0 Criterio del confronto (non serve

•

Se invece la serie chiedere che valga ∀ ∈ ).

+∞ Siano siano tali che

, ≥ 0,

�

=0 lim = lim = 0

→+∞ →+∞

diverge, diverge anche E che valga

+∞

� ord ≥ ord

=0 Allora, se la serie

DIM: +∞

Siano �

=0

= + + ⋯ +

1 2 converge, converge anche la serie

e +∞

= + + ⋯ +

1 2 �

le ridotte dei termini di e .

=0

Se invece la serie

e quindi è

Essendo ≤ , ∀ ⇒ ≤

è finito lo è anche

evidente che, se il limite di +∞

quello di , e se il limite di è infinito lo è

�

anche quello di .

=0

OSS: Diverge, diverge anche la serie

+∞

,

I limiti esistono perché le successioni

lim

→+∞ �

e sono crescenti.

( )

� �

=0

3

DIM: ∀ > 1 ⇒ ord <

Quindi questo caso non può essere risolto con il

caso :

ord > ord

criterio del confronto.

lim =0

Considero la serie quindi

→+∞

Fissato un tale che

> 0, ∃ ∈ ∀ ≥ +∞

1 1 1

� = +∞

log

< =2

Diverge perché, considerando l’integrale

E quindi .

<

generalizzato della funzione associata

Caso ord = ord :

+∞

1 1

� �

= lim =

log log

→+∞

lim = ∈ ℝ 2 2

→+∞ =log log 1

Fissato un tale che �

=

⏞ lim = +∞

> 0, ∃ ∈ ∀ ≥

2 2

→+∞ log 2

� − � < Considerando invece

1

E quindi =

(log ) 2

( ) ( )

< + ⇒ < +

Continua a valere che e però

ord > 1 → 0

1

Concludo in entrambi i casi applicando il Teorema converge.

la serie

del confronto. ◼ +∞

1 1

� �

= lim =

COROLLARIO (CRITERIO DELL’ORDINE DI (log ) (log )

2 2

→+∞

2 2

INFINITESIMO) =log log 1

�

=

⏞ lim = ∈ ℝ

Sia sia

≥ 0 ∀, lim = 0 2

→+∞

→+∞ log 2

+∞ diverge.

la serie

Se ∑

≤ 1

ord ESEMPIO:

=0 la

Se invece esiste e ≥ ,

∈ ℝ, > 1 ord +∞

5 + cos

converge.

serie � 3

3 + 2

=0

DIM: Converge perché l’ordine è 2.

Confronto con +∞ 2 √

1 �

=

2

+ + 1

=1 3

E concludo. ◼ Converge perché l’ordine è .

2

ESEMPIO: +∞ 1

� �

�

� 1 − cos

1

=

log =1

1

> 1 ⇒ → 0

ord �

�

�

1 − cos

lim =

1

→+∞

è di ordine infrareale, quindi 4

� la

Per confronto con la serie geometrica ∑

1

⃓ �

�

1 − cos

⃓ 1

⃓ converge.

serie ◼

⃓

= lim ∗ =

⃓ 1 2

⃓

→+∞ ⃓ ������

���

2 COROLLARIO (CRITERIO DEL RAPPORTO)

⃓

⃓ 1

→

⎷ 2 Esista il limite

> 0 ∀,

1 1 +1

lim =

� = lim

= lim

→+∞

2

2 ∗

√2

→+∞ →+∞

converge.

Se la serie

< 1

Diverge perché l’ordine è 1. OSS:

+∞

� Se la serie diverge perché non è

)

(

> 1

( !) 2

=1 infinitesima.

DIM:

lim = lim =

2

( !) 2

→+∞ →+∞ �√2 � � �

Fissato esiste tale che si ha che

> 0 ∀ ≥

+1

= lim = � − � <

2

1

→+∞

2 �

�

2 ∗ ∗ +1 < +

− <

1

=

= lim

2

1

→+∞ �

�

∗

2 ∗ Prendo allora per il precedente

< 1 − ,

Teorema la serie converge :

( 1)

<

2

= lim = ?

2 ∗

→+∞ +1 ���

< + < + 1 − = 1 ◼

Con il metodo del confronto non si riesce ad

arrivare a una conclusione. Tornando quindi all’esempio

CRITERIO DEL RAPPORTO (18) +∞

�

ed esista una costante ( !) 2

> 0, , 0 ≤ < 1,

=1

tale che ∀ ∈ +1 2

( 1) ( !)

+

+1

= ∗

+1 [( 1)!] 2

≤ +

2

( !)

( 1)( 1)

+ +

Allora converge la serie lim ∗ =

[( 1)!]

2

+

→+∞

+∞

1

1

� �1 �

+

= lim = 0 < 1

��

���

��

+ 1

→+∞

=0

DIM: Quindi la serie converge per il criterio del

rapporto.

≤ ∗

+1

≤ ∗

1 0

2

≤ ∗ ≤ ∗

CRITERIO DELLA RADICE N-ESIMA

2 1 0

Per induzione quindi si dimostra che Sia esista poi tale che

≥ 0, ∈ ℝ, 0 ≤ < 1

si ha che

∀ ∈

≤ ∗

0

� ≤

5

Allora converge la serie Se la serie è di ordine sopra reale,

• < 0

quindi converge

+∞ Se la serie converge per il criterio

• > 0

� della radice n-esima.

=0 ESEMPIO:

DIM: +∞

elevo alla entrambi i termini

1 �

�1

� log −

≤

=2

Essendo e una serie geometrica, la Non è a termini positivi, quindi cambio segno

0 ≤ < 1

serie converge. ◼ +∞ 1

�1 �

− � − log −

COROLLARIO

=2

Sia ed esista il limite

≥ 0,

Applico il criterio del rapporto

�

lim = 1

→+∞ �

�1

log − + 1 =

lim

converge.

Allora, se la serie ∑

< 1 1

→+∞

�

�1

log −