Appunti Analisi 2

DERIVATE PARZIALI

Definizione

∫ f(x,y)–f(x₀,y₀) = lim_t→0 ∫ (x₀+tv₁,y₀+tv₂) - f(x₀,y₀)

La derivata lungo una qualsiasi direzione (v₁, v₂) è definita da tale espressione. Dico lungo una qualsiasi direzione perché in un punto ci posso arrivare lungo infinite direzioni.

Esempio: f(x, y) = 2x - xy (x₀, y₀) = (1,3) lim_t→0 [2(1+tv₁) + (1+tv₁)(3+tv₂)] - (2-3) / t lim_t→0 2 + 2tv₁ + 3 - 3tv₂ t, - v₂t, t t² + 1 / t lim_t→0 2v₁t + 3v₁t - v₂t - v₂t t t² = lim_t→0 2v₁ - 3tv₂ + t t v₁t

Posso accettare qualsiasi numero basta che non sia ∞.

Questo vuol dire che in base alla direzione che scelgo (v₁, v₂), ottengo una derivata pari a questa. Per esempio se voglio la derivata di tale punto lungo la vettore (1,2,5) ottengo come derivata tale.

Son molte dovute fare lim o lim se corrispondono allora esiste una derivata parziale, uno non specifica direzione è punto.

In modo pratico: ∂_x(x,y) = 3x²y - y - lny – 2x y³ -3x-1 ∂_y(x,y) = 3y² x - lny - 2y³ - 3 ∂_z(x,y) = 3x² x - - 6x y³ x_x(x,y) = 6y x_y(x,y) = x¹/y² - 2 x y

• x_y(x,y) = 6x - x¹/y - 6y²

Queste due derivate parziali miste sono uguali e non è un caso perché indifferentemente il teorema di Schwarz: se ho una f in due variabili definite in un insieme aperto di r² e questa funzione ammette derivate seconde miste continue => le due derivate miste coincidono.

Continuità, Derivabilità e Differenziabilità

• Continuità

La funzione \( f(x,y) \) con \( (x_0,y_0) \) è continua se \( \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = L \)

• Cambio di coordinate:

Caso 1

\( x = x_0 + \beta \cos \theta \)

\( y = y_0 + \beta \sin \theta \)

In questo caso sto andando delle circonferenze e man mano adisco esse e vedo se vanno a coincidenti al punto dove voglio calcolare il limite.

Se almeno fosse il limite esiste.

\( \lim_{\beta \to 0} f(x_0 + \beta \cos \theta, y_0 + \beta \sin \theta) = L \)

Il limite di \( \beta \to 0 \) vuol dire prendere circonferenze sempre più piccole.

Es.

\( f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^4} \longrightarrow \frac{\beta^2 \cos^2 \theta \beta \sin \theta}{\beta^2 \cos^2 \theta + \beta^4 \sin^4 \theta} \)

Caso 2

\( y = m(x-x_0) + y_0 \) → passo sullo stesso punto per infinite rette.

\( \lim_{x \to x_0} f(x, m(x-x_0) + y_0) = l \)

Caso 3

\( y = kx^2 \) → passo sullo stesso punto per infinite parabole.

\( \lim_{x \to x_0} f(x, kx^2) = l \)

Caso 4

\( \begin{cases} x = x_0 + \rho \cos \theta \cos \varphi \\ y = y_0 + \rho \cos \theta \sin \varphi \\ z = z_0 + \rho \sin \theta \end{cases} \)

\( \rho \ge 0 \) → passo sullo stesso punto per infinite sfere.

\( \begin{cases} x = x_0 + \rho \sin \varphi \cos \psi \\ y = y_0 + \rho \sin \varphi \sin \psi \\ z = z_0 + \rho \cos \varphi \end{cases} \)

\( \rho \ge 0, \psi \in [0,2\pi] \)

e poi in entrambi i casi si calcola \( \lim ... = l \)

Equazioni Curve e Disegno Curve

• Circonferenza

ax²+ay²+bx+cy+d=0

Quando ho che l'eq fa con due termini x² e y² che davanti hanno lo stesso numero e lo stesso segno allora facilmente ho a che fare con una circonferenza.

Per prima cosa divido per a in modo che i termini in x² e y² abbiano coefficiente pari a 1, ottenendo un'equazione del tipo:

x²+y²+Ax+By+C=0

Il centro di questa circonferenza è dato da

Centro (-_A/₂, -_B/₂)

E il raggio è dato da

R₁=₁/²√(A²+B²-4C)

1) x²+y²+By+c=0 se manca A la circonferenza ha il centro su un punto dell'asse y;

2) x²+y²+Ax+c=0 se manca B la circ. ha il centro sull'asse x;

3) x²+y²+Ax+By=0 se manca C la circ. passa per l'origine;

4) x²+y² se manca A e B la circ. ha centro nell'origine;

5) x²+y²+cy=0 se manca A e C la circ. ha centro su un punto dell'asse x e passa per l'origine;

6) x²+y²+Ax=0 se mancano B e C la circ. ha centro su un punto dell'asse x e passa per l'origine.

• Ellisse

ax²+by²+cx+dy+e=0

Se ho un'eq. del genere e ho che i termini di x² e y² hanno lo stesso segno, sto parlando di un'ellisse. E hanno questo modello:

(_x-xc)²/^A2 + (_y-yc)²/^B2 = 1

Per ricondurmi a questa formula devo sapere che:

A² : b B² : a -2Bx_c = c -2Ay_c = d

FORME DIFFERENZIALI

Le forme differenziali sono funzioni che hanno questa scrittura:

F(x,y): F_xdx + F_ydy

1. Calcolo dominio di F_x e di F_y, e poi prendo la soluzione comune.
2. Una forma è detta chiusa se   ^∂F_y⁄_∂x = ^∂F_x⁄_∂y La forma chiusa allora forse è anche esatta.
3. Una forma si dice esatta se l'ogni regione à tratti è chiusa; allora l'integrale di linea:   ∫_ω  = 0
   • Usando il teorema di Poincaré: dominio se la forma differenziale è chiusa e A è ’n insieme connesso allora la forma differenziale è esatta
   • Essere esatto vuol dire che esiste una funzione tale che derivata parzialmente rispetto ta x ti da F_x e rispetto alla y di da F_y.

   - Calcolo forma primitiva:

   1. ∫F_xdx = U + c(y)
   2. Ponendo ˝∷ U + c^′(y) = F₂ ovvero deriva il risultato del primo passaggio        seconda la y e lo confrontiamo con F_y(scorr.c1(y)) non la conosciamo ma che        u sua derivata sarà c^(′)(y)).
   3. Troynando c₁(y) integrale tornando c₁(y) che vado o sostisuine nel primo punto     La primitiva sarà U + c₁(y)
4. Analogè è per F_ydy.

        ^∂F₁⁄_∂y        ^F₂⁄_∂x

         0

        ^∂F₁⁄_∂x              ^∂F_y⁄_∂x

     ^∂F_z⁄_∂z       ^∂F_z⁄_∂y

irrotazionale ℵω chiusa. Se

1.  ^∂F₁⁄_∂y ≡ 0 z approve
2.  ^F₂⁄_∂x

GRADIENTE, LAPLACIANO, DIVERGENZA E ROTORE

Una funzione scalare o una funzione di tipo vettoriale al cui interno vi sono altre funzioni

Gradiente

∇F = _∂F/_∂x i + _∂F/_∂y j + _∂F/_∂z k

Mi indica come varia F al variare dei suoi parametri

Divergenza

∇·F = _∂Fx/_∂x + _∂Fy/_∂y + _∂Fz/_∂z → scalare

Indica la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio (che andrebbe sostituito alle variabili).

Rotore

∇ × F = rot F → vettore

rot F = det

| i     j     k |

| _∂/_{∂x ∂}/_{∂y ∂}/_∂z |

| F_x F_y F_z |

Il rotore è un operatore vettoriale che descrive la rotazione infinitesima associata a ciascun punto dello spazio del vettore V. Un vettore allineato all'asse di rotazione e il suo verso è coerente con la regola della mano destra dove sul pollice deve entrare il vett e sull'indice ∇ (nabla) e sul medio il vettore F.

Se il rot F ≠ 0 allora il campo si dice rotazionale.Se il rot F = 0 allora il campo si dice irrotazionale cioè non ruota.

Laplaciano

∇·∇F = ∇²F = ΔF

È un operatore di tipo ellittico che in coordinate cartesiane è definito come la somma delle derivate seconde non miste e calcolato rispetto delle coordinate.

ΔF = (_∂²Fx/_∂x², _∂²Fy/_∂y², _∂²Fz/_∂z²)