Appunti Analisi 2

DERIVATE PARZIALI

DEFINIZIONE:

∫_{((x0,y0),(x,y))} ∇f(x,y)•d_l = lim_{t → 0} [ f(x₀ + t v₁ ; y₀ + t v₂) - f(x₀,y₀) ] / t

LA DERIVATA LUNGO UNA QUALSIASI DIREZIONE (v₁,v₂) È DEFINITA DA TALE ESPRESSIONE

DICO LUNGO UNA QUALSIASI DIREZIONE PERCHÉ IN UN PUNTO CI POSSO ARRIVARE LUNGO

NENTE DIREZIONI

→ (v₁,v₂)

ESEMPIO:

X(x,y) = 2x - xy

(x₀,y₀) = (1,3)

lim_{t → 0} [2(1 + t v₁)] [(1 + t v₁)] [(3 + t v₂)] - 2(-3) / t = lim_{t → 0} (2 + 2t v₁ - 3 - 3t v₁ - t v₁t v₂ + t²) t + 1 / t

lim_{k → 0} v₁t - 3v₁t - v₁t - v₁t v₂t ² = lim_{t → 0} 2v₁ - 3t v₁ - v₁t - v₁t t v₂ ² - v₂ = -v₂ - v₂

POSSO ACCETTARE QUALSIASI NUMERO BASTA CHE NON SIA ∞)

QUESTO VUOL DIRE CHE IN BASE ALLA DIREZIONE CHE SCELGO (v₁,v₂)

DEFINIAMO UNA DERIVATA PARI A QUESTA. PER ESEMPIO SE VOGLIO LA DERIVATA DI

ASCENDERE IN TALE PUNTO LUNGO LE RETTE (1,2,5) DEFINENDO COME DERIVATA

PARZIALE: F T = 0,2 VIA A M B

SON VOLTA DOVRÒ FARE lim^{t → 0} = lim^{t → 0} SE CORRISPONDONO ALLORA ESISTE

LA DERIVATA PARZIALE LUNGO UNA SPECIFICA DIREZIONE È PARIAO.

IN MODO PRATICO:

∂/∂x(y,x) = 3x * y - x * lny - 2xy³ - 3x - 1

∂/∂y(x,y) = 3y² x - lny - 2y³ - 3

∂/∂x(x,y) = 3x² - x - 1/y - 6xy³

∂/∂y²(x,y) = 6xy

∂^{1_y(x,y) = 3y2 x - 1/y3 + 2↓xy}

∂/∂x(x,y) = 6x * - 1/y * 6y²

} QUESTE DUE DERIVATE PARZIALI MISE SONO UGUALI E NON È UN CASO PERCHÈ INTERVIENE IL TEOREMA DI SCHWARTZ: SE

HO UNA F IN DUE VARIABILI DEFINITE IN UN INSIEME APERTO

DI R'² E QUESTA FUNZIONE AMMETTE DERIVATE SECONDO

MISRE CONTINUE => LE DUE DERIVATE MISFE COINCIDONO

DERIVATE PARZIALI

DEFINIZIONE:

lim_t→0 [f(x₀+tυ₁; y₀+tυ₂) - f(x₀, y₀)] / t

La derivata lungo una qualsiasi direzione (υ₁, υ₂) è definita da tale espressionedico lungo una qualsiasi direzione perchè in un punto ci posso arrivare lungo infinite direzioni. → t ≠ (υ₁, υ₂)

ESEMPIO:

f(x, y) = 2x - xy   (x₀, y₀) = (1, 3)

lim_t→0 [2(1+t) - 1(3+t)] / t = [2+2t-t-3] / t = -1

Posso accettare qualsiasi numero basta che non sia ∞

Questo vuol dire che in base alla direzione che sceglierò (υ₁, υ₂),ottengo una derivata pari a questa. Per esempio se voglio la derivata ditale f in tale punto lungo le rette (1/2, 5) ottengo come derivatapari a -1.

Non vuol dire comunque fare lim_t→0 e lim_t→0 se corrispondono allora esistela derivata parziale lungo una specifica direzione e punto.

In modo pratico:

f_x(x, y) = 3x·y - x ln y - 2xy³ - 3x - 1

f_y(x, y) = 3yx² · ln y - 2y³ - 3

f_xx(x, y) = 3x² · x - 1/y - 6xy³

f_yy(x, y) = 6y

f_xy(x, y) = x·1/y - x

f_xy(x, y) = 6x - x·1/y - 6y²

Queste due derivate parziali miste sono uguali e non èun caso perchè interviene il teorema di Schwarz: se ho una f in due variabili definita in un insieme apertodi R² e questa funzione ammette derivate secondomiste continue e le due derivate miste coincidono.

CONTINUITÀ, DERIVABILITÀ E DIFFERENZIABILITÀ

- Continuità

La funzione

{f(x,y) l

(x,y) → (x_o,y_o)

è continua se lim (x,y)→(x_o,y_o) f(x,y) = l

Cambio di coordinate:

Caso 1

{x = x_o + ρ cosθ y = y_o + ρ sinθ

In questo caso sto studiando delle circonferenze e man mano adìco esse e vedo se vanno a concentrarsi nel punto dove voglio calcolare il limite. Se avviene posso dire il limite esiste.

lim ρ → 0 |{x = x_o + ρ cosθ, y = y_o + ρ sinθ}| = l

Il limite di ρ → 0 vuol dire prendere circonferenze sempre più piccole.

es.

f(x,y) = x²y x²+y²