Approfondimento delle applicazioni lineari - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 15/10/2020

Applicazioni lineari

APPLICAZIONI LINEARI

Una applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali e quando vengono

verificate le seguenti proprietà: ⃗ ⃗

Additività: ovvero che per ogni , ∈ V si ha che:

 U V

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

f( + ) = f( ) + f( )

U V U V

⃗

Omogeneità: per ogni ∈ V e ogni k ∈ R si ha che:

 V

⃗ ⃗

f(k ) = kf( )

V V

Inoltre una funzione f : V W è lineare se e solo se preserva le combinazioni lineari,



⃗ ⃗

cioè per ogni , in V e per ogni h, k numeri reali si ha:

U V ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

f(h + k ) = hf( ) + kf( )

U V U V ⃗ ⃗

Inoltre nel caso una funzione fosse lineare, allora la funzione: f( ) = .

0 0

⃗ ⃗

Infatti questa funzione equivarrebbe a scrivere f(0 * ) = 0 * f( ) =

0 0

⃗

0

Inoltre non è vero il viceversa in questo caso, ovvero che se in una funzione viene

inserito come “parametro di ingresso” il vettore nullo di uno spazio vettoriale, e questo

porta ad ottenere il vettore nullo del secondo spazio vettoriale non vuol dire che la

funzione sia lineare.

Ad esempio considerando la funzione: ⃗ ⃗

f : R R f(x) = x f( ) =

2

  0 0

Nonostante si ottenga il vettore nullo del secondo spazio vettoriale, non

viene verificata la

Proprietà di omogeneità in quanto:

f(kx) = (kx) = k x ≠ kf(x) = kx

2 2 2 2

Non è rispettata nemmeno la proprietà di additività:

f(x + y) = (x + y) = x + y + 2xy ≠ f(x) + f(y) = x + y

2 2 2 2 2

Inoltre esistono 2 particolari tipi di applicazione lineare: ⃗

⃗

L’applicazione nulla: 0 : V V, 0( ) = è lineare

  0

V

⃗ ⃗

L’applicazione identica: I : V V, I( ) = è lineare

  V V

L’applicazione identica può essere indicata in vari modi (I , Id , id , 1 ).

v v v v

Infine la composizione di applicazioni lineari, è lineare a sua volta: 1

Tosetti Luca 15/10/2020

Applicazioni lineari

considerando f : V U e g : U W funzioni lineari.

  2

Tosetti Luca 15/10/2020

Costruzione di applicazioni lineari

Anche g(f(x)) : V W è lineare



N.B: La composizione di due funzioni si può scrivere anche come: g ◦ f, e quindi

si avrebbe: g ◦ f : V W



LO SPAZIO HOM(V, W)

Prendendo in considerazione due spazi vettoriali V e W, l’insieme delle applicazioni

lineari che vanno da V a W è anch’esso uno spazio vettoriale.

Hom(V, W) = { f : V W | f lineare }



Infatti andando a considerare due applicazioni lineari F e G appar