Approfondimento delle applicazioni lineari - Algebra e geometria lineare

APPLICAZIONI LINEARI

Una applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali e quando vengono verificate le seguenti proprietà: - Additività: ovvero che per ogni u, v ∈ V si ha che: f(u + v) = f(u) + f(v) - Omogeneità: per ogni v ∈ V e ogni k ∈ R si ha che: f(k * v) = k * f(v) Inoltre una funzione f : V → W è lineare se e solo se preserva le combinazioni lineari, cioè per ogni u, v ∈ V e per ogni h, k numeri reali si ha: f(h * u + k * v) = h * f(u) + k * f(v) Inoltre nel caso una funzione fosse lineare, allora la funzione f(v) = 0 * v. Infatti questa funzione equivarrebbe a scrivere f(0 * v) = 0 * f(v) = 0. Inoltre non è vero il viceversa in questo caso, ovvero che se in una funzione viene inserito come "parametro di ingresso" il vettore nullo di uno spazio vettoriale, e questo porta ad ottenere il vettore nullo come "risultato di uscita", non possiamo concludere che la funzione sia lineare.

vettore nullo del secondo spazio vettoriale non vuol dire che la funzione sia lineare. Ad esempio considerando la funzione:

f : R → R, f(x) = x

f(0) = 2

Nonostante si ottenga il vettore nullo del secondo spazio vettoriale, non viene verificata la proprietà di omogeneità in quanto:

f(kx) = kx^2 ≠ kf(x) = kx^2

Non è rispettata nemmeno la proprietà di additività:

f(x + y) = x + y + 2xy ≠ f(x) + f(y) = x + y

Inoltre esistono 2 particolari tipi di applicazione lineare:

L'applicazione nulla: 0 : V → V, 0(x) = 0

L'applicazione identica: I : V → V, I(x) = x

L'applicazione identica può essere indicata in vari modi (I, Id, id, 1).

Infine la composizione di applicazioni lineari è lineare a sua volta:

Considerando f : V → U e g : U → W funzioni lineari.

Tosetti Luca 15/10/2020

Applicazioni lineari

considerando f : V → U e g : U → W funzioni lineari.

Tosetti Luca

15/10/2020

Costruzione di applicazioni lineari

Anche g(f(x)) : V → W è lineare

N.B: La composizione di due funzioni si può scrivere anche come: g ∘ f, e quindi si avrebbe: g ∘ f : V → W

LO SPAZIO HOM(V, W)

Prendendo in considerazione due spazi vettoriali V e W, l'insieme delle applicazioni lineari che vanno da V a W è anch'esso uno spazio vettoriale.

Hom(V, W) = { f : V → W | f lineare }

Infatti andando a considerare due applicazioni lineari F e G appartenenti a hom(V, W) si ha che:

Somma: (F + G)(x) = F(x) + G(x) per ogni x appartenente a V

Prodotto: (kF)(x) = kF(x) per ogni x appartenente a V e per ogni numero k

In particolare tale spazio vettoriale hom, è considerabile come sottospazio (ed è quindi contenuto) dello spazio vettoriale composto da tutte le funzioni che vanno dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale W, comprese ovviamente anche le funzioni non lineari.

Esempio:

R = { f : R → R } Sono tantissime

R → Hom (R, V)

R) = { Applicazioni lineari da R a R }

Sono tantissime ma meno di quelle di R R

In questo caso le funzioni da R a R lineari sarebbero:

f(x) = ax

Questo perché se consideriamo ad esempio il numero reale 1 (appartenente per l'appunto allo Spazio vettoriale R di dimensione 1) si otterrà un'immagine della funzione.

f(1) = a

Considerando che vogliamo che f sia lineare, questo comporta che la funzione f deve essere omogenea, ovvero che:

f(kx) = k f(x)

Quindi possiamo scrivere: 3Tosetti Luca 15/10/2020

Costruzione di applicazioni lineari

f(x) = f(x * 1) che è uguale a scrivere x f(1) (f(1), sappiamo dapprima che è uguale ad a).

Quindi f(x) = f(x * 1) = xa

Per poter essere lineare quindi f deve essere del tipo x*a