Algebra lineare e geometria - applicazioni lineari

NUMERI  COMPLESSI  

•  Definizione:  il  campo  C  dei  numeri  complessi  è  R  con  somma  usuale  e  prodotto  (x ,  y )*(x ,  

2 1 1 2

y )  =  (x x  –  y y ,  x y  +  x y )  

2 1 2 1 2 1 2 2 1

-­‐ Basi  di  C:  (1,  0)  [unità  moltiplicativa  =  1]  e  (0,  1)  [unità  immaginaria  =  i  :  i =  -­‐1]  

2  

-­‐ z=a+ib  numero  complesso  

-­‐ z=a-­‐ib  numero  complesso  coniugato  

APPLICAZIONI  LINEARI  

~  Teorema  (di  struttura)  

Sia  v  R  soluzione  di  Ax=b  (di  ordine  n).  Ogni  altra  soluzione  è  della  forma  v=v +w,  dove            

∈

0   0

w    R  soluzione  di  Ax=0.  Se  L    R  insieme  delle  soluzioni  di  Ax=b  e  W  di  Ax=0  

n

∈ ⊆

L=v +W={v +w  |  w    W}  

∈

0 0

-­‐ v  è  l’unica  soluzione  se  le  colonne  di  A  sono  linearmente  indipendenti  

0

Dimostrazione:  

Posto  v ={v +  …  +  v }  e  sia  w={w ,  …  ,  w }  soluzione  di  Ax=0  allora  v A +  …  +  v A =b    e  

10 n0 10 1 n0 n

0 1 n

w A +  …  +  w A =0  da  cui  sommando  (v +w )A +  …  +(v +w )=b  e  quindi  v +w  è  soluzione  di  

1 n 10 1 n0

1 n 1 n 0

Ax=b.  Sia  v  altra  soluzione  di  Ax=b.  w=v-­‐v ,  quindi  (v -­‐v )A +  …  +(v -­‐v )A =0,  v-­‐v  è  

10 1 n0 n

0 1 n 0

soluzione  unica,  le  colonne  sono  linearmente  indipendenti    v=v  

! 0

  ⋯