Algebra lineare e geometria - applicazioni lineari

NUCLEO  E  IMMAGINE  

    KerT={v∈V  |  T(v)=0}    V     [Tutti  i  vettori  i  cui  trasformati  sono  0]  

⊆

  ImT  =  T(v)  =  {T(v)  |  v  W   [L’insieme  dei  trasformati  (il  codominio  in  analisi)]  

∈V}   ⊆

1) KerT  è  sottospazio  di  V  

KerT  chiuso  rispetto  a  somma  e  prodotto:  T(v )=T(v )=0,  quindi  T(v +v )=0+0=0  e  T(λv )=0  

1 2 1 2 1

2) ImT  è  sottospazio  di  W  

ImT  è  chiuso  rispetto  alla  somma  e  prodotto:  T(v )+T(v )=T(v +v )∈ImT  e  λT(v)=T(λv)∈ImT  

1 2 1 2

3) T  è  suriettiva  se  e  solo  se  ImT=W  

Definizione  

4) T  è  iniettiva  se  e  solo  se  KerT={0}  

Se  T  iniettiva  T(v)=0=T(0)    KerT={0}  

"

Altrimenti  se  KerT={0},  v ,v ∈V  tali  che  T(v )=T(v )  cioè  T(v )-­‐T(v )=0,  T(v -­‐v )=0    v -­‐v =0  

"

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

e  dato  che  KerT={0},  v =v  

1 2

•   ImT  =  Span(T(v ),  …  ,  T(v ))  

1 n

ImT:  insieme  di  T(v)  al  variare  di  v  

ImT  =  {T(a v +  …  +  a v )  |  a ,  …  ,  a    K}  =  {  a T(v )+  …  +  a T(v )  |  a ,  …  ,  a    K}  =  Span(T(v ),  

∈ ∈

1 1 n n 1 n 1 1 n n 1 n 1

…  ,  T(v ))  

n

-­‐ Non  è  detto  che  {  T(v ),  …  ,  T(v )}  sia  base  di  ImT  

1 n

•  Definizione:  Il   rango  è  la  

dimensione  di  ImT.       rgT  =  ImT      

~Teorema   della  dimensione  

Data  T:  V

"W  lineare:  

dimV  =  dimKerT  +  rgT  

Dimostrazione:  

Sia  {u ,  …  ,  u }  base  di  KerT.  Completo  ad  una  base  {u ,  …  ,  u ,  v ,  …  ,  v }  di  V.  pongo  

1 r 1 r r+1 n

W =T(v )∈W  per  j=1,  …  ,  s  con  s=n-­‐r.  B={w ,  …  ,  w }  base?  B  è  insieme  di  generatori,  Span  dei  

j r+1 1 s

trasformati.  Dati  a ,  …  ,  a    K,  a w +  …  +  a w =0,  ovvero  0=  a T(v )+  …  +  a T(v )  =  T(a v +  

∈

1 s 1 1 s s 1 r+1 s r+s 1 r+1

…  +  a v )  da  cui a v +  …  +  a v    KerT    a v +  …  +  a v =b u +  …  +  b u  quindi  b u +  …  +  

"

∈

s r+s   1 r+1 s r+s 1 r+1 s r+s 1 1 r r 1 1

b u -­‐  a v -­‐  …  -­‐  a v =0  ma  i  vettori  sono  tutti  linearmente  indipendenti  e  quindi  i  coefficienti  

r r   1 r+1 s r+s

(a ,  b )  sono  nulli.  

j j

-­‐ Data  la  matrice  A    M (K),  n=dimKerA+rgA  

∈ m,n

-­‐ Data  T:  V

"W  lineare,  allora:  

i) T  è  iniettiva  se  e  solo  rgT=dimV  

ii) T  è  suriettiva  se  e  solo  se  rgT=dimW  

iii) Se  dimV=dimW,  T  è  iniettiva  se  e  solo  se  è  suriettiva.  

•  Rouché-­‐Capelli  

Dato  Ax=b  sistema  lineare  di  m  equazioni  e  n  incognite  e  date  A  matrice  dei  coefficienti  e  A’  

matrice  completa  del  sistema.  Il  sistema  ammette  soluzioni  se  e  solo  se   rgA’=rgA.  La  

soluzione  è  unica  se  rgA=n.  

Dimostrazione:  

La  soluzione  esiste  se  e  solo  se  b    Span  (A ,  …  ,  A ).  Ovvero:  Span  (A ,  …  ,  A )=  Span  (A ,  …  ,  

1 n 1 n 1

∈

A ,  b),  dove  il  primo  termine  corrisponde  a  Span(ImL ),  il  secondo  a  ImL .  Quest’uguaglianza  

n A A’

vale  per  rgA=rgA’.  L’unicità  vale  se  KerL ={0},  ovvero  rgA=dimR =n  

n

A

-­‐ Per  ogni  A    M (K),  dati  i  vettori  x    K  e  a    K :   φ (x)  =  φ (Ax)  

n m ATa

∈ ∈ ∈

m,n a

•  Sia  A    M (R),  allora:  

∈ m,n

i) R =ImL    KerL ;  R =ImL    KerL  

m AT n AT

⊕ ⊕

A A

ii) rgA=rgA  (numero  max  di  colonne  linearmente  indipendenti  =  numero  max  di  

T

righe  linearmente  indipendenti)