Riassunto Algebra Lineare e Geometria

Settimana 1

• Vettori Geometrici

Colonne _{εR^m z | z1 → R} =

ⁿ

^A(v) =

Combinazione lineare: dati vettori → m⃗, u⃗^εRn

∀λ, μ ε r → εK (campo) si dicono scalari

=> (λm⃗ + μu⃗)(x) definita

= λ m⃗(x) + μ u⃗(x)

Spazio vettoriale euclideo (R^m) → suddetto prodotto scalare euclideo

Cioè forma bilineare simmetrica e definita positiva

• Biliner. < λ m⃗ + μ u⃗, ĝ > = λ < m⃗, ĝ > + μ < u⃗, ĝ >
• Simmetrica < λ m⃗, ĝ > = < ĝ, m⃗ >
• Definita positiva ↔ ∀ m⃗ ≠ ĝ => < m⃗, m⃗ > ≠ 0
• < m⃗, m⃗ > = 0 => m⃗ = ĝ
• Norma = funzione: Rⁿ → R
• ||m⃗ || = √< m⃗, m⃗ >
• = √ m²₁ + m²₂ + … m²_n
• Disuguaglianza di Schwartz: |< m⃗, u⃗ > | ≤ | | m⃗ | | | | u⃗ | |
• < m⃗, u⃗ > = cos (m⃗, u⃗) • | | m⃗ | | • | | u⃗ | |
• Def. Siano n⃗ , u⃗ ε Rⁿ → si dicono ortogonali < n⃗ , u⃗ > = 0
• Def. Si ⬩ ⬩ ε ⬩ si dice ⬩ ⬩ se | ⬩ ⬩ ⬩
• Determinante 2x2 = se = o, vettor
• Sia n⃗, ε R² il determinante è ▭ n⃗ u⃗
• | |
• = l’unica forma bilineare anti-simmetrica tale che ^ = ∧ ⬩ = 1
• Área parallelogramma ^ = ∧ ⬩
• Determinante 3x3

A = 1/2 || p0∧p1∧p2 ||

• Volume parallelepipedo

• Prodotto vettoriale: L'unica applicazione bilineare antisimmetrica tale che A × B = _{M2U3 - M3U2 M3U1 - M1U3 M1U2 - M2U1}

Sezione 2

• Prodotto misto = dati 3 vettori A, B, C ∈ ℝ³ A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ (A × B)
• L_A = X × C e ortogonale a B se X ≠ 0
• Costruire gli Segno coordinati ⇔ A × B = 0
• Spazio affine euclideo ℰⁿ = n-dimensionale insieme di punti con proprie coordinate

Colonna: O (0,0,...,0)

1. ℝⁿ agisce per traslazione su ℰⁿ:
   • ∀X ∈ ℰⁿ, ∀^{Xn - X1}

• •Direzione = sia =₀, la direzione di ⁿ = λ∈ ℝ
  • Se α e β = [0]
• Retta affine
• Sia P₀ ∈ ℰⁿ e sia mⁿ ∈ ⁿ passando per o: P₀ + [λt^∀t]

Equazioni delle rette:

• - Intrinseca: P₀ + [λ^t]
• - Parametrica: (x₀, y₀, z₀) = ^t 2 dimensioni
• - Cartesiana: sistema lineare

Settimana 5

• Algebra lineare su ℂ:
• N. numeri complessi ⇔ ℂ - Spazio vettoriale, con conseguenza complessi
• dim_ℂ ℂ² = 2 → 2 prodotti complessi
• In generale pol. dim = q ⟹ q ≠ q
• Operazioni elementari di riga:
• Si dice ottenuta per trasformazioni elementari di riga da A ⟹ A si ottiene:
• Scambiando 2 righe
• Moltiplicando una riga per uno scalare
• Agiungendo a r_i un multiplo di un'altra riga
• Nucleo ker(A) = {v, Av = 0}
• Due matrici sono equivalenti se sono ottenute da trasformazioni riga

Settimana 6

• Matrici inverse n x n:
• ∀ A∈ Kⁿ invertibile
• Metodi per calcolare A^*:
• 1. Calcolare matrice (coeff A) con determinante Δ^-1
• 2. Considerando matrice completa con ideale (intero o complessa)

Proof matrice ortogonale (⇐)

<C_i(A), G_j(A)> = δ = δ_i,j

∀i, j

|C_i(A)| = A * λ⁴

-Autovalori relativi a 1 asse di rotazione

Teorema spettro delle matrici simmetriche

Sia A ∈ ℝ^nxn : A = A^T (simmetrica)

1. Spec (A) ⊆ ℝ
2. Σ ind_xi(A) = n
3. ind₊₁(A) ind_-1(A) ∀ i ∈ Spec(A)
4. A è diagonalizzabile per mezzo di una matrice ortogonale, ossia:

∃P ∈ ℝ : P^TAP = P^TA₂

Settimana 11

Problema di Gram - Schmidt

-Dati una base (v₁…v_p) U ∈ G(⊕_n), costruire base (b₁…b_n) ortogonale |b_i, j|

-Preso gli stessi vettori esegui continuano:

[u₁] = [b_u]

[u₂…u_n] = b₁…b_n

• b₂ = v_u/|v_u|
• b₃ = c₂/|c₂|
• b₄ = c₃/|c₃|
• b_k = c_k/|c_k|

Con c₃ = v₃ - (v₂)

Con stesso di ortogonalizzazione

Teorema di Cayley-Hamilton

Sia Δ ∈ kir^nxn e P_A(T) = (-1)ⁿdet(A- T l)…

⇒ P(A) = 0_n*n

Settimana 12

Retta - Dato extra → ➔ → = (b, b) è ortogonale con r

-Se b < 0, equilibrio senza cors

y = mx + q

Con m = - a/b q = - c/b

Nuovi riedizioni tra rette

• Retta extra: r.x + b.y + c = 0
• Retta ordinaria: r'.x + q'.y + c
• Cons. Di

Ad + bb = O

m*n + ^* = O