Tipi e caratteristiche di applicazioni lineari fondamentali & esempi - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 16/10/2020

Linearità e dipendenza – Funzioni iniettive

LINEARITÀ E DIPENDENZA

Ogni applicazione lineare non altera la dipendenza dei vettori, se questi sono

linearmente dipendenti.

Dimostrazione ⃗ ⃗ ⃗ ∈

V , V , … , V

Considerando i vettori allo spazio vettoriale V.

1 2 n

Andando a considerare tali vettori come vettori lin. Dip. Significa che esistono

dei coefficienti

α , α , … , α NON NULLI, tali che:

1 2 n ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

+α +…+ =

α V V α V O

1 1 2 2 n n ⃗

Possiamo dunque dire che tale vettore , inserito all’interno della funzione

O

lineare: ⃗ ⃗

( )

=f

O O

⃗ ⃗ ⃗

( )

¿ +α +…+α

f α V V V

1 1 2 2 n n

⃗ ⃗ ⃗

( ) ( )

¿ + +…+α ( )

α f V α f V f V

1 1 2 2 n n α , α , … , α

Dunque avendo considerato all’inizio dei coefficienti non nulli, e

1 2 n

avendoli mantenuti

Grazie alla proprietà dell’omogeneità, rimarranno comunque non nulli anche

nello spazio vettoriale ⃗ ⃗

( ) ( )

f V , f V , …

Di arrivo. Per cui anche i vettori saranno linearmente

1 2

dipendenti.

N.B: Questo non accade per i vettori linearmente indipendenti (generalmente).

FUNZIONI INIETTIVE

f : A → B

Una funzione del tipo , viene definita iniettiva quando ogni elemento

dell’insieme di partenza (A), è AL PIÙ (al massimo), collegato ad un elemento

dell’insieme di arrivo.

Ogni applicazione lineare che è anche iniettiva trasforma dei vettori linearmente

indipendenti, in vettori linearmente indipendenti.

Ipotesi f : A → B

Considerando un’applicazione lineare , e considerando un insieme di

⃗ ⃗ ⃗

V , V , … , V

vettori 1 2 n

Dello spazio vettoriale V, linearmente indipendenti. 1

Tosetti Luca 16/10/2020

Linearità e dipendenza – Funzioni iniettive

⃗ ⃗

( ) ( )

f V , f V , …

Andiamo a supporre (per assurdo) che anche i vettori dello

1 2

spazio vettoriale W,

siano linearmente indipendenti (Ovvero che esistano delle combinazioni lineari

dove i coefficienti

α , α , … , α non siano tutti nulli).

1 2 n

Abbiamo che: 2

Tosetti Luca 16/10/2020

Funzioni iniettive - Nucleo

Dim. ⃗ ⃗ ⃗ =⃗

( ) ( ) ( )

+α +…+α

α f V f V f V O

1 1 2 2 n n

Per la linearità della funzione, abbiamo anche che:

⃗ ⃗ ⃗ =⃗ ⃗

( ) ( )

+ + =f

f α V α V …+α V O O

1 1 2 2 n n

Infine poiché andiamo a considerare anche una funzione iniettiva si ha:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

+α +…+ =

α V V α V O

1 1 2 2 n n

⃗ ⃗ ⃗

V , V , … , V

E quindi in questo vaso i vettori , sarebbero linearmente

1 2 n

dipendenti, che va contro

L’ipotesi fatta precedentemente. f : A → B

Inoltre se prendiamo in considerazione una funzione , la dimensione dello

spazio vettoriale di partenza deve essere necessariamente minore o uguale alla

dimensione dello spazio vettoriale di arrivo, per fare in modo che tale funzione possa

essere iniettiva. Nel caso infatti l