STOCASTICO E SERIE STORICA

• Processo stocastico: insieme di variabili casuali ordinato secondo il tempo ossia una famiglia di v.c. descritte da un parametro t (tempo)
• Definizione (Piccolo, 1990): dati uno spazio parametrico T e uno Ω, si definisce processo stocastico una funzione spazio di probabilità X(t,ω) finita e a valori reali che, per ogni fissato t T, è una funzione misurabile di ω e Ω.
• Un processo stocastico è quindi una funzione a valori reali di due variabili: t, che ordina la famiglia di v.c. e ω, che specifica su Ω il risultato che si verifica per t fissato.
• Il processo stocastico è una relazione funzionale tra un dominio costituito dal prodotto cartesiano T x Ω e un codominio costituito da numeri reali R.

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: DEFINIZIONE DI PROCESSO STOCASTICO E SERIE STORICA

• a) t T variabile e ω Ω variabile: X(t,ω) processo stocastico
• b) t T variabile e ω=

1. ω fissato: X(t,ω) singola funzione∈ 0matematica di t, detta realizzazione del processo stocasticoc) t=t fissato e ω Ω variabile: X(t,ω) è una funzione∈0misurabile dell’insieme ω Ω ed è quindi una v.c.∈d) t=t e ω= ω : X(t,ω) è un numero reale (valore osservato per la0 0,ω) quando si è realizzato ω o il valore numerico dellav.c. X(t0 0funzione matematica X(t,ω ) calcolata in t=t0 0
2. • Serie storica: parte finita di una realizzazione di un processostocastico {X(ω,t)} 7RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: DEFINIZIONE DI PROCESSOSTOCASTICO E SERIE STORICA
3. • Processo stocastico: funzione aleatoria di due argomenti (t є T,definito nello spazio parametrico T e l’evento ω є Ω definito in unospazio probabilistico)X = {X(ω,t); ω є Ω , t є T}
4. • Quindi nella serie storica {X } per x=1,2,…,ntx è la realizzazione di

X(ω,t=1)1 è la realizzazione di X(ω,t=2)x 2x è la realizzazione di X(ω,t=3)3 è la realizzazione di X(ω,t=n)x n• Ognuna delle v.c. suddette può avere una struttura probabilisticadiversa 8PROCESSI STOCASTICI E INFERENZA• Nell'inferenza classica abbiamo n osservazioni per risalire ad una sola v.c. mentre nell'analisi delle serie storiche abbiamo nosservazioni per n campioni• È per questa "peculiarità" che, per inferire sul processo generatore della serie storica osservata, è necessario definire alcune classi di processi stocastici che presentano determinate proprietà• La teoria dei processi stocastici consente di formalizzare una classe di strutture probabilistiche ampia al punto da permettere l'interpretazione di buona parte dei fenomeni che si incontrano nella realtà 9PROCESSI STOCASTICI E INFERENZA• La formalizzazione di questa classe di strutture

è noto se:

A) sono note tutte le funzioni di ripartizione semplici (di ciascuna v.c.) F(x)

B) sono note tutte le funzioni di ripartizioni doppie F(x,x)=t1 t2 1 21 2x x∫ ∫ f(X,X) dX dXt 1, t 2 t 1 t 2− ∞− ∞

C) sono note tutte le funzioni di ripartizione multiple

• L’insieme delle funzioni di ripartizione prima elencate rappresenta la famiglia delle ripartizioni finite 12

CLASSIFICAZIONE DEI PROCESSI STOCASTICI E CONDIZIONI PERCHÉ RISULTINO NOTI

• Ma la specificazione di tutte le funzioni di ripartizione che costituiscono la famiglia delle ripartizioni finite richiede la stima di un numero enorme di parametri impossibile da effettuare sulla base della sola realizzazione finita rappresentata dalla serie storica

• In pratica si procede a descrivere il processo stocastico specificando i momenti di primo e secondo grado delle distribuzioni congiunte [momento di ordine si definisce il valore medio della potenza s-sesima della v.c.

X; momento rispetto all'origine][momento centrale di ordine si definisce il valore medio dell'aspotenza s-esima della v.c. scarto; momento rispetto alla media] 13

CLASSIFICAZIONE DEI PROCESSI STOCASTICI E CONDIZIONI PERCHÉRISULTINO NOTI

• Ci si concentra quindi sulle caratteristiche del processo stocasticoche derivano da questi momenti
• I momenti che vengono specificati sono:
1. la funzione media E(X )t 2
2. la funzione varianza E(X – µ) =γt 0
3. la funzione di autocovarianza E[(X – µ)(X – µ)]=γt t-k k(autocorrelazione se consideriamo γ /γ )k 0

Le ipotesi restrittive per permettere di inferire sulla distribuzione diprobabilità del processo stocastico vengono fatte, in particolare perquel che concerne la stazionarietà, proprio su questi momenti al finedi definire alcune classi di processi stocastici 14

PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI

In generale un processo stocastico si può definire

stazionario se la sua struttura probabilistica rimane costante nel tempo e cioè se le variabili casuali componenti il processo stocastico presentano una struttura probabilistica simile (il campione osservato risulta più denso di informazioni sulle v.c. che hanno generato ciascuna informazione)

• 2 concetti di stazionarietà per un processo stocastico:

A. stazionarietà in senso forte

B. stazionarietà in senso debole

15 PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI

• Stazionarietà in senso forte: le funzioni di ripartizione finite rimangono invariate rispetto a qualunque traslazione lungo l'asse temporale

• X è quindi stazionario in senso forte se:

t1, t2, ..., tn: (x1, x2, ..., xn) = F(x1, x2, ..., xn)

F(t1+τ, t2+τ, ..., tn+τ) = F(x1, x2, ..., xn)

per ogni n, per ogni t (da 1 a n), per ogni τ e per ogni x (da 1 a n)

• Pertanto le funzioni di ripartizione finite dipendono dalla posizione relativa e non dai valori effettivi

di tn, per cui se anche gli istantitemporali traslano le funzioni ripartizione rimangono invariate

• Nel caso della stazionarietà in senso forte, qualora esistano, i momenti del processo stocastico saranno invarianti rispetto al tempo, non saranno funzione del tempo t

PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI

• Stazionarietà in senso debole:
1. il momento di primo ordine µ, è costante, per ogni t є T; E(X )=µ<∞; quindi la funzione valor medio è costante;
2. il momento centrale di secondo ordine è finito e costante 2= 2E(X – µ) σ < +∞; quindi la funzione varianza è costante (omoschedasticità mentre per eteroschedasticità si intende varianza non costante)
3. E[(X – µ)(X – µ)], cioè la funzione di autocovarianza dipende da t-k da k e non da t; il legame lineare tra le diverse variabili è costante a parità di lag temporale e non muta al mutare di t;

PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI

• Processi stocastici stazionari in senso forte, con momenti di secondo ordine finiti, sono anche stazionari in senso debole
• Processi stocastici stazionari in senso debole non sono anche stazionari in senso forte poiché momenti di ordine superiore al secondo possono essere funzione del tempo
• Le intuitive implicazioni pratiche di questa proprietà e l'ampio ricorso al concetto di stazionarietà in senso debole
• I processi stocastici gaussiani interamente caratterizzati dai momenti di primo e secondo ordine e per i quali, pertanto, stazionarietà in senso debole e stazionarietà in senso forte coincidono

PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: IL PROCESSO STOCASTICO WHITE NOISE (WN)

• A) E(ε) = 0; Var(ε) = σ^2 < +∞; quindi la funzione varianza è costante
• B) E(εt) = 0
• C) E(εt, εt-k) = 0; per ogni t e k

PROCESSI STOCASTICI INVERTIBILI

• Un processo

stocastico {X }

si definisce invertibile se è esprimibile come funzione delle variabili causali precedenti X e delle t-k innovazioni (a) incorporate nella dinamica del processo

t-k = f(X, X,..., ε, ε,...) + εX

t t-1 t-2 t-1 t-2 t

{ε} è un WN

... = X - f(X, X,..., ε, ε,...)

t 2t 1t -t t-1 t-2

• definito e = ε - come errore di stima di ε, un processo ε

t t t2

stocastico si dice invertibile se E(ε) = 0

lim t t→∞

• Il processo diviene esprimibile come funzione convergente delle v.c. precedenti

TEMI DELLA LEZIONE

1. Richiami alla precedente lezione: l'identificazione di una classe di processi stocastici
2. Teorema di Wold
3. Brevi richiami alla trigonometria
4. Processi stocastici gaussiani
5. Ergodicità dei processi stocastici

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: L'IDENTIFICAZIONE DI UNA CLASSE

PROCESSI STOCASTICI

• Processo stocastico: funzione aleatoria di due argomenti (t є T, definito nello spazio parametrico T e l'evento ω є Ω definito in unospazio probabilistico)
• X = {X(ω,t); ω є Ω , t є T}
• Quindi nella serie storica {X } per x=1,2,…,nt