Analisi complessa

Analisi complessa

Derivazione di funzioni complesse (alla Riemann)

Identificazione tra C e R²

Il campo C dei numeri complessi può essere identificato con R tramite la corrispondenza: \( z = x + iy \in C \) con \((x, y) \in R^2 \). Quindi ogni funzione \( f \) definita su un sottoinsieme \( \Omega \) di \( C \) individua una funzione \( f \) definita sul corrispondente sottoinsieme \( \tilde{\Omega} := \{(x, y) \in R^2 : x + iy \in \Omega\} \) di \( R^2 \): \( f(x, y) := f(x + iy) \) e viceversa. Inoltre, se \( f : \Omega \to C \), allora \( f(z) := u(z) + iv(z) \) per ogni \( z \in \Omega \), con \( u, v \in R \). Pertanto \( f \) induce anche una funzione \( \tilde{f} : \tilde{\Omega} \subset R^2 \to R^2 : (x, y) \to \tilde{u}(x, y) + i\tilde{v}(x, y) \).

Nel seguito il simbolo tilde verrà sottointeso; si ricorrerà sistematicamente all’identificazione tra \( C \) e \( R^2 \), ed alle notazioni \( f(z) = u(z) + iv(z), z = x + iy \) con \( u, v, x, y \in R \).

Derivazione in senso complesso

Sia \( \Omega \) un aperto di \( C \) ed \( f : \Omega \to C \). Per ogni \( z_0 \in \Omega \), si pone:

\[ f'(z_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \] (1.1)

Quando questo limite esiste, esso verrà detto derivata di \( f \) in \( z_0 \). Per la derivazione in senso complesso (o più brevemente, “derivazione in \( C \)”) valgono regole analoghe a quelle note per \( R \) (ad esempio, per la derivazione del prodotto, del quoziente, delle funzioni composte, ecc.); in particolare la derivabilità in \( C \) implica la differenziabilità (proprietà che, come è noto, vale in \( R^2 \) ma non in \( R \)), e viceversa.

Condizioni di Cauchy-Riemann

Teorema 1.1 Sia \( \Omega \) un aperto di \( C \). Una funzione \( f : \Omega \to C \) := \( u + iv \) è derivabile in un punto \( z_0 = x_0 + iy_0 \in \Omega \) (u, v) se e solo se è differenziabile (come funzione di due variabili reali) e:

\[\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0), \quad \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0). \] (1.2)

Queste ultime condizioni sono dette condizioni di Cauchy-Riemann, e si possono riscrivere nella forma:

\[\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(x_0, y_0) = 0. \] (1.3)

Si dimostra facilmente la parte “solo se” del teorema. Come si è detto, l’esistenza di \( f'(z_0) \) implica la differenziabilità di \( f \) in \( z_0 \); quindi, posto \( f(x, y) := f(x + iy) \), si ha:

\[\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(x_0, y_0) = 0, \] da cui consegue la (1.3).

Interpretazione geometrica delle condizioni di Cauchy-Riemann

Le condizioni di Cauchy-Riemann equivalgono a:

\[\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ -\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \lambda A, \] (1.4)

con \(|\nabla u| = |\nabla v| = \lambda = |f'(z_0)| \geq 0\), e \( A \) matrice ortonormale (ovvero, le righe di \( A \) sono ortogonali tra di loro, lo stesso succede per le colonne di \( A \), ed il determinante di \( A \) è uguale a 1). Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann implicano che in un intorno di \( z_0 \) la trasformazione \(\tilde{\Omega} \subset R^2 \to R^2 : (x, y) \to (u, v)\) è approssimabile mediante la composizione di:

• Una traslazione (che non lascia traccia di sé nella derivata),
• Una rotazione (associata alla matrice \( A \)) di un angolo \(\theta(z_0)\),
• Una omotetia (cioè una dilatazione o contrazione) di coefficiente \(\lambda = \lambda(z_0) \in C\).

Viceversa, se queste proprietà geometriche sono soddisfatte in un punto \( z_0 \in C \), allora \( f'(z_0) \) esiste e si ha \( f'(z_0) = \lambda(z_0) e^{i\theta(z_0)} \).

Quanto sopra vale in particolare per le trasformazioni lineari. Sia \( A \in R^{2 \times 2} \) una matrice invertibile, e si ponga \( (\tilde{u}, \tilde{v}) = A \cdot (x, y) \) (prodotto righe per colonne). La trasformazione \( L : R^2 \to R^2 : (x, y) \to (\tilde{u}, \tilde{v}) \) è lineare rispetto a \( R \), e quindi trasforma rette per l’origine in rette per l’origine.

Sia ora \( T \) la corrispondente trasformazione \( C \to C \); ovvero \( T : x + iy \to \tilde{u} + i\tilde{v} \) con \((\tilde{u}, \tilde{v}) = A \cdot (x, y)\). Se la funzione \( T \) è lineare rispetto a \( C \), allora essa è derivabile in \( C \). In tal caso \( A \) è ortogonale e con determinante non negativo, il che appunto corrisponde alle condizioni di Cauchy-Riemann. Se \( T \) non è identicamente nulla, questo significa che \( T \) conserva gli angoli; ovvero se due rette per l’origine \( a \) e \( b \) sono trasformate in \( a' \) e \( b' \), allora l’angolo formato da \( a \) e \( b \) è uguale a quello formato da \( a' \) e \( b' \). Questo si esprime anche dicendo che \( T \) è conforme.

Un’altra interpretazione delle condizioni di Cauchy-Riemann

Sia \( f : R^2 \to C \) differenziabile, e si ponga \( f(x, y) := f(x + iy) \). Poiché \( z = x + iy \) e \( \bar{z} = x - iy \), si ha anche:

\[ x = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad y = \frac{z - \bar{z}}{2i}, \] da cui:

\[ dx = \frac{dz + d\bar{z}}{2}, \quad dy = \frac{dz - d\bar{z}}{2i}. \]

Pertanto:

\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = \frac{\partial f}{\partial z} dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} d\bar{z}, \]

ovvero:

\[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y} \right), \quad \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} \right). \]

La derivabilità di \( f \) in \( C \) corrisponde al fatto che \( df \) sia proporzionale a \( dz \), ovvero:

\[ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0, \]

cioè la condizione (1.3) di Cauchy-Riemann. Questo implica che:

\[ df = \frac{\partial f}{\partial z} dz, \]

mentre \( f = f(z, \bar{z}) \). In altri termini, ogni funzione \( f : C \to C \) può essere espressa come funzione di \( x, y \in R \), e quindi anche come funzione di \( z, \bar{z} \). Se \( f \) è regolare, allora essa può essere linearizzata rispetto a \( z \) e \( \bar{z} \). Ma \( f \) è derivabile in \( C \) se e solo se la funzione linearizzata non dipende da \( \bar{z} \). Ad esempio, la funzione \( z \bar{z} \) non è derivabile in \( C \). Ne consegue che una funzione di \( z \) e \( \bar{z} \) è derivabile in \( C \) se e solo se non dipende da \( \bar{z} \).

Esempi: Le funzioni \( z^2 \), \( e^z \), \( \sin z \) e \( \cos z \) sono derivabili in \( C \). Invece \( x + iy \mapsto x \), \( x + iy \mapsto x^2 - y^2 \), \( x + iy \mapsto |x + iy|^2 \), \( x + iy \mapsto x^2 + iy^2 \) non lo sono. Lo stesso vale per \( |z|^2 \), \( \sin(|z|^2) \), \( e^{|z|^2} \) poiché \(|z|^2 = z \bar{z}\); si noti che non coincide con \( z^2 \)!

Una funzione puramente reale o puramente immaginaria è derivabile in \( C \) solo se è costante.

Funzioni armoniche

Sia \( \Omega \) un aperto di \( C \). Una funzione \( f : \Omega \to C \) derivabile in ogni punto è detta olomorfa.

Teorema 1.2 Sia \( \Omega \) un aperto di \( C \), \( f := u + iv : \Omega \to C \) olomorfa. Allora \( u \) e \( v \) sono armoniche, cioè sono di classe \( C^2 \) e:

\(\nabla^2 u = \nabla^2 v = 0 \) in \( \Omega \).