Analisi complessa

1

4. Analisi Complessa

1 Derivazione di Funzioni Complesse (alla Riemann)

2

1.1 Identificazione tra C e R 2

Il campo C dei numeri complessi può essere identificato con R tramite la corrispondenza

↔ ∈ 2

C x + iy (x, y) R . Quindi ogni funzione f definita su un sottoinsieme Ω di C individua

˜ {(x, ∈ ∈

2 2

una funzione f definita sul corrispondente sottoinsieme Ω̃ := y) R : x + iy Ω} di R :

˜ ∀(x, ∈

f (x, y) := f (x + iy) y) Ω̃,

→ ∈ ∈

e viceversa. Inoltre, se f : Ω C, allora f (z) := u(z) + iv(z) per ogni z Ω, con u, v R.

Pertanto f induce anche una funzione

→ →

2 2

) R : (x, y) ũ(x, y) + iṽ(x, y).

Ω̃(⊂ R

Nel seguito il simbolo ˜(tilda) verrà sottointeso; si ricorrerà sistematicamente all’identificazione

2

tra C e R , ed alle notazioni ∈

f (z) = u(z) + iv(z), z = x + iy (u, v, x, y R).

1.2 Derivazione in Senso Complesso

→ ∈

Sia Ω un aperto di C ed f : Ω C. Per ogni z Ω, si pone

0 −

f (z + h) f (z )

0 0

(z ) := lim . (1.1)

f 0 h

Ch→0 . Per la derivazione in senso

Quando questo limite esiste, esso verrà detto derivata di f in z

0

complesso (o più brevemente, “derivazione in C”) valgono regole analoghe a quelle note per R

(ad esempio, per la derivazione del prodotto, del quoziente, delle funzioni composte, ecc.); in

particolare la derivabilità in C implica la differenziabilità (proprietà che, come è noto, vale in

2

R ma non in R ), e viceversa. →

(Condizioni di Cauchy-Riemann) Sia un aperto di Una funzione

Teorema 1.1 Ω C. f : Ω

∈

(f è derivabile in un punto se e solo se è differenziabile

C := u + iv) z := x + iy Ω (u, v)

0 0 0

in (come funzione di due variabili reali) e

(x , y )

0 0 ∂v ∂v ∂u

∂u −

(x (x (x (x

, y ) = , y ), , y ) = , y ). (1.2)

0 0 0 0 0 0 0 0

∂x ∂y ∂x ∂y

di Cauchy-Riemann,

Queste ultime condizioni sono dette e si possono riscrivere nella forma

˜

˜ ∂ f

∂ f , y ) = i , y ). (1.3)

(x (x

0 0 0 0

∂y ∂x (z )

Si dimostra facilmente la parte “solo se” del teorema. Come si è detto, l’esistenza di f 0

˜

implica la differenziablità di f in z ; quindi, posto f (x, y) := f (x + iy),

0 ˜

˜ ∂z ∂ f ∂z

∂ f

, y ) = f (z ) , y ) = f (z ), , y ) = f (z ) , y ) = if (z ),

(x (x (x (x

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∂x ∂x ∂y ∂y

da cui consegue la (1.3).

Analisi Complessa 2

1.3 * Interpretazione Geometrica delle Condizioni di Cauchy-

Riemann

Le condizioni di Cauchy-Riemann equivalgono a

   

∂u ∂u

∂u ∂u

   

∂x ∂y ∂x ∂y

   

   

(x , y ) = (x , y ) =: λA, (1.4)

0 0 0 0

   

∂v ∂u

∂v ∂u

−

∂x ∂y ∂y ∂x

con

|∇u| |∇v| |f ≥

2 2

λ = = = (z )| 0,

0

ortonormale

ed A matrice (ovvero, le righe di A sono ortogonali tra di loro, lo stesso succede

per le colonne di A, ed il determinante di A è uguale a 1). Pertanto le condizioni di Cauchy-

→ →

2 2

Riemann implicano che in un intorno di z la trasformazione Ω̃(⊂ R ) R : (x, y) (u, v)

0

è approssimabile mediante la composizione di:

(i) una traslazione (che non lascia traccia di sé nella derivata),

(ii) una rotazione (associata alla matrice A) di un angolo θ(z ),

0

omotetia

(iii) una (cioè una dilatazione o contrazione) di coefficiente λ = λ(z ).

0

∈

Viceversa, se queste proprietà geometriche sono soddisfatte in un punto z C, allora f (z )

0 0

esiste e si ha )

iθ(z

f (z ) = λ(z )e .

0

0 0 ∈ 2×2

Quanto sopra vale in particolare per le trasformazioni lineari. Sia A R una matrice

·

invertibile, e si ponga (ũ, ṽ) = A (x, y) (prodotto righe per colonne). La traformazione L :

→ →

2 2

R R : (x, y) (ũ, ṽ) è lineare rispetto a R, e quindi trasforma rette per l’origine in rette

per l’origine. → →

Sia ora T la corrispondente trasformazione C C; ovvero T : x + iy ũ + iṽ con

·

(ũ, ṽ) = A (x, y). Se la funzione T è lineare rispetto a C, allora essa è derivabile in C. In tal

caso A è ortogonale e con determinante non negativo, il che appunto corrisponde alle condizioni

conserva gli angoli;

di Cauchy-Riemann. Se T non è identicamente nulla, questo significa che T

ovvero se due rette per l’origine a e b sono trasformate in a e b , allora l’angolo formato da a

conforme.

e b è uguale a quello formato da a e b. Questo si esprime anche dicendo che T è

1.4 * Un’Altra Interpretazione delle Condizioni di Cauchy-Riemann

∗

˜ ˜

→ −

2

Sia f : R C differenziabile, e si ponga f (x, y) := f (x + iy). Poiché z = x + iy e z = x iy,

si ha anche ∗ ∗ ∗ ∗

− −

z + z z z dz + dz dz dz

x = , y = da cui dx = , dy = .

2 2i 2 2i

Pertanto ∗ ∗

−

z + z z z ∗

ˆ

˜ ˜ =: f (z, z ),

,

f (x, y) = f 2 2i

˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜

∂ f ∂ f ∂ f ∂ f

∂ f ∂ f ∗

−

2df = dz + dz ,

dx + dy = i + i

∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

ovvero

˜ ˜

˜ ˜

ˆ

ˆ 1 ∂ f ∂ f

∂ f ∂ f

∂ f 1

∂ f −

= i + i

, = .

∗

∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y

Analisi Complessa 3

ˆ

La derivabilità di f in C corrisponde al fatto che d

f sia proporzionale a dz, ovvero

ˆ ˜ ˜

1

∂ f ∂ f ∂ f

= = 0.

+ i

∗

∂z 2 ∂x ∂y ˜ ˜

∂ f ∂ f

1

ˆ − dz, ovvero

i

cioè la condizione (1.3) di Cauchy-Riemann. Questo implica che d

f = 2 ∂x ∂y

˜ ˜

ˆ df

1 ∂ f ∂ f

∂ f − = .

= i

∂z 2 ∂x ∂y dz

∗

ˆ ˆ ), mentre f = f (z)...)

(Si noti che f = f (z, z → ∈

In altri termini, ogni funzione f : C C può essere espressa come funzione di x, y R, e

∗ regolare,

quindi anche come funzione di z, z . Se f è allora essa può essere linearizzata rispetto

∗ ∗

a z e z . Ma f è derivabile in C se e solo se la funzione linearizzata non dipende da z . Ad

∗

→ regolare

esempio, la funzione z z non è derivabile in C. Ne consegue che una funzione di z

∗ ∗

e z è derivabile in C se e solo se non dipende da z .

→ → → 2

z

Esempi. Le funzioni z e , z sin z e z z sono derivabili in C.

→ → → |x → −

2 2

Invece x + iy x, x + iy x , x + iy + iy| , x + iy x iy non lo sono. Lo stesso

∗ ∗

→ → |z|, → |z| |z| |z|

2 2 2 2

vale per z sin(z ), z z (poiché = zz ; si noti che non coincide con z !).

Una funzione puramente reale o puramente immaginaria è derivabile in C solo se è costante.

1.5 Funzioni Armoniche → olomorfa.

Sia Ω un aperto di C. Una funzione f : Ω C derivabile in ogni punto è detta

→

(i) Sia un aperto di e sia olomorfa. Allora e

Teorema 1.2 Ω C, f (:= u + iv) : Ω C u v

2

sono armoniche, cioè sono di classe e

C

∇ ∇

2 2 2 2 2

in

u = v = 0 Ω (&nabla