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Analisi complessa

Appunti di Analisi 1 della prof.ssa Passarelli sull'analisi complessa: Derivazione di Funzioni Complesse (alla Riemann), Derivazione in Senso Complesso, Interpretazione Geometrica delle Condizioni di Cauchy-Riemann, Funzioni Armoniche, Teorema e Formula di Cauchy.

Esame di Analisi 1 docente Prof. A. Passarelli

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Analisi Complessa 7

di una serie di potenze è infinitamente derivabile all’interno del suo cerchio di convergenza, e

che le sue derivate possono essere calcolate derivando per serie, ovvero

∞ n! ∀h ∈ ∀( ∈

n−

D f (z + h) = (z)h B (0), N. (3.2)

c n δ

(n ()!

n=

Pertanto la (3.1) coincide con lo sviluppo in serie di Taylor, ovvero

(n) (z)

f ∀n ∈ N. (3.3)

(z) =

c n n! →

(di Analiticità) Sia un aperto di e sia olomorfa. Allora per ogni

Teorema 3.1 Ω C f : Ω C

∈ posto

z Ω, − ∈

R(z) := inf{|ξ z| : ξ ∂Ω}, (3.4)

f (ξ)

1 ∀r ∈]0, ∀n ∈

c (z) := dξ R(z)[, N, (3.5)

n − n+1

2πi (ξ z)

(z)

C r

vale la (3.1). Quindi ogni funzione olomorfa è analitica (il viceversa è ovvio).

∈ −

n

Dimostrazione. Per ogni t B (0) si ha t = 1/(1 t). Pertanto

1 n=0

∞ n

h 1 ∀ξ ∈ ∀h ∈

= C (z), B (0).

|ξ−z|

r

− − h

n

(ξ z) 1

n=0 ξ−z

Quindi, grazie alla formula di Cauchy (2.5), si ha

f (ξ) f (ξ)

1 1

1 dξ

dξ =

f (z + h) = − − − − h

2πi ξ z h 2πi ξ z 1

(z) (z)

C C

r r ξ−z

∞ ∞

n

1 f (ξ) h 1 f (ξ) n

= dξ = dξ h ,

− − −

n n+1

2πi ξ z (ξ z) 2πi (ξ z)

(z) (z)

C C

r r

n=0 n=0

ovvero la (3.1 ) con i coefficienti c dati dalla (3.5).

n → ∈

Sia un aperto di e sia olomorfa. Allora, per ogni

Corollario 3.2 Ω C f : Ω C z Ω,

definito come sopra, si ha

δ n! f (ξ) ∀r ∈]0, ∀n ∈

(n)

f (z) = dξ δ[, N. (3.6)

− n+1

2πi (ξ z)

(z)

C r

Infatti si può dimostrare che

n n

d ∂ f (ξ)

1

f (z) = dξ.

n n

dz 2πi ∂z (ξ z)

(z)

C r

In alternativa, si possono utilizzare le (3.3) e (3.5).

* Teorema di Liouville. Se f : C C è olomorfa e limitata, allora è costante.

|f ≤ ∈ ∈

Dimostrazione. Sia (z)| C per ogni z C. Preliminarmente per ogni z , z, ξ C con

0

|ξ − |

z

0

→ |ξ| →

2

ξ = z si ponga ϕ(ξ) := 1 per +∞, e quindi

. Si noti che ϕ(ξ)

|ξ − z|

1 → →

2

ϕ(ξ) dξ 1 per R +∞.

2πR (z )

C 0

R

Analisi Complessa 8

|ξ − | ∈

Osservato che z = R per ogni ξ C (z ), grazie a (3.6) allora si ha

0 0

R

C C

1 1

|f 2

(z)| dξ = ϕ(ξ) dξ

|ξ − |ξ − |

2 2

2π z| 2π z

(z ) (z )

C C 0

0 0

R R

C

1 → →

2

ϕ(ξ) dξ 0 per R +∞.

= 2

2π R (z )

C 0

R

(z) = 0 per ogni z C, ovvero f è costante.

Quindi f

n n−1

* Teorema fondamentale dell’Algebra. Sia P (z) = a z + a z + ... + a (con a = 0)

0

n n−1 n

≥ ∈

un polinomio di grado n 1. Allora esiste z C tale che P (z ) = 0.

0 0

Dimostrazione. Per assurdo, se P non si annullasse in nessun punto, allora 1/P (z) sarebbe

una funzione olomorfa, quindi limitata sui sottoinsiemi limitati di C. È facile verificare che

|P → |z| →

(z)| +∞ per +∞; quindi 1/P (z) sarebbe limitata su tutto C. Per il Teorema di

Liouville 1/P (z) sarebbe allora costante, e lo stesso varrebbe per P (z), il che è ovviamente

falso.

4 Serie di Laurent e Classificazione delle Singolarità

(alla Laurent)

4.1 Sviluppo in Serie di Laurent

∈ ≤ ≤

(di Laurent) Siano si indichi con la

Teorema 4.1 z C, 0 R < R +∞, C (z )

0 1 2 0

R ,R

1 2

{z ∈ |z − }, →

corona circolare e sia olomorfa. Per ogni

C : R < z| < R f : C (z ) C

1 0 2 0

R ,R

1 2

∈ ∈]R +∞

si definisca come in (3.5) (per ogni Allora (posto )

n Z, c (z ) r , R [). :=

0 1 2

n n∈Z n=−∞

+∞ +∞ −n

− − −

n n

f (z) = c (z )(z z ) := c (z )(z z ) + c (z )(z z )

−n

0 0 0 0 0 0

n n

n=0 n=1 (4.1)

n∈Z ∀z ∈ C (z ).

0

R ,R

1 2

Si intende che queste due ultime serie convergono entrambe. Esse sono rispettivamente

parte regolare parte singolare

chiamate e dello sviluppo di Laurent in z (il termine c può

0 0

essere attribuito indifferentemente ad entrambe).

sviluppo in serie di Laurent

La rappresentazione (4.1) è detta di f rispetto alla corona

circolare C (z ); essa può dipendere non solo da z ma anche da R e R .

0 0 1 2

R ,R

1 2

Se poi f è analitica in tutto il cerchio B (z ), allora lo sviluppo in serie di Laurent è ridotto

0

R 2 −n+1

≥ −

alla sua parte regolare; infatti in tal caso per ogni n 1 la funzione f (ξ)/(ξ z) è olomorfa

in B (z ), e quindi (cf. (3.5)) c = 0 per il Teorema di Cauchy.

−n

0

R 2

Dimostrazione. Si usa la seguente generalizzazione della formula (2.5) di Cauchy: per ogni

∈ |h| |h|

h C tale che R < < R , siano r , r > 0 tali che R < r < < r < R ; allora

1 2 1 2 1 1 2 2

1

f (ξ) f (ξ)

1 −

f (z dξ dξ.

+ h) =

0 − − − −

2πi ξ z h 2πi ξ z h

(z ) (z )

C C

0 0

r r

0 0

2 1

Analisi Complessa 9

Il primo integrale è trattato come nel Teorema 3.1, e dà origine alla prima serie di (4.1). Per il

secondo integrale si usa un procedimento simile; però, essendo

ξ z r

0 1 ∀ξ ∈

= (z ),

< 1 C 0

r

|h| 1

h

si usa lo sviluppo ∞ ∞ −n

− m

1 1 (ξ z ) h

1 0

− = = ,

=

− − − −n+1

− ξ−z m+1

ξ z h h h (ξ z )

1 0

0 0

m=0 n=1

h

che dà origine alla seconda serie di (4.1). ∈

{c : n

* Se, invece della funzione f , è data una successione bilatera di coefficienti n

Z}, allora la serie bilatera (4.1) converge nella corona circolare C (z ), ove R , R sono

0 1 2

R ,R

1 2

determinati dalla formula che fornisce il raggio del cerchio di convergenza di una serie di potenze:

| |

1/n 1/n

:= max lim (|c ), R := 1/ max lim (|c ),

R −n

1 2 n

n→+∞ n→+∞

con ovvie modifiche per i casi in cui il secondo limite superiore sia 0 oppure +∞. Naturalmente,

∅ ≤ ≤

(z ) = se e solo se 0 R < R +∞. Si può anche dimostrare che in questo caso la

C 0 1 2

R ,R

1 2

funzione somma f data dalla (4.1) è olomorfa in C (z ).

0

R ,R

1 2

4.2 Classificazione delle Singolarità Isolate

∈ \ {z } →

Siano z C, R > 0, e sia f : B (z ) C olomorfa. Allora vi sono 3 possibilità:

0 0 0

R

(i) esiste il lim f (z) C,

z→z 0 |f

(ii) esiste il lim (z)| = +∞,

z→z 0

(iii) nessuno dei due casi precedenti è verificato. \ {z },

Il caso (i) sussiste se e solo se f è limitata in B (z ) ovvero se e solo se la parte

0 0

R

singolare dello sviluppo di Laurent è identicamente nulla (cioè c = 0 per ogni n > 0).

−n

Ponendo f (z ) := lim f (z) = c , si ottiene allora una funzione olomorfa in tutto B (z ). Si

0 0 0

z→z R

0 eliminabile.

dice allora che f ha in z una singolarità

0

Si può dimostrare che il caso (ii) è equivalente a ciascuna delle seguenti condizioni:

∃N ∈ − ∈ \ {0},

N

N : N > 0, e lim (z z ) f (z) C

1

1 1 0

z→z 0

come in (3.5),

oppure, definiti i coefficienti c n

∈ ∀n

∃N N : N > 0, c = 0 e c = 0 > N .

−N −n

2 2 2

2 polo

Inoltre N = N . Si dice allora che f ha in z un di ordine N .

1 2 0 1 ∈

(Analogamente, se una funzione f definita in un cerchio B (z ) si annulla in z ed n N

0 0

R

− \ {z },

n

è il piu’ grande intero tale che f (z)/(z z ) è limitata in B (z ) si dice che f ha uno

0 0 0

R

zero di ordine n in z .)

0

Nel caso (iii) invece c = 0 per infiniti interi n > 0, e si dice che f ha in z una singolarità

−n 0

|f

essenziale. Questo sussiste se e solo se il lim (z)| non esiste, né finito né infinito. Il

z→z 0

comportamento di f in un intorno di una tale singolarità è estremamente irregolare, come è

indicato dal seguente sorprendente risultato (di dimostrazione non banale).

Analisi Complessa 10

4.3 * Due Teoremi di Picard

∈ \ {z }.

Teorema (di Picard). Sia z C, R > 0, ed f una funzione olomorfa in B (z ) Se z

0 0 0 0

R

è una singolarità essenziale per f , allora quest’ultima assume tutti i valori di C, salvo al più

uno. (È facile mostrare che allora f assume ciascun valore di C, salvo al più uno, in infiniti

punti diversi!). ∞

1/z n

Ad esempio la funzione f (z) = e = 1/(n!z ) ha una singolarità essenziale in 0, e non

n=0

assume il valore 0. Allora in ogni cerchio di centro 0 essa assume tutti gli altri valori di C.

Questo teorema permette tra l’altro di dimostrare il seguente risultato.

Teorema. Se f : C C è una funzione olomorfa, ammette inversa, e questa è pure una

→ ∈

funzione C C olomorfa, allora f è della forma f (z) = az + b, con a, b C e a = 0.

Ecco un altro interessante teorema di Picard:

Teorema. Se f : C C è una funzione olomorfa non costante, allora essa assume tutti i

valori di C, salvo al più uno.

È chiaro che negli ultimi due teoremi l’ipotesi che f sia definita su tutto C è essenziale.

z

Ad esempio la funzione f (z) = e , che non assume il valore 0, assume tutti gli altri valori

logaritmo complesso,

complessi. Quindi la sua inversa, ovvero il è definito per ogni numero

multivoca,

complesso diverso a da 0. Si noti che questa funzione è ovvero a più valori (quindi

funzione

non è una in senso stretto): il logaritmo complesso è definito a meno di termini additivi

∈ ∈ ∈

z+2kπi z

della forma 2kπi con k Z; infatti e = e per ogni z C ed ogni k Z.

Da quest’ultimo teorema consegue tra l’altro che in ambito complesso le funzioni sin z, cos z,

arctan z assumono tutti i valori di C salvo al più uno, e quindi sono illimitate. Infatti queste

funzioni sono olomorfe, in quanto sviluppabili in serie di potenze convergenti su tutto C.

Esercizi. ∈ \ {z } →

1. Siano z C, R > 0, e sia f : B (z ) C olomorfa. In base a quanto si è visto

0 0 0

R

sopra, si verifichi che vi sono solo 3 alternative:

|f ∈

(i) lim (z)| R (ed allora z è una singolarità eliminabile),

0

z→z 0 |f

(ii) lim (z)| = +∞ (ed allora z è un polo),

0

z→z 0 |f

(iii) lim (z)| non esiste, né finito né infinito (ed allora z è una singolarità essenziale).

0

z→z 0

Si noti che per le funzioni analitiche reali queste alternative sono ben lungi dall’esaurire i casi

possibili. ha uno

2. Si verifichi che f ha un polo in z se e solo se lim 1/f (z) = 0 (ovvero 1/f (z)

0 z→z 0

zero in z ). Inoltre il polo di f è di ordine N se e solo se lo zero di 1/f (z) è dello stesso ordine.

0

5 Teorema dei Residui

5.1 Residui cerchio

Si consideri lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione f olomorfa rispetto ad un

\ {z }

bucato B (z ) (si tratta di una corona circolare degenere: C (z )), e sia 0 < r < R. Il

0 0 0,R 0

R

Analisi Complessa 11

coefficiente 1

c (z ) := f (z) dz (5.1)

−1 0 2πi (z )

C r 0 residuo di in ,

(z ) orientato in senso antiorario) è detto f z ed è denotato con

(al solito, con C 0 0

r

Res(f, z ). Per il teorema di Cauchy, esso è indipendente da r.

0

Esempi fondamentali: ∀n ∈ \ {−1}.

n

Res(1/z, 0) = 1, Res(z , 0) = 0 Z (5.2)

Il residuo è ovviamente lineare rispetto a f : per ogni insieme finito di funzioni olomorfe

→ ∈

, ..., f : C (z ) C e per ogni a , ..., a C, si ha

f

1 0,R 0 1

M M

M M

a f , z = a Res f , z .

Res 0 0

n n n n

n=0 n=0

Sotto opportune ipotesi questo si estende anche a serie di funzioni. Ad esempio, se vale lo

sviluppo di Laurent (4.1), grazie a (5.2) si ha

− −

n n

Res(f, z ) = Res c (z )(z z ) , z = c (z )Res((z z ) , z ) = c (z ).

−1

0 0 0 0 0 0 0 0

n n

n∈Z n∈Z

Identificazione dei Residui. Si assuma che la funzione f abbia ha un polo di ordine N in

+∞ − ∈

n

, ovvero f (z) = c (z z ) con c = 0. Allora, posto c̃ := c per ogni m N, si

z −N

0 0

n m m−N

n=−N

ha +∞ +∞

− − −

N n+N m

(z z ) f (z) = c (z z ) = c̃ (z z ) .

0 0 0

n m

m=0

n=−N

Grazie alla (3.3) consegue che

1 d −1

N − N

Res(f, z ) := c = c̃ = [(z z ) f (z)].

lim

−1 −1

0 0

N −

(N 1)! dz

z→z 0

Quindi, per i poli, il residuo può anche essere espresso mediante una derivata, il cui calcolo è

più agevole di quello dell’integrale con cui è definito il residuo stesso.

5.2 Indice di Avvolgimento e Teorema dei Residui

Siano α una curva regolare chiusa in C e z C un punto che non giace su tale curva. Si

indice di avvolgimento

definisce di α rispetto a z 1

1 dξ. (5.3)

Ind(α, z) := −

2πi (ξ z)

α

Si dimostra che questo è un numero intero (positivo o negativo o nullo), e che coincide con

il numero di giri completi attorno a z effettuati dal punto corrente lungo la curva α, contati

positivamente (negativamente, resp.) se percorsi in senso antiorario (orario, resp.). Ad esempio,

sia α è la parametrizzazione della circonferenza di centro z e raggio R percorsa due volte in

→ → it

senso antiorario; ovvero, α : [0, 4π] C : t z + Re . Allora

1

1 1 4π −1

it it

(Re ) iRe dt = 2.

dξ =

2πi (ξ z) 2πi 0

α


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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Passarelli Antonia.

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