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C Cr r ξ−z ∞ ∞n1 f (ξ) h 1 f (ξ) n= dξ = dξ h ,− − −n n+12πi ξ z (ξ z) 2πi (ξ z)(z) (z)C Cr rn=0 n=0 ovvero la (3.1 ) con i coefficienti c dati dalla (3.5).n → ∈Sia un aperto di e sia olomorfa. Allora, per ogniCorollario 3.2 Ω C f : Ω C z Ω,definito come sopra, si haδ n! f (ξ) ∀r ∈]0, ∀n ∈(n)f (z) = dξ δ[, N. (3.6)− n+12πi (ξ z)(z)C rInfatti si può dimostrare chen nd ∂ f (ξ)1f (z) = dξ.−n ndz 2πi ∂z (ξ z)(z)C rIn alternativa, si possono utilizzare le (3.3) e (3.5).→* Teorema di Liouville. Se f : C C è olomorfa e limitata, allora è costante.|f ≤ ∈ ∈Dimostrazione. Sia (z)| C per ogni z C. Preliminarmente per ogni z , z, ξ C con0|ξ − |z0 → |ξ| →2ξ = z si ponga ϕ(ξ) := 1 per +∞, e quindi. Si noti che ϕ(ξ)|ξ − z|1 → →2ϕ(ξ) dξ 1 per R
+∞.2πR (z )C 0RAnalisi Complessa 8|ξ − | ∈Osservato che z = R per ogni ξ C (z ), grazie a (3.6) allora si ha0 0RC C1 1 ≤|f 2(z)| dξ = ϕ(ξ) dξ|ξ − |ξ − |2 22π z| 2π z(z ) (z )C C 00 0R RC1 → →2ϕ(ξ) dξ 0 per R +∞.= 22π R (z )C 0R ∈ (z) = 0 per ogni z C, ovvero f è costante.Quindi f n n−1* Teorema fondamentale dell’Algebra. Sia P (z) = a z + a z + ... + a (con a = 0)0n n−1 n≥ ∈un polinomio di grado n 1. Allora esiste z C tale che P (z ) = 0.0 0Dimostrazione. Per assurdo, se P non si annullasse in nessun punto, allora 1/P (z) sarebbeuna funzione olomorfa, quindi limitata sui sottoinsiemi limitati di C. È facile verificare che|P → |z| →(z)| +∞ per +∞; quindi 1/P (z) sarebbe limitata su tutto C. Per il Teorema diLiouville 1/P (z) sarebbe allora costante, e lo stesso varrebbe per P (z), il che è ovviamentefalso.4 Serie di Laurent e
4.1 Sviluppo in Serie di Laurent
Siano z ∈ ℂ, 0 < < +∞, C(z) ≠ 0 in una corona circolare R < |z| < R+∞, e sia f(z) olomorfa. Per ogni n ∈ ℤ, si definisca come in (3.5) (per ogni r, R ∈ [0,∞), r < R):
f(z) = ∑n=-∞+∞ cn(z-z)n
Si intende che queste due ultime serie convergono entrambe. Esse sono rispettivamente chiamate parte regolare e parte singolare dello sviluppo di Laurent in z (il termine c può essere attribuito indifferentemente ad entrambe).
sviluppo in serie di Laurent
La rappresentazione (4.1) è detta di f rispetto alla corona circolare C(z); essa può dipendere non solo da z ma
Anche da R e R .0 0 1 2R ,R1 2Se poi f è analitica in tutto il cerchio B (z ), allora lo sviluppo in serie di Laurent è ridotto0R 2 -n+1≥ -alla sua parte regolare; infatti in tal caso per ogni n 1 la funzione f (ξ)/(ξ z) è olomorfain B (z ), e quindi (cf. (3.5)) c = 0 per il Teorema di Cauchy.-n0R 2Dimostrazione. Si usa la seguente generalizzazione della formula (2.5) di Cauchy: per ogni∈ |h| |h|h C tale che R < << R , siano r , r > 0 tali che R < r << r < R ; allora1 2 1 2 1 1 2 21f (ξ) f (ξ)1 -f (z dξ dξ.+ h) =0 - - - -2πi ξ z h 2πi ξ z h(z ) (z )C C0 0r r0 02 1Analisi Complessa 9Il primo integrale è trattato come nel Teorema 3.1, e dà origine alla prima serie di (4.1). Per ilsecondo integrale si usa un procedimento simile; però, essendo -ξ z r 0 1 ∀ξ ∈ = (z ),< 1 C 0r|h| 1hsi usa lo sviluppo ∞ ∞ -n- m1 1 (ξ z )
0− = = ,=− − − −n+1− ξ−z m+1ξ z h h h (ξ z )1 00 0m=0 n=1h che dà origine alla seconda serie di (4.1). ∈{c : n* Se, invece della funzione f , è data una successione bilatera di coefficienti nZ}, allora la serie bilatera (4.1) converge nella corona circolare C (z ), ove R , R sono0 1 2R ,R1 2determinati dalla formula che fornisce il raggio del cerchio di convergenza di una serie di potenze:| |1/n 1/n:= max lim (|c ), R := 1/ max lim (|c ),R −n1 2 nn→+∞ n→+∞con ovvie modifiche per i casi in cui il secondo limite superiore sia 0 oppure +∞. Naturalmente, ∅ ≤ ≤(z ) = se e solo se 0 R < R +∞. Si può anche dimostrare che in questo caso laC 0 1 2R ,R1 2funzione somma f data dalla (4.1) è olomorfa in C (z ).0R ,R1 24.2 Classificazione delle Singolarità Isolate∈ \ {z } →Siano z C, R > 0, e sia f : B (z ) C olomorfa. Allora vi sono 3 possibilità:0 0
0R∈(i) esiste il lim f (z) C,z→z 0 |f(ii) esiste il lim (z)| = +∞,z→z 0(iii) nessuno dei due casi precedenti è verificato. \ {z },Il caso (i) sussiste se e solo se f è limitata in B (z ) ovvero se e solo se la parte0 0Rsingolare dello sviluppo di Laurent è identicamente nulla (cioè c = 0 per ogni n > 0).−nPonendo f (z ) := lim f (z) = c , si ottiene allora una funzione olomorfa in tutto B (z ). Si0 0 0z→z R0 eliminabile.dice allora che f ha in z una singolarità0Si può dimostrare che il caso (ii) è equivalente a ciascuna delle seguenti condizioni:∃N ∈ − ∈ \ {0},NN : N > 0, e lim (z z ) f (z) C11 1 0z→z 0come in (3.5),oppure, definiti i coefficienti c n∈ ∀n∃N N : N > 0, c = 0 e c = 0 > N .−N −n2 2 22 poloInoltre N = N . Si dice allora che f ha in z un di ordine N .1 2 0 1 ∈(Analogamente, se una funzione f definita in un cerchio B (z ) si annulla in z ed n N0
0R− \ {z },nè il piu’ grande intero tale che f (z)/(z z ) è limitata in B (z ) si dice che f ha uno0 0 0Rzero di ordine n in z .)0 Nel caso (iii) invece c = 0 per infiniti interi n > 0, e si dice che f ha in z una singolarità−n 0|fessenziale. Questo sussiste se e solo se il lim (z)| non esiste, né finito né infinito. Ilz→z 0comportamento di f in un intorno di una tale singolarità è estremamente irregolare, come èindicato dal seguente sorprendente risultato (di dimostrazione non banale).
Analisi Complessa 104.3 * Due Teoremi di Picard∈ \ {z }.
Teorema (di Picard). Sia z C, R > 0, ed f una funzione olomorfa in B (z ) Se z0 0 0 0Rè una singolarità essenziale per f , allora quest’ultima assume tutti i valori di C, salvo al piùuno. (È facile mostrare che allora f assume ciascun valore di C, salvo al più uno, in infinitipunti diversi!). ∞1/z n
Ad esempio la funzione f (z) = e = 1/(n!z ) ha una singolarità essenziale
in 0, e nonn=0assume il valore 0. Allora in ogni cerchio di centro 0 essa assume tutti gli altri valori di C.Questo teorema permette tra l'altro di dimostrare il seguente risultato.
Teorema. Se f : C → C è una funzione olomorfa, ammette inversa, e questa è pure una funzione C → C olomorfa, allora f è della forma f (z) = az + b, con a, b C e a = 0.
Ecco un altro interessante teorema di Picard:
Teorema. Se f : C → C è una funzione olomorfa non costante, allora essa assume tutti i valori di C, salvo al più uno.
È chiaro che negli ultimi due teoremi l'ipotesi che f sia definita su tutto C è essenziale.
Ad esempio la funzione f (z) = ez, che non assume il valore 0, assume tutti gli altri valori del logaritmo complesso, ovvero a più valori (quindi non è una funzione in senso stretto): il logaritmo complesso è multivoca, cioè definito per ogni numero complesso diverso da 0. Si noti che questa funzione è complessa.
definito a meno di termini additivi∈ ∈ ∈z+2kπi zdella forma 2kπi con k Z; infatti e = e per ogni z C ed ogni k Z.Da quest’ultimo teorema consegue tra l’altro che in ambito complesso le funzioni sin z, cos z,arctan z assumono tutti i valori di C salvo al più uno, e quindi sono illimitate. Infatti questefunzioni sono olomorfe, in quanto sviluppabili in serie di potenze convergenti su tutto C.Esercizi. ∈ \ {z } →1. Siano z C, R > 0, e sia f : B (z ) C olomorfa. In base a quanto si è visto0 0 0Rsopra, si verifichi che vi sono solo 3 alternative:|f ∈(i) lim (z)| R (ed allora z è una singolarità eliminabile),0z→z 0 |f(ii) lim (z)| = +∞ (ed allora z è un polo),0z→z 0 |f(iii) lim (z)| non esiste, né finito né infinito (ed allora z è una singolarità essenziale).0z→z 0Si noti che per le funzioni analitiche reali queste alternative sono ben lungi dall’esaurire i casipossibili. ha uno2. Siverifichi che f ha un polo in z se e solo se lim 1/f (z) = 0 (ovvero 1/f (z)0 z→z 0zero in z ). Inoltre il polo di f è di ordine N se e solo se lo zero di 1/f (z) è dello stesso ordine.Teorema dei Residui
5.1 Residui cerchio
Si consideri lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione f olomorfa rispetto ad un buco B(z) (si tratta di una corona circolare degenere: C(z)), e sia 0 < r < R. Il coefficiente c(z) := f(z) dz (5.1)
−1 0 2πi (z) C r 0 residuo di in ,(z) orientato in senso antiorario) è detto
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