Analisi Matematica IV

L'integrazione secondo Riemann è più conosciuta ma l'integrazione quella secondo Lebesgue ha due ruoli principali:

• Teoremi di convergenza associati alla teoria di Lebesgue portano a risultati più generali e corposi inoltre migliorano l'insieme delle funzioni integrabili infatti

∫_a^b |f| integrabile ⇒ ∫_a^b f integrabile

∫_a^b |f| R-integrabile ⇒ ∫_a^b f R-integrabile

Integrali per il passaggio al limite sotto il segno di integrale che richiedono meno ipotesi e sono quindi più generali

Def

ɸ ≠ ∅ insieme Ɛ ⊂ ℘^X = {A ⊂ X}

Ɛ è una _-algebra verifica i seguenti assiomi

• (i) ɸ, X ∊ Ɛ
• (ii) ∀A ∊ Ɛ ⇒ A^c = X \ A ∊ Ɛ
• (iii) ∀A_m, m∊Ɛ ⇒ ∪_m=1^∞ A_m ∊ Ɛ

Def

• ∀A∊Ɛ A si dice misurabile
• (X, Ɛ) si dice spazio di misura

Dalla (iii) discende anche la stessa proprietà per un numero finito di sottoinsiemi

Leggi di De Morgan

• ( ∪_α A_α)^c = ∩_α A_α^c
• ( ∩_α A_α)^c = ∪_α A_α^c

con {ℤ} un arbitrario insieme di indici

Prop

(A_m)^c ∊ Ɛ ⇔ ∫_m=1^∞ A_m ∊ Ɛ

Dim

(A_m)^c ∊ Ɛ ⇔ (∫_m=1^∞ A_m)^c ∊ Ɛ ⇔ (∪_m=1^∞ A_m)^c ∊ Ɛ

• (ii) ∫_m=1^∞ A_m ∊ Ɛ
• De Morgan (∪_m=1^∞ A_m)^c ∊ Ɛ ⇔ (A_m)^c ∊ Ɛ

OK

Esempio

• Ɛ₀ = {∅, X} è la più piccola -algebra
• Ɛ₁ = ℘^X è la più grande -algebra

Sia K∈ℜ

σ(K) si dice σ-algebra generata da K

σ(K) è l'intersezione di tutte le σ-algebre in X contenenti K

Esempio

(X, d₁) spazio metrico

La σ-algebra generata da tutti gli aperti di X si dice B(X)

e si dice σ-algebra di Borel e la si può ottenere

ugualmente dall'intersezione di tutti i chiusi

Def

f : X →ℜ è misurabile df

(rispetto alla σ-algebra) ⇔ ∀α∈ℜ {x∈X | f(x) > α}∈ϵ

(è misurata in X)

Oss

La definizione è equivalente per f(x) > α, f(x) < α, f(x) ≤ α

È importante che α∈ℜ altrimenti dom il negativo sarebbe misr.

∀α∈ℜ x | f(x) ≤ 0 ∀x∈X

{x∈X | f(x) > α}∈ϵ⇔α∈ℜ⁺

sia α∈ℜ₀ ⇒ α = 0 {x∈X | f(x) > α}∈ϵ

Esempio

Sia E ∈ ϵ

λ_E = 1 , x∈E

= 0 , x∈E^c

La funzione caratteristica di E

Prendo α≤0

{x∈X | λ_Ε(x)>α} = X∈ϵ ⇔ E∈ϵ ok

Prendo α = 0

{x∈X | λ_Ε(x)>α} = E∈ϵ ok,

Prendo α∈(0, 1]

{x∈X | λ_Ε(x)>α} = E∈ϵ ok

Prendo α≥1

{x∈X | λ_Ε(x)>α} = Ø∈ϵ ok

⇒ λ_E è misurabile

Def

X = (X, , μ)μ: → ℝ₀ si dice misura

Verifica le seguenti proprietà:

• (i) μ(∅) = 0
• (ii) μ(E) ≥ 0 ∀ E ∈
• (iii) (E_n) con E_i ∈ , E_i ∩ E_j = ∅ ∀ n ≠ m

Oss.

• La (iii) dice che la misura dell'unione di insiemi disgiunti è data dalla somma di una serie a termini positivi, quindi converge o diverge.
• ℝ = ∪ [m, m + 1[ ∪ ]0, ∞[ - m - 1[ - m]

Quindi ℝ è formato dagli unione di intervalli 2 a 2 disgiunti ma la sua misura è +∞ vuol dire che la serie associata diverge.

Esempi

X = ℕ = (ℕ)Definisco μ^#(E) =

• #E E finito (costituito da un numero finito di elementi)
• ∞ E non finito

μ^# non è finita ma è σ-finita (?)

Def

X = (X, , μ) spazio di misuraX si dice σ-finito se X = ∪_m^∞ E_m, E_n ∈ con μ(E_m) < ∞ ∀ m_{Unione numerabile di insiemi di}

Esempio

ℝ = ∪_m=1^∞ e_m mμ(E_m) = 2m < ∞ ∀ m è σ-finitoma μ(ℝ) = ∞ non è finito

X = ℝ = β è la σ-algebra di Boreliani (generata dagli aperti (a, b) in ℝ)

Si dimostrerà che ∃! λ misura definita su B che coincide con una unione di intervalliI = (a, b) -∞ <σ < b <∞

Ponendo -∞ < a < b < ∞ e I = (a, b) allora λ(I) = b - a

λ si dice misura di Lebesgue (σ-finita ma non finita)

ψ∈S^* ⇒ φ∈S^* ⇒ 0≤ψg ⇒ φ∈S^*_g

S^*_g⊆S^* ⇒ SUP_y∈S^*g ∫ φ dμ ≤ SUP_y∈S^*g ∫ g dμ

SUP_y∈S^*g ∫ g dμ = ∫_E g dμ

(b) ∫ f dμ ≤ ∫ g dμ

∫ f_k dμ ≤ ∫ f dμ ≤ ∫ g dμ

∫_E f dμ ≤ ∫_E g dμ

∀φ ∈ S^* ∧ φ≤μ f ⇒ ∫ φ dμ ≤ ∫ f dμ

∫_E f dμ ≤ ∫_E f dμ

TEOREMA DI CONVERGENZA MONOTONA DI BEPPO LEVI (TCMB)

(f_m) CMT f_m → f PUNTUALMENTE

⇒ ∫_X SUP_m f_m dμ = ∫_X f dμ

COPERTURE ∫_X f dμ = lim_m ∫_X f_m dμ

(a) f = SUP f_m∈CMT ∧ (ALOG) f_m→f

∀m ∃n lim_m f_m dμ -> ∀n ∃Δ f_m dμ

FISSO m m→∑ f_m dμ ∈ R⁺

(1) f_m≤f_m+1 ≤ φ

∫_X f_m dμ ≤ ∫_X f dμ ⇒ SUP_n f_m dμ = ∫_X f dμ

(2) OSSERV ∫_X f dμ ≤ SUP_n∈S f dμ (N.B. f⊄S non deve FESS)

COSTRUISCO A_n = {x∈X (f_n)^αφ(x) = {x∈X f_n(x)

Costruzione

∀ E ∈ E ⇒ λ ∈ A∃μ

1. λ : Ε → ℝ₀
2. λ ∀ A ∃μ

λ(E) = ∫_E f dμ

Supponiamo:

2. λ(E) = ∫_E f dμ ≥ 0

∀ Φ ∅ ⇒ ∫_E g ◉ χdμ

E = ★^∞_m=1 E_m

E_m ∈ E_m ⇒ ∀ n E_em ∈ E ⇒

E = E_m n E_em

ƒ_m+1 = ƒ_m + f^χ_m

f∅_m ^⋈mΣn► fX^E

∫_E f dμ = ★^∞_Ek fX^E_k de = Σ_Ek λ(E_k)

Poco a poco integrale: ◦ οa

PASSO AL LIM:

lim_m→∞ ∫_m f dμ voc ^E_k

⇒ passo integrale e successivamente voc:

SomS^{∫_m de} quasi unico

l∈ voc somme di essi:

∀ E ∈ E ⇒ μ(E) = 0 ^{E ∈} voc:

Dea_faz λ: Ε → ℝ₀

⇒ ∫_E f de voc ≥ ⊙∅

Tutto:

∀ E ∈ Ε ⇒ μ(E) = 0 allora λ(E) = 0