Appunti di Analisi matematica 2

JY

> ×

ROTORE: prodotto vettoriale con un campo vettoriale

∇

Vi E

J Jfy

Jfz Jfx

Jfx

Jfy

Jfz È

j

> ↑

↓ >

F > > Z JX

× JX JY

JZ

jz

jy

fz

fx fy

Inte!ale curvilineo 23

23

Abbiamo un campo le tipo: f

Prendo un intervallo J:(a,b] su una retta reale, voglio andare ad integrare, li provo a

disegnare la mia curva in R³ come una funzione a valori vettoriali definita su quell’intervallo.

33

t J

✗ ✗

✗ :

t sta nell'intervallo e una funzione prende un valore che sta sulla retta e lo manda in R³

✗

Che cosa fa ? Sta disegnando una curva in R³

a b

Una volta che ho definito la Prendo il campo e lo faccio agire su una

/

{ d'

fatti) ltldt

f. dà

curva devo integrare su traiettoria. La derivata prima di un campo

: .

quella curva il mio campo f vettoriale è un campo vettoriale.

a

è una curva nello spazio, sarà la tangente alla curva

'

a

✗

Integro lungo la tangente punto per punto. É come se puntualmente scegliessi la tangente come

asse x lungo cui fare l’integrale.

Z Quella punto per punto con al retta tangente è la cosa

migliore, voglio ridurmi il più possibile all’analisi 1.

É come se l’asse x variasse nel tempo, allora vado a ridurmi

istante per istante all’asse x rappresentato dalla retta,

tangente punto per punto

y

✗ |

{ /

/ fida

da

fda fa

fa su una curva fissata

f.

f fa

f da

+

+

, ✗ a ✗

d)

/

? fda

f. dfda

te ✗

a ✗ 2

/ / / Unione delle curve

fda fda f- da

✗ aiuta × ,

✗ ✗

✗ i 2

Curva su cui voglio integrare il campo

Voglio usare la definizione di prima:

rappresentazione parametrica della curva, posso rappresentare il

alti

d-

segmento lungo l'asse z tra 0 e 1 in molti modi.

• Ad esempio: i

'

ÉK

3

3 t te

a

Un altro modo, posso prendere -0,1

/

✗ =D UK

a) UE

= ,

NOTA: nelle rappresentazioni parametriche il parametro u e t indica il tempo che scorre nel periodo in cui disegno la curva

La mia curva la posso disegnare con diverse forme parametriche:

d È

ultl

multi f-

{ / ftp.ltll.piltldt

fd } : lui

3ITL )

tutti

✗ Derivata della composta

✗

C alulriltlb

Pitt

d

/ / flpltll.p.lt/dt

fd } :

3 c

d

/ atutti n'

)

fltlul) ltldt

.

C )

mld Cambio variabile

di ult)

/ a-

d'

Halmi) luldu

. ltldu

du n'

nici -

/ Fdp

: Assumo u c a e u d b, ovvero impongo alla due

rappresentazioni possibili di disegnare la curva nella stessa

/ flpltl.PH/dt direzione. Ovvero aumenta la variabile passa dallo stesso

. punto e arrivo allo stesso punto.

↳

/ fldl.nl/.aluldn

)

NIC b

/ /

INTEGRALE DI UN CAMPO VETTORIALE: fda dove è

alti

fldl.tl/.altldt i una

rappresentazione della

C’è un campo scalare,ma se ho u campo scalare? o a

Non posso usare questa definizione curva .

b

/ /

> 3 fda

INTEGRALE DI UN CAMPO SCALARE: :3

f fldlt alti dt

)

) .

✗ a Prodotto tra grandezze scalari:

> prodotto asimmetrico

La norma di è una funzione di t, quindi uno scalare.

'

a

La norma prende oggetti vettoriali e li manda in scalari.

Cosa cambia se rappresento la curva in due modi diversi?

d)

[

Abbiamo 2 rappresentazioni 3 t te

3 c. Perché stiamo disegnando la stessa curva

3ITL

lui

✗

b)

Uefa

✗ ✗ M .

d u=u(t)

ftp./fBt

/ ' Il cambio di variabile deve essere iniettivo, non cambia il segno in

t

3 du= u’(t)dt particolare u' 0

C

13 modulo

abbiamo il

d n

/ tout at

' ut

✗

:

/ α’(u)

tout grandezza vettoriale

dt

àutùt u’(t) grandezza scalare

: Modulo Se volessimo portare fuori dalla norma la grandezza scalare, potrei farlo a

/ tout à dt

u' condizione di mettere un valore assoluto.

t

ut La norma è non lineare, quindi mi impedisce di fare il solito cambio di variabile

: perché non abbiamo t ma u' t ; quindi, non solo u c ma u d coincidono,

|u' |

/ devono anche essere iniettive

fan du

aiut Posso usare tutte le rappresentazioni parametriche che voglio

c a condizione che la relazione tra le due sia sempre iniettiva

INTEGRAZIONE CAMPI SCALARI SU UN PIANO f: R—>R f=f(x)=f(x,y)

2

Abbiamo tre tipologie di problemi:

1) capire come si definisce l’integrale di un campo scalare su un dominio di R

2) condizioni che ho su f che mi garantiscono l’ integrabilitá

3) come si calcolano gli integrali di questo genere

Considero dei campi semplici CAMPI A SCALA (costanti a tratti)

—>

Dominio di integrazione considero un rettangolo su R Q

2

—>

Prodotto cartesiano

b d d

a. c. |

{ YIEIPÌ .by

IX. d

E c.

E

✗ a

c ,

b

a

Lo voglio suddividere in rettangoli p:{x , x ,……,x }

n Insieme di punti

Definisco la partizione p:{y , y , ……,y }

n

2

Una partizione del rettangolo Q è l’insieme dei prodotti cartesiani p x p 2

2

DEFINIZIONE FORMALE: un campo a scala è un campo f:R—>R tale che una partizione di Q

per cui f assume valori costanti su ogni elemento (sotto

rettangolo) della partizione

Supponiamo che f sia un campo a scala su Q limitato su Q se è un campo scala e intervallo della mia partizione e YJIY

✗ ✗ i

i -11 ] -11

/

Come posso definire il concetto di integrale su Q per il campo a scala f?

Uno dei sotto rettangoli lo posso scrivere come: ij 41,4 ; -11 i-O

f è a scala: vuol dire che trovo una partizione Qij in

4)

IX.

flx.yt.ci

; C- . -

.

.

di Q tale che f assume valori costanti su ogni j =D

.nl/flx.Yldxdy

.

.

.

,

rettangolo della partizione Valore costante, numero reale

Si dice INTEGRALE DOPPIO di f CAMPO SCALARE su Q:

"

" l' di Sto calcolando un volume

dove è

ij

ij

ci ; area

, Non vuoto c'è almeno un campo di tipo s, se s

>

è limitato vuol dire che ha un estremo inferiore

E quando f è un qualunque campo non a scala su Q?

f campo scalare definito limitato su Q rettangolo, prendo tutti i campi a scala che chiamo s(x,y)

su Q tale che s(x,y)≤ f(x,y) (x,y) Q

∀

ti E NOTA BENE: almeno uno c'è perché f è limitata

Ogni integrale di un campo a scala è un numero reale, ho dei numeri

|

/ /

slxilldxdy.sk/.

Y)cflxiYIfs(x,y

f sup É sempre un insieme di numeri

)

Prendo tutti i campi a scala t(x,y) su Q tale che t(x,y) f(x,y) (x,y) Q

≥ ∀ E

|

{ /

tlx.Yldxdy.tk/.Y)flxiYIft(x,Yl//flx.y)dxdy=ff

Inf

f

f campo scalare definito è limitato su Q è detto integrabile nel senso degli integrali doppi se

I[f] = I[f] e si dice integrale doppio di f su Q ha quantità: ⑤

Voglio prendere dei domini un po' più generali Ha una

S

2 forma

f campo scalare definito su S definito limitato su R qualunque

Prendo un campo Q che contiene S lo posso fare perché limitato

>

{ Hines

" I

S "

"

I ,

/ ,y

× S

MIE É zero fuori da S ma non dentro Q

( ✗

Campo ausiliario ~

Si dice che f è integrabile su S nel senso degli integrali doppi se f è integrabile su Q nel senso degli integrali doppi

/

| flx.uldxdy.ie//Flx.uldxdy Se lo inverto non è la stessa cosa

Q

S

Sia f un campo definito su Q e continuo su Q, allora f e integrabile su Q nel senso degli integrali doppi.

Poiché f e continuo su Q esiste una partizione di Q tale che l’oscillazione di f su ogni

E

sottorettangolo della partizione è più piccola di ε

Ì É il minimo di f su Q

{ )

molt

f

E://SCX.li/dxdy

E É il massimo di f su Q

s(x,y) :=m k=1,…,K

CAMPI A SCALA k(x,y) :=M k=1,…,K

" al

ma

K

|

/ Kal

tcxiildxdy " "

"

K

|

/

|

/ al

Kal

) MKAI

didy Ea

E

51×14 KMK

tcxiyldxdy a

|

/

|

/ t

f dxdy

f t

scxiildxdy t

il

f campo scalare continuo su Q, trovo che su una certa curva dove è limitato.

si

Sia l'area dell'insieme dei sottorettangoli che coprono .

S 8

Tale insieme è indicato con: J

il

{ 1

.

J

il

{

> 0 una copertura di di area

δ ≤ δ

0 E

∀ ∃ <

1

. ↓

/ )

KHI mit

> 0 una partizione di 8 E

E

∀ ∃ y

-

)

{ lnfflx

" €8

M' I

,y

M

✗ -

' | 8

/

killer

) MÓ

Stay Slxilldxdy MKA

-1

MK su ✗

=/ 8

MI C-

✗ flx.nl//tlXiUIdXdYd+ka

/

tlxiy sup

( )

N

✗

su

|

/

|

/ MI

Ó MÓ

SIXIUIDXDY

tlxilldxdy a

MK

ka

-1 MKQ -1

-1 K

md E

-1 a

|

/

|

/ f dxdy

f f

t

scxiildxdy f

il y TÈÉ

Un dominio S di R è detto y-semplice se S={ (x,y) R : a<x<b, g(x) < y < h(x) } ;

E \ \

-

_ ×

y { Kyles

" I

"

"

Ìlx f continua su S

)

y S

, MIE

( ✗

× ~

f è integrabile su Q perché è continua su Q meno che si un insieme di misura nulla, dove è limitato

÷ °

g)

|

Un dominio S di R è detto x-semplice se S={ (x,y) R : c < x < d , g(y) < x < h(y) }

E -

- '

- ✗

Riepilogo }

»{

Siamo partiti da F limitata su Q rettangolo, abbiamo costruito Sfascxisdxdy e

[f)

d' )

{ ) fais

suis

¥ ≤

= ,

,

{ fftlxisaxay-kx.is }

f)

[

d- . Abbiamo definito come calcolare l'integrale di un campo a scala che corrisponde a calcolare i

iafis fais)

)

= ≥

,

volumi. . f integrabile quando è una definizione, non ci sono condizioni sufficienti )

ICE Iff

=