JY
> ×
ROTORE: prodotto vettoriale con un campo vettoriale
∇
Vi E
J Jfy
Jfz Jfx
Jfx
Jfy
Jfz È
j
> ↑
↓ >
F > > Z JX
× JX JY
JZ
jz
jy
fz
fx fy
Inte!ale curvilineo 23
23
Abbiamo un campo le tipo: f
Prendo un intervallo J:(a,b] su una retta reale, voglio andare ad integrare, li provo a
disegnare la mia curva in R³ come una funzione a valori vettoriali definita su quell’intervallo.
33
t J
✗ ✗
✗ :
t sta nell'intervallo e una funzione prende un valore che sta sulla retta e lo manda in R³
✗
Che cosa fa ? Sta disegnando una curva in R³
a b
Una volta che ho definito la Prendo il campo e lo faccio agire su una
/
{ d'
fatti) ltldt
f. dà
curva devo integrare su traiettoria. La derivata prima di un campo
: .
quella curva il mio campo f vettoriale è un campo vettoriale.
a
è una curva nello spazio, sarà la tangente alla curva
'
a
✗
Integro lungo la tangente punto per punto. É come se puntualmente scegliessi la tangente come
asse x lungo cui fare l’integrale.
Z Quella punto per punto con al retta tangente è la cosa
migliore, voglio ridurmi il più possibile all’analisi 1.
É come se l’asse x variasse nel tempo, allora vado a ridurmi
istante per istante all’asse x rappresentato dalla retta,
tangente punto per punto
y
✗ |
{ /
/ fida
da
fda fa
fa su una curva fissata
f.
f fa
f da
+
+
, ✗ a ✗
d)
/
? fda
f. dfda
te ✗
a ✗ 2
/ / / Unione delle curve
fda fda f- da
✗ aiuta × ,
✗ ✗
✗ i 2
Curva su cui voglio integrare il campo
Voglio usare la definizione di prima:
rappresentazione parametrica della curva, posso rappresentare il
alti
d-
segmento lungo l'asse z tra 0 e 1 in molti modi.
• Ad esempio: i
'
ÉK
3
3 t te
a
Un altro modo, posso prendere -0,1
/
✗ =D UK
a) UE
= ,
NOTA: nelle rappresentazioni parametriche il parametro u e t indica il tempo che scorre nel periodo in cui disegno la curva
La mia curva la posso disegnare con diverse forme parametriche:
d È
ultl
multi f-
{ / ftp.ltll.piltldt
fd } : lui
3ITL )
tutti
✗ Derivata della composta
✗
C alulriltlb
Pitt
d
/ / flpltll.p.lt/dt
fd } :
3 c
d
/ atutti n'
)
fltlul) ltldt
.
C )
mld Cambio variabile
di ult)
/ a-
d'
Halmi) luldu
. ltldu
du n'
nici -
/ Fdp
: Assumo u c a e u d b, ovvero impongo alla due
rappresentazioni possibili di disegnare la curva nella stessa
/ flpltl.PH/dt direzione. Ovvero aumenta la variabile passa dallo stesso
. punto e arrivo allo stesso punto.
↳
/ fldl.nl/.aluldn
)
NIC b
/ /
INTEGRALE DI UN CAMPO VETTORIALE: fda dove è
alti
fldl.tl/.altldt i una
rappresentazione della
C’è un campo scalare,ma se ho u campo scalare? o a
Non posso usare questa definizione curva .
b
/ /
> 3 fda
INTEGRALE DI UN CAMPO SCALARE: :3
f fldlt alti dt
)
) .
✗ a Prodotto tra grandezze scalari:
> prodotto asimmetrico
La norma di è una funzione di t, quindi uno scalare.
'
a
La norma prende oggetti vettoriali e li manda in scalari.
Cosa cambia se rappresento la curva in due modi diversi?
d)
[
Abbiamo 2 rappresentazioni 3 t te
3 c. Perché stiamo disegnando la stessa curva
3ITL
lui
✗
b)
Uefa
✗ ✗ M .
d u=u(t)
ftp./fBt
/ ' Il cambio di variabile deve essere iniettivo, non cambia il segno in
t
3 du= u’(t)dt particolare u' 0
C
13 modulo
abbiamo il
d n
/ tout at
' ut
✗
:
/ α’(u)
tout grandezza vettoriale
dt
àutùt u’(t) grandezza scalare
: Modulo Se volessimo portare fuori dalla norma la grandezza scalare, potrei farlo a
/ tout à dt
u' condizione di mettere un valore assoluto.
t
ut La norma è non lineare, quindi mi impedisce di fare il solito cambio di variabile
: perché non abbiamo t ma u' t ; quindi, non solo u c ma u d coincidono,
|u' |
/ devono anche essere iniettive
fan du
aiut Posso usare tutte le rappresentazioni parametriche che voglio
c a condizione che la relazione tra le due sia sempre iniettiva
INTEGRAZIONE CAMPI SCALARI SU UN PIANO f: R—>R f=f(x)=f(x,y)
2
Abbiamo tre tipologie di problemi:
1) capire come si definisce l’integrale di un campo scalare su un dominio di R
2) condizioni che ho su f che mi garantiscono l’ integrabilitá
3) come si calcolano gli integrali di questo genere
Considero dei campi semplici CAMPI A SCALA (costanti a tratti)
—>
Dominio di integrazione considero un rettangolo su R Q
2
—>
Prodotto cartesiano
b d d
a. c. |
{ YIEIPÌ .by
IX. d
E c.
E
✗ a
c ,
b
a
Lo voglio suddividere in rettangoli p:{x , x ,……,x }
n Insieme di punti
Definisco la partizione p:{y , y , ……,y }
n
2
Una partizione del rettangolo Q è l’insieme dei prodotti cartesiani p x p 2
2
DEFINIZIONE FORMALE: un campo a scala è un campo f:R—>R tale che una partizione di Q
per cui f assume valori costanti su ogni elemento (sotto
rettangolo) della partizione
Supponiamo che f sia un campo a scala su Q limitato su Q se è un campo scala e intervallo della mia partizione e YJIY
✗ ✗ i
i -11 ] -11
/
Come posso definire il concetto di integrale su Q per il campo a scala f?
Uno dei sotto rettangoli lo posso scrivere come: ij 41,4 ; -11 i-O
f è a scala: vuol dire che trovo una partizione Qij in
4)
IX.
flx.yt.ci
; C- . -
.
.
di Q tale che f assume valori costanti su ogni j =D
.nl/flx.Yldxdy
.
.
.
,
rettangolo della partizione Valore costante, numero reale
Si dice INTEGRALE DOPPIO di f CAMPO SCALARE su Q:
"
" l' di Sto calcolando un volume
dove è
ij
ij
ci ; area
, Non vuoto c'è almeno un campo di tipo s, se s
>
è limitato vuol dire che ha un estremo inferiore
E quando f è un qualunque campo non a scala su Q?
f campo scalare definito limitato su Q rettangolo, prendo tutti i campi a scala che chiamo s(x,y)
su Q tale che s(x,y)≤ f(x,y) (x,y) Q
∀
ti E NOTA BENE: almeno uno c'è perché f è limitata
Ogni integrale di un campo a scala è un numero reale, ho dei numeri
|
/ /
slxilldxdy.sk/.
Y)cflxiYIfs(x,y
f sup É sempre un insieme di numeri
)
Prendo tutti i campi a scala t(x,y) su Q tale che t(x,y) f(x,y) (x,y) Q
≥ ∀ E
|
{ /
tlx.Yldxdy.tk/.Y)flxiYIft(x,Yl//flx.y)dxdy=ff
Inf
f
f campo scalare definito è limitato su Q è detto integrabile nel senso degli integrali doppi se
I[f] = I[f] e si dice integrale doppio di f su Q ha quantità: ⑤
Voglio prendere dei domini un po' più generali Ha una
S
2 forma
f campo scalare definito su S definito limitato su R qualunque
Prendo un campo Q che contiene S lo posso fare perché limitato
>
{ Hines
" I
S "
"
I ,
/ ,y
× S
MIE É zero fuori da S ma non dentro Q
( ✗
Campo ausiliario ~
Si dice che f è integrabile su S nel senso degli integrali doppi se f è integrabile su Q nel senso degli integrali doppi
/
| flx.uldxdy.ie//Flx.uldxdy Se lo inverto non è la stessa cosa
Q
S
Sia f un campo definito su Q e continuo su Q, allora f e integrabile su Q nel senso degli integrali doppi.
Poiché f e continuo su Q esiste una partizione di Q tale che l’oscillazione di f su ogni
E
sottorettangolo della partizione è più piccola di ε
Ì É il minimo di f su Q
{ )
molt
f
E://SCX.li/dxdy
E É il massimo di f su Q
s(x,y) :=m k=1,…,K
CAMPI A SCALA k(x,y) :=M k=1,…,K
" al
ma
K
|
/ Kal
tcxiildxdy " "
"
K
|
/
|
/ al
Kal
) MKAI
didy Ea
E
51×14 KMK
tcxiyldxdy a
|
/
|
/ t
f dxdy
f t
scxiildxdy t
il
f campo scalare continuo su Q, trovo che su una certa curva dove è limitato.
si
Sia l'area dell'insieme dei sottorettangoli che coprono .
S 8
Tale insieme è indicato con: J
il
{ 1
.
J
il
{
> 0 una copertura di di area
δ ≤ δ
0 E
∀ ∃ <
1
. ↓
/ )
KHI mit
> 0 una partizione di 8 E
E
∀ ∃ y
-
)
{ lnfflx
" €8
M' I
,y
M
✗ -
' | 8
/
killer
) MÓ
Stay Slxilldxdy MKA
-1
MK su ✗
=/ 8
MI C-
✗ flx.nl//tlXiUIdXdYd+ka
/
tlxiy sup
( )
N
✗
su
|
/
|
/ MI
Ó MÓ
SIXIUIDXDY
tlxilldxdy a
MK
ka
-1 MKQ -1
-1 K
md E
-1 a
|
/
|
/ f dxdy
f f
t
scxiildxdy f
il y TÈÉ
Un dominio S di R è detto y-semplice se S={ (x,y) R : a<x<b, g(x) < y < h(x) } ;
E \ \
-
_ ×
y { Kyles
" I
"
"
Ìlx f continua su S
)
y S
, MIE
( ✗
× ~
f è integrabile su Q perché è continua su Q meno che si un insieme di misura nulla, dove è limitato
÷ °
g)
|
Un dominio S di R è detto x-semplice se S={ (x,y) R : c < x < d , g(y) < x < h(y) }
E -
- '
- ✗
Riepilogo }
»{
Siamo partiti da F limitata su Q rettangolo, abbiamo costruito Sfascxisdxdy e
[f)
d' )
{ ) fais
suis
¥ ≤
= ,
,
{ fftlxisaxay-kx.is }
f)
[
d- . Abbiamo definito come calcolare l'integrale di un campo a scala che corrisponde a calcolare i
iafis fais)
)
= ≥
,
volumi. . f integrabile quando è una definizione, non ci sono condizioni sufficienti )
ICE Iff
=
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