Analisi 1 Teoria "Funzioni e Limiti" [cap. IV]

Cap 1

Nozioni Generali e Funzioni e Limiti

Siano:

• D ⊆ R
• E ⊆ R

Una funzione:

• f: D → E

È cioè una legge che ad ogni numero x ∈ D associa uno e un solo numero y = f(x) ∈ E

Si dirà una funzione reale di variabile reale

Esempio:

• f: [−1,1[ → [0,1]

x → f(x) = √(1-x²) 1 - x² ≥ 0 ↔ x² ≤ 1 ↔ −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ 1 - x² ≤ 1 ↔ 0 ≤ √(1-x²) ≤ 1 ↔ f(x) ∈ [0,1]

Spesso come insieme di arrivo si sceglie E = R per dire "nel sacco"

Rappresentazione grafica di una funzione:

Dato f: D → E

Si chiama grafico di f l'insieme:

Γ(f) = {(x, y) ∈ R² | x ∈ D ∧ y = f(x)}

Γ(f) = {(x, f(x))| x ∈ D}

Immagine e controimmagine di un insieme:

Dato A ⊆ D si chiama immagine di A tramite f l'insieme:

F(A) = { y ∈ E | ∃x ∈ A : y = f(x) } = { f(x) | x ∈ A }

Immagine di A tramite f

Apllicazione

• Se A = D, F(B) si chiama Codominio di f. Graficamente si ottiene proiettando il grafico di f sull'asse verticale.

Si dice Controimmagine di un insieme B ⊂ E l'insieme:

F^-1(B) = { x ∈ D | F(x) ∈ B }

Come già visto f si dice Suriettiva se:

f(x) = E

∀y ∈ E ∃x ∈ D | f(x) = y

Da un punto di vista grafico, ogni retta orizzontale passante per E interseca il grafico

f si dice iniettiva se:

∀X₁, X₂ ∈ D X₁ ≠ X₂ ⇒ F(X₁) ≠ F(X₂)

Traslazioni del Grafo Y

Data la funzione \( y=f(x) \) è noto il suo grafico; si definiscono traslazioni le seguenti funzioni:

\( y=f(x+h) \)   \( y=f(x)+h \)

dove h è un parametro reale assegnato

Traslazione degli x di una quantità h

Verso destra se h > 0Verso sinistra se h < 0

\( y=f(x+h) \)

Traslazione degli y di una quantità h

Verso l'alto se h > 0Verso il basso se h < 0

Esempio

\( f(x) = x^2 - 2x \)   \( h=1 \)

\( f(x+1) = (x+1)^2 - 2x + 2 = x^2 - 1 \)

Monotonia

Funzione che in aumento/costante:

Data \( D \subseteq \mathbb{R} \) e \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) diciamo che f è:

• Strettamente crescente se: \( \forall x_1, x_2 \in D \)   \( x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \)
• Crescente se: \( \forall x_1, x_2 \in D \)   \( x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) \)

Quindi valgono le seguenti proprietà:

_I) ∀x∈D f(x) ≥ m

_II) ∀ε∈ℝ ∃x∈D: f(x) ≤ m+ε

Super additività rispetto alla somma

inf (f(x) + g(x)) ≥ inf_x∈Df(x) + inf_x∈Dg(x)

Se f non è inferiormente limitata allora

inf_x∈D f(x) = -∞

Punti di Estremo Relativo o Locale

Sia f: D → ℝ

x₀ ∈ D,

Diciamo che x₀ è massimo relativo o locale per f se:

∃r > 0: ∀x ∈ I_r(x₀)∩D f(x₀) ≥ f(x)

Diciamo che x₀ è di minimo relativo per f se:

∃r > 0: ∀x ∈ I_r(x₀)∩D f(x₀) ≤ f(x)

Limiti

Sia f: D → ℝ

Sia x₀ ∈ A(D) ∪ E(D)

Diciamo che l è il limite per x che tende ad x₀ di f(x)

lim_x→x₀ f(x) = l ovvero f(x) → l se x → x₀

f(x)= {x/x + ∞ x/−1 x < ∞} lim x/|x| = 1 x > ∞ lim x/|x| = −1 x < 0 X₀ + ∞, l ∈ ℝ (asintoto orizzontale) Diamo che lim f(x) = l x→ + ∞ ∀ε∃ ∃k≥∞ ∈ ℝ : x≥k, x∈D |f(x)−l| ≤ ε ∀ε l è un asintoto orizzontale di f per x→ ∞

(a) e (b) valgono simultaneamente in U

In particolare:

f(x) < l + ε ⇔ l₂ - ε ≤ f(x)

f(x) = f(x) ASSURDO

Prop. 1.2 Teorema di Permanenza del Segno

Sia f: D → ℝ e lim f(x) = l ≠ ±∞

Allora, potendo queste condizioni:

in dettaglio:

∃ U ε ℜ(x₀) : ∀x ε U ∩ D , x ≠ x₀

Sia: f(x) |l ↔ s| e quindi |segni sono concordi|

Dim

Dall'ipotesi:

∀ ε ∃ U ε ℜ(x₀) : ∀x ε U ∩ D , x ≠ x₀ si ha

l - ε ≤ f(x) ≤ l + ε

In particolare scegliendo

ε = |l| / 2 ⟹ l₂ se l ≥ 0

  l₂ se l < 0

si avranno

se l > 0

l - l₂ / 2 ≤ f(x) ≤ l + l₂ / 2 ⇔ f(x) ≥ l / 2 → x₀

se l < 0

l - l₂ / 2 ≤ f(x) ≤ l + l₂ / 2 ⇔ f(x) ≤ l / 2 ← x₀

Prop 4.5 Limite della Funzione Reciproca

• Sia D ⊆ ℝ _≠0, g: D → ℝ, x₀ ∈ Ā(D)
• Sia g(x) ≠ 0 in prossimità di x₀.
• Sia:
  • lim g(x) = l ∈ ℝ _≠0

Allora

• lim_{x → x0} 1/g(x) =
  • { 1/l se l ∈ ℝ _≠0
  • ∞ se l = 0
  • se l = ∞ e g(x) → 0⁺

g(x) → 0⁺

significa g(x) → 0 e g(x) > 0 in prossimità di x₀.

g(x) → 0^-

significa g(x) → ∞ e g(x) < 0 in prossimità di x₀.

• Diciamo che una funzione g: D ⊆ ℝ verifica una data proprietà in prossimità di un punto x₀ ∈ Ā(D) se:

∃U∈Ẋ(x₀) | la funzione si verifica su U∩D \ {x₀}

Nel seguito daremo per scontato che le funzioni fondamentali sono continue nel loro campo di esistenza se crece.

∀x∈D ∃ lim f(x) = f(x₀) _x→x0

Asintoti Verticali di una Funzione Razionale

Es:

• f(x) = (x³ - 2x²) / (x²(x-1)) = 0 ⟺ x=0 ∨ x=2

D = ℝ \ {0, 2}

vedi pag. seguente per grafico...

V

lim x→∞

\(\frac{\sqrt{x^5+4x}+x^2\sqrt{4x+1}}{x^2+2x\sqrt{x^5+4}\)

divido sopra e sotto per \(x^2\)

\(\sqrt[x]{x}\)

\(\lim_{x→+∞}\frac{\sqrt[^4]{x^5+x}+\frac{x}{\sqrt[^4]{x^5+1}}}{\frac{x}{\sqrt{x}+2}}\)

\(\frac{\sqrt[4]{(4+0)}+\sqrt[4]{(4+0)}}{0+2\sqrt[4]{0}} = 3/2\)

Limite di una funzione composta

\[\lim_{x→+∞}\sqrt{2+\frac{1}{x}}\] = \left[\lim_{x→+∞}\right] = \sqrt{2}

\(y=2+\frac{1}{x}\)

\(2+\frac{1}{x}\) e data della composizione di due funzioni:

\(x→\frac{3}{2} \rightarrow{h}\rightarrow\sqrt[2]{\frac{1}{x}\)

l = h o g \(\h\) composta \(g\)

\[o(g)(x) = h(g(x))\)

Prop 4.6 Limite di una funzione composta

ovvero: cambio di variabile nel limite

Sono \(D, E \subseteq R\)

g: D → E \(h: E → R\)

Sia \(F\) la funzione composta \(h o g\)