Analisi 1 Teoria "Funzioni e Limiti" [cap. IV]

Cap 1 Nozioni Generali e Funzioni e Limiti

• Siano:
  • D⊆R
  • Funzionƒ: φ

• Un'applicazione
  • ƒ: D → E

** cioè una legge che ad ogni numero x∈D associa uno e un solo numero y = ƒ(x)∈E **

Si dirà una funzione reale di variabile reale

È_s

ƒ: [-1,1] → [0,1]

x |→ ƒ(x) = √1-x²

1-x²≥0 ⇔ x²≤1 ⇔ -1≤x≤1

0 ≤ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1-x² ≤ 1 ⇔ 0 ≤ √1-x² ≤ 1 ⇔ ƒ(x)∈[0,1]

Spesso come insieme di arrivo si sceglie E = R

per stare "nel sicuro"

• Rappresentazione grafica di una funzione

• Dato ƒ: D → E

Si chiama grafico di ƒ l'insieme:

Γ(ƒ) = { (x,y)∈R² | x∈D ∧ y=ƒ(x) }

Γ(ƒ) = { (x, ƒ(x)) | x∈D }

• Immagine e Contrimmagine di un insieme

• Dato ƒ: D → E si chiama immagine di A tramite ƒ l'insieme:

Cap 1

Nozioni Generali & Funzioni e Limiti

• D: E

U:

• F: D → E

∞ ogni numero x ∈ D → y = f(x) ∈ E

Se dire funzione reale di variabile reale

Es.

f: [-1,1] → [0,1]

X → f(x) → √(1-x²) 1-x² ≥ 0 ↔ x² ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ 1-x² ≤ 1 → 0 ≤ √(1-x²) ≤ 1 → ∈ f(x) ∈ [0,1]

Spesso come E = ℝ

rappresentazione grafica di una funzione

Data f: D → E

Si chiama grafico di f:

Γ(f) = {(x,y) ∈ ℝ² |

f(t)

Γ(f) = {(x, f(x)) | x ∈ D }

Data A ⊂§ D, immagini di A l'insieme

f(A) = {y ∈ E | ∃x ∈ A: y = f(x)} = {f(x), x ∈ A}

Immagine di A tramite f

Approssimato

• Se A = D, f(D) si chiama codominio
• di f. Graficamente si ottiene proiettando il grafico di f sull'asse verticale

Si dice Controimmagine di un insieme B ⊂ E l'insieme:

f⁻¹(B) = {x ∈ D | f(x) ∈ B}

Come già visto

f si dice suriettivo se:

f(D) = E

∀y ∈ E ∃x ∈ D | f(x) = y

Da un punto di vista grafico, ogni retta orizzontale passante per E interseca il grafico

f si dice iniettivo se:

∀X₁, X₂ ∈ D X₁ ≠ X₂ ⇒ f(X₁) ≠ f(X₂)

equivalentemente:

∀y ∈ F(D) ∃! x ∈ E : F(x) = y

dal punto di vista grafico ogni retta orizzontale interseca il grafico in non più di un punto

F si dice biettiva o biunivoca se è sia suriettiva che iniettiva

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, ovvero c’è un corrispettivo biunivoco tra gli insiemi di partenza e di arrivo.

F : D → E

F^-1 : E → D

y ↔ F^-1(y)

Es:

F : ℝ → ℝ

x → F(x) = x² + 1

• F non è suriettiva estendo l’insieme d’arrivo ℝ
• F non è biunivoca, perché non è iniettiva banalmente

Considerando come insieme d’arrivo [1,+∞] allora la funzione sarebbe stata suriettiva *

Questo lo abbiamo dedotto attraverso un metodo grafico, vediamolo ora METODO NUMERICO

Pararmolo: dato y ∈ [1,+∞] cerco x ∈ ℝ tale che F(x) = y

x² + 1 = y ↔ x = ± √(y-1)

→ scarta valore che esclude la iniettività quindi la biunivocità

38

Se ora restringiamo f alla semiretta [0,+∞[ otteniamo anche l’iniettività.

Posto Lo che la funzione:

A: [0,+∞[ → [1,+∞[

x |→ f(x) = x²+1

è biettiva cioè: ∀y ∈ [1,+∞[. ∃! x ∈ [0,+∞[ | y = f(x)

Dunque è stabilisce una corrispondenza biunivoca. La de-infine l’espressione

dell’inversa:

f^-1: [1,+∞[ → [0,+∞[

y |→ f^-1(y) = √y-1

_{Il suo grafico è}

f(x) ∈ Γ(f) ⇔ x = f^-1(y)

y = f(x) ⇔ x(y) ∈ Γ(f)

Pertanto il grafico si ottiene scambiando le coordinate delle funzione f

_{Si fa la simmetria rispetto alla bisettrice}

in questo caso

_{Riflessione rispetto agli assi (coordinate)}

Data una funzione f

y = f(x) di cui è noto il grafico

Devo trovare

y = -f(x) e y = f(-x)

y = - f(x)

riflessione rispetto all'asse y

il grafico si ottiene specchiando la funzione rispetto all'asse verticale

y = f(-x)

riflessione rispetto all'asse x

si specchia il grafico della funzione rispetto all'asse x

Modulo di una funzione

|f(x)| =   { f(x)   s