Analisi Matematica

Turbanio se condotto

R⁺ ⊆ R | 0 ≤ x,

ed opero la restrizione f|₀, ottengo una funzione iniettiva.

Infatti se x₁ ∈ R⁺ e x₂ ≠ x₂(x), cioè per esempio 0 ≤ x₁ < x₂,

allora necessariamente x₁² ≠ x₂² perché, se per assurdo x₁² = x₂² allora

0 = x₂² - x₁² = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁),

e perciò si avrebbe x₂ - x₂ = 0 oppure x₂ + x₁ = 0.

Siccome x₂ è positivo ed x₁ è non negativo x₂ ≠ x₁ ≠ 0,

ed allora deve essere x₂ - x₁ = 0 e cioè x₁ = x₂ contro (*).

f(x) = x²

f| R→R

f(x) = x²

f|₀: R⁺ → R⁺

• In molti casi, la restrizione di una funzione ad opportuni sottoinsiemi del dominio permette di ottenere una funzione iniettiva che conserva l’insieme delle immagini.
• Questa proprietà diventa sempre vera (cioè che per ogni funzione esiste una restrizione iniettiva che conserva l’insieme delle immagini) se si

Definizioni

Siano A, B, C, D insiemi (non necessariamente numerici), A, B, C, D non vuoti.

Siano f: A → B e g: C → D tali che

f(A) ⊆ C.

Allora si dice "funzione composta di f e g" e si denota con g∘f la funzione così definita

g∘f: A → D t.c. ∀x∈A: g∘f(x) = g(f(x))

Esempio

f: A = {2, 3} → B = {-1, 0, 2, 3, 4, 6} t.c. ∀x∈A: f(x) = 2x

g: C = {-2, 1, 4, 2, 3, 4, 6} → D = {-4, -3/2, -1, 0, 1, 2, 4, 8}

t.c. ∀y∈C: g(y) = y - 2

f(A) = {2, 4, 6} ⊂ C, quindi posso costruire

g∘f: A → D e ∀x∈A: g∘f(x) = g(f(x))

g(f(x)) = g(2x) = 2x - 2

Ma g(f(x₁)) = g(f(x₂)) → id_X(x₁) = x₁

mentre g(f(x₂)) = g(f(x₁)) → id_X(x₂) = x₂

e perciò da (3) si avrebbe x₁ = x₂ contro la nostra

ipotesi per assurdo.

Notazione

f: X → Y | biettiva - Allora la sua inversa

g: Y → X viene denotata con f^-1.

Osservazione

Veniamo di mettere in relazione il grafico di una

funzione f: X → Y con quello della sua inversa.

Sia dunque f: X → Y biettiva e f^-1: Y → X

la sua inversa.

Allora

(x, y) ∈ Γf ↔ x ∈ X, y ∈ Y e y = f(x)

↔ x ∈ X, y ∈ Y e f(y) = f^-1(f(x)) = f^-1(id_Y(x))

↔ x ∈ X, y ∈ Y e x = f^-1(y)

↔ (y, x) ∈ Γf^-1

Dunque P(x, y) ∈ Γf ↔ P(y, x) ∈ Γf^-1

- Definizione

Sia \(X \subseteq \mathbb{R}\), \(f: X \to \mathbb{R}\).

La funzione \(f\) si dice "limitata superiormente (inferiormente)" se l’insieme delle immagini \(f(X)\) è limitato superiormente (inferiormente). Se la funzione \(f\) è limitata sia superiormente che inferiormente essa si dice "limitata".

- Definizione

Sia \(X \subseteq \mathbb{R}\), \(f: X \to \mathbb{R}\).

Se \(f\) è limitata superiormente (inferiormente) allora l'estremo superiore (inferiore) di \(f(X)\) si dirà "estremo superiore della funzione \(f\) (estremo inferiore della funzione \(f\)" e si denoterà con \(\sup_{x \in X} f(x)\) (\(\inf_{x \in X} f(x)\)).

- Definizione

Sia \(X \subseteq \mathbb{R}\), \(f: X \to \mathbb{R}\).

Se \(f\) è limitata superiormente (inferiormente) ed \(f(X)\) ha massimo (minimo), allora il massimo (minimo) di \(f(X)\) si dirà "massimo (minimo) della funzione \(f\)".

Esso si denoterà con \(\max_{x \in X} f(x)\) (\(\min_{x \in X} f(x)\)).

- Definizione

\(X \subseteq \mathbb{R}\), \(f: X \to \mathbb{R}\) si dice "illimitata (superiormente, inferiormente)" se non è limitata (superiormente, inferiormente).

• Funzione potenza ad esponente razionale

Se a ∈ R⁺ : R⁺ q ∈ Q, q = ^m/_n con m ∈ Z, m ∈ N⁺

definiamo

a^q = ^m√aⁿ

dove in generale, con il simbolo ^m√b, b > 0,

si intende l’unico numero positivo c tale che c^m = b.

• La funzione f : R^* → R tale che ∀x ∈ R : f(x) = x^q

Si dice “funzione potenza ad esponente razionale”

• Es: f(x) = x^2/3 cioè f(x) = ³√x² f(x) = x^3/2 (cioè f(x) = ²√x³)
• Funzione potenza ad esponente reale

Se a ∈ R, a > 1, z ∈ R, z > 0, la definizione di a^z richiede delle premesse.

Si prova che ogni numero reale può essere “univocamente” bene quanto si vuole attraverso numeri razionali.

Questo si può fare attraverso il cosiddetto “sviluppo decimale” che ogni numero reale possiede.

z ∈ R ⇒ z = m₁, m₂, m₃, ..., m_n ...

dove m ∈ Z, m₁, m₂, ..., m_n, ... ∈ N,

e la scrittura m₁ m₂ m₃ ... m_n ... significa