Analisi Matematica II (Teoremi + Dimostrazioni) - 9 CFU

Teoremi di analisi matematica II per ingegneria, fisica, informatica (9 CFU)

Indice

• Continuità
  • Insiemi di livello
  • Weierstrass
  • Bolzano
• Calcolo differenziale
  • Differenziale e continuità
  • Derivata composta
  • Gradiente nucleare e costante
• Estremanti
  • Fermat
  • Classificazione punti critici
  • Moltiplicatori di Lagrange
• Equazioni differenziali
  • 1 Soluzione 2^a (P)
  • Lipschitzianità
  • 3 Soluzione 2^a (P)
  • 1 Soluzione (P)
  • Imax e aperto
  • Integrale generale (omogeneo)
  • Integrale generale complesso 1^o (P)
  • Formula risolutiva (P) 1^o ordine
  • 1 Soluzione 1^o (P)
  • Integrale generale omogeneo
  • Integrale generale complesso
  • Metodo risolutivo (equazioni 1.^o ordine)
• Integrali
  • Riduzione (IR)
  • Separati
  • Fili
  • Cambio & variabile
• Curve
  • Rettificazione delle curve C⁴
• Campi vettoriali
  • Integrali di W esatte
  • Caratterizzazione di W esatte
  • W chiuse in un rettangolo (R²)
  • W chiuse in un aperto stellato
  • Teorema di Green
• Superfici
  • Divergenza

Teoremi di continuità

Insiemi di livello delle funzioni continue

Sia f: R^M → R, c ∈ R.

HP f continua

TH1 gli insiemi {x ∈ R^M : f(x) > c} sono aperti

TH2 gli insiemi {x ∈ R^M : f(x) < c} sono aperti

TH3 gli insiemi {x ∈ R^M : f(x) = c} sono chiusi

Dimostrazione

DIM 1 → I_c = {x ∈ R^M : f(x) > c}

2 Casi

• I_c = ∅
• I_c ≠ ∅ ogni insieme vuoto è un insieme aperto CVD
• I_c ≠ ∅ → esistono x₀ : f(x) > c ↔ f(x) - c > 0

Teorema di permanenza del segno

∃r > 0 : f(x) - c > 0 ∀x ∈ B_r(x₀)

x₀ è punto interno ad I_c ↔ I_c è aperto (∀x₀ ∈ I_c) CVD

DIM 2 → I_c = {x ∈ R^M : f(x) < c}

R^M\{x ∈ R^M {f(x) > c}} aperto (già dimostrato)

→ è chiuso perché complementare di un aperto

DIM 3 → I_c = {x ∈ R^M : f(x) = c}

{x ∈ R^M f(x) > c} ∩ {x ∈ R^M f(x) < c}

→ è intersezione di chiusi

è un chiuso CVD

Teorema di Weierstrass

Sia \( f : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)

1. \( A \) è un insieme compatto (= chiuso, limitato)
2. \( f \) è continua in \( A \)

\( \Rightarrow \)

\( \exists x_{\text{max}}, x_{\text{min}} \in A : \forall x \in A \)

\( f(x_{\text{min}}) \leq f(x) \leq f(x_{\text{max}}) \)

Ottimalità HP (Weierstrass)

\( A = \{ (x, y) \mid x > 0 \} \) non compatto

\( f(x, y) = \frac{1}{x} \)

\( \Rightarrow f : \{(x, y) \mid x > 0\} \to \mathbb{R} \)

\( \Rightarrow f(A) = ]0, +\infty[ \) che non ha né max né min c.v.d.

Ottimalità HP (Valori intermedi)

\( A = \{ (x, y) \mid \lvert x \rvert > 1 \} \) non connesso

\( f(x, y) = \begin{cases} 1 & x > +1\\ -1 & x \)

\( \Rightarrow f(A) = \{-1, 1\} \Rightarrow \) non è un intervallo \( \Rightarrow \) c.v.d.

Valori intermedi (Bolzano)

Sia f: A ⊆ ℝ^m → ℝ.

HP₁ A è insieme connesso

→ TH ∀y ∈ f(A), ∃φ: [a,b] → ℝ

HP₂ A è insieme compatto

→ TH f(A) è un intervallo che ha MAX e MIN.

DIM 2 Casi

f(x) = c → f costante → f(A) = {c} → intervallo c.v.d.

f(x) = c preso 2 punti x₁, x₂ tali che φ([a,b]) ⊆ f(A) dato che f(A) è compatto.

A connessione → φ'([a,b]) → f(A)

φ(a) = x₁ φ(b) = x₂