Analisi Matematica II (Teoremi + Dimostrazioni) - 9 CFU

Teoremi di

ANALISI MATEMATICA II

per ingegneria - fisica - informatica

(9 CFU)

Indice

• Continuità
  1. Insiemi di Livello *
  2. Weierstrass
  3. Bolzano **
  4. Differenz. → Continuità *
  5. Derivata Composta
  6. Grad. Nullo → R costante *
  7. Formula Taylor (1^ Ord.) ***
  8. Schwarz
• Calcolo Differenziale
  1. Fermat **
  2. Classif. Pti Critici ***
  3. Moltip. Lagrange ***
• Estremanti
  1. 3^ Soluz. o (p) I Ord.
  2. Lipschitzianità
  3. 3^ Soluz. o (p)
  4. 2^ Soluz. (p) Var. Sep.
  5. Immagine è Aperto
  6. Int. Generale Unico * I Ord.
  7. Int. Generale Compl. In.
  8. Formula Risolutiva (p) Un. Ord.
  9. 2^ Soluz. o (p)
  10. Crit. del Wronskiano
  11. Int. Generale Unico
  12. Int. Generale Compl.
  13. Metodo Risolutivo (eq 1.ord.)
• Equazioni Differenziali
  1. Riduzione (IR²)
  2. Separati
• Integrali
  1. Rettilineazione Curve ^{C^4} *****
• Curve
  1. Integr. W Esatte *
  2. Caratter. W Esatte **
  3. W Chiuse in un Rett. (IR²) ***
• Campi Vettoriali
  1. W Chiuse in un Aperto Stellato (IR²) ***
  2. Teorema di Green
• Superfici
  1. Divergenza

Valori intermedi (Bolzano)

Sia f ∶ A ⊆ ℝ^m → ℝ.

• HP: A è insieme connesso
• HP: f continua su A

=⇒ TH: f(A) è un intervallo.

• HP: A è insieme compatto

=⇒ TH: f(A) è un intervallo che ha max e min.

Dim

2 casi

f(x) = c → f costante → f(A) = {c} → intervallo c.v.d.

• x del di immagine {f(A)}

φ^-1(a) = x₁ → x₁ è l’immagine di a

φ^-1(b) = x₂ → x₂

Considero la composizione φ = φ ∘ φ’

φ ∶ [a, b] → f(A)

φ(a) = f(φ’(a)) = f(x₁) = y₁

φ(b) = φ(b)

φ continua che l’immagine di φ è intervallo.

(Teorema Val. Intermedi ^ in ℝ)

7 FORMULA TAYLOR (2^o ordine)

Sia _R A ⊂ R^m → R

f ε C²(A), A aperto, x_o ε A

TH f(x) = f(x_o) + <∇f(x_o), x-x_o> + <Hf(x_o)(x-x_o), x-x_o>/2 + o(||x-x_o||²)

DIM x_o ε A A aperto

x_o punto interno di A

∃ B_r(x_o) ⊂ A ∀ prendo x ε B_r

➡ SEGMENTO x x_o ⊂ B_r ⊂ A

la CURVA trattaφ(t) = ht + x_o è una sua PARAMETRIZZAZIONE con h-VERSONE: h = ^x-x_o/_||x-xo|| del segmento

infatti

φ(0) = x_o

φ(||x-x_o||) = x-x_o/_||x-xo||*||x-x_o|| + x_o

||x-x_o||

⟂

Considero la COMPOSIZIONE:

g = f ° φ

(0, ||x-x_o||) ⊂ → g ε C² (composto di funzione. E C²)

FORMULATAYLOR

CASO 1 ⟄→ devo calcolare g^➣(0) e g"(0).

¡ g^➣(t) = ➿nabla; (f (φ(t))) φ'(t)

= ➿nabla; (f (φ(t)), h)

= ➿nabla; f(φ(t)) h

Clausola di convergenza sopra ⟂

g'(0) = <➿nabla; f(φ(0)), h>

= <➿nabla; f(x₀), h>

g"(0) = ➿nabla; f(φ(0)), h, h)

= <Hf(φ(0))h, h>= (sum)^m_i=1 sign(n=1) (frac) (partial)²t (from)(partial)(x)

INSIEME COMPATTO (chiuso e limitato)

TEOREMA DI WEIERSTRASS

∀ x m = min φμ(x̅) > 0

9 μφ(x̅₀) = min φμ(x̅₀)| ^k/_‖u̅‖| >

(Weierstrass)

x̅ ∈ compact

FERMA DI TAYLOR

limite → 0 < 1/2 (k/‖u̅‖ ) + ... < -m

(termina)

(SCHEITTA)

... = 0

φ(x) ≥ φ(x̅₀) O ...

(C.V.D)

x₀ è minio locale

EQ DIFF a VARIABILI SEPARABILI

(P) ^′ = a(x) · b(y)

y(x₀) = y₀

Sol. = I → R

a, b continue

TH₁ b(y₀) = 0

TH₂ b(y₀) ≠ 0

DIM₁

f′⁻¹[ a(x) · b(y)]

(P) → Y = y₀

DIM₂

y^′(s) = a(s) · b(y(s))

∀ s ∈ I₁

b(y₀) = b(y(x₀)) ≠ 0

d_x ≠ 0

y′(s) = a(s) · b(y(s))

• ∫ (y(x))^y(x₀) d^t/b(t)
• = ∫ (x)^x₀ a(s) d^s

(y(x)) = ∫ a(s) d^s

FORMULA RISOLUTIVA

(P)

siano a, f ∈ C(I) ISR intervallo x₀ ∈ I

(TM) Y(x) = e^{-∫_x₀xa(t)dt} · [y₀ + ∫_x₀^xf(t) · e^{∫_x₀sa(s)ds}dt]

∃, ∉ UNICA SOLUZIONE a (P)

e = y₀ - o devo dimostrarlo

DIM.

• So che (P) ha 1 SOLUZIONE (Teor. ∃ e unicità della soluzione)

• INTEGRALE GENERALE (completa) : Y(x) = e^{-∫_x₀xa(t)dt} ( c + ∫_x₀^xf(t) · e^{∫_x₀sa(s)ds}dt )

• CONDI. INIZIALE: Y(x₀)=y₀

calcolo L’INTEGRALE GENERALE per x = x₀

Y(x₀) = e^{-∫_x₀x₀a(t)dt} ( c + ∫_x₀^x₀f(t) · e^{∫_x₀sa(s)ds}dt )

⇔ y₀ = c c.v.d.

Metodo Risolutivo

per trovare le soluz. di (*):

Siano a₁, a₀ ∈ ℝ (Coeff. Costanti)

TH Voglio trovare 2 soluzioni di (*)

y₁, y_{2 linearm.} indip. ⇒ posso scrivere l'integr. general. (*)

Procedimento:

cerco soluzioni nella forma:

y = e^λx con λ ∈ ℂ (numeri complessi)

_{Sostituisco in (*)}

y^'' + a₁y^' + a₀y = 0

λ² + a₁λ + a₀ = 0

Eq. Caratteristica (in incognita λ)

Equaz. Caratteristica

(2 casi)

• Δ ≠ 0 ⇒ ∃ λ₁ ≠ λ₂ (2 soluz. distinte)
• Δ = 0 ⇒ ∃ λ₁ = λ₂ (2 soluz. coincidenti)

I Caso: Δ ≠ 0

Considero 2 soluzioni

y₁(x) = e^λ₁x

y₂(x) = e^λ₂x

_{verifico se sono linearm. indip.:}

W(x) = det(y₁ y₂)

(y^'₁ y^'₂)

= det(e^λ₁x e^λ₂x)

(λ₁e^λ₁x λ₂e^λ₂x)

W(x) = (perché λ₂ ≠ λ₁)

= e^{(λ₁+λ₂)x}(λ₂ - λ₁) ≠ 0