Analisi II

Analisi Matematica II (parte orale)

CdL in "Ingegneria Energetica" a.a. 2016 - 2017, Bologna

ELEMENTI DI TOPOLOGIA DI Rⁿ

• Definizione di punto interno, punto esterno, punto di frontiera, di accumulazione;
• Definizione di: insieme aperto, chiuso, limitato in Rⁿ;
• Funzioni continue, e teoremi relativi all’esistenza di massimi assoluti.
• Insieme connesso per archi in Rⁿ e teoremi relativi a funzioni continue su connessi per archi.

CALCOLO DIFFERENZIALE

• Definizione di derivata parziale e gradiente, differenziale.
• Differenziale della composizione e teorema del valor medio.
• Derivate seconde, matrice Hessiana e Teoremi relativi.
• Formula di Taylor.
• Estremanti relativi e teoremi relativi.

INTEGRAZIONE

• Definizione di insieme misurabile. Definizione di insieme semplice.
• Definizione di integrale doppio.
• Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, diseguaglianza triangolare.
• Definizione di integrale triplo.
• Teorema di riduzione.
• Teorema della media integrale.
• Teoremi di cambiamento di variabile nell'integrale doppio e triplo.

CURVE E SUPERFICI

• Lunghezza di una curva. Integrale di una funzione lungo una curva.
• Integrazione per parti e teorema di Gauss Green. Definizione di superficie.
• Teoremi della divergenza.

Analisi Matematica II (parte orale)

CdL in "Ingegneria Energetica"a.a. 2016 - 2017, Bologna

ELEMENTI DI TOPOLOGIA DI Rⁿ

• Definizione di punto interno, punto esterno, punto di frontiera, di accumulazione.
• Definizione di: insieme aperto, chiuso, limitato in Rⁿ. Funzioni continue, e teoremi relativi all'esistenza di massimi assoluti.
• Insieme connesso per archi in Rⁿ e teoremi relativi a funzioni continue su connessi per archi.

CALCOLO DIFFERENZIALE

• Definizione di derivata parziale e gradiente, differenziale.
• Differenziale della composizione e teorema del valor medio.
• Derivate seconde, matrice Hessiana e Teoremi relativi.
• Formula di Taylor. Estremanti relativi e teoremi relativi.

INTEGRAZIONE

• Definizione di insieme misurabile. Definizione di insieme semplice.
• Definizione di integrale doppio.
• Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, diseguaglianza triangolare.
• Definizione di integrale triplo. Teorema di riduzione. Teorema della media integrale.
• Teoremi di cambiamento di variabile nell'integrale doppio e triplo.

CURVE E SUPERFICI

• Lunghezza di una curva. Integrale di una funzione lungo una curva.
• Integrazione per parti e teorema di Gauss Green. Definizione di superficie. Teoremi della divergenza.

Topologia

Def intorno (sferico)

Sia un punto x₀ ∈ ℝⁿ, r ∈ ℝ, r > 0, si dice intorno sferico di centro x₀ e raggio r l'insieme:

V_r(x₀) = {x ∈ ℝⁿ | d(x - x₀) < r}

Def pt. di accumulazione

Sia A ⊂ ℝⁿ, x₀ ∈ ℝⁿ, r ∈ ℝ, x₀ punto di accumulazione per A se e solo se:

∀r > 0, (V_r(x₀) ∩ A) \ {x₀} ≠ ∅

cioè se ogni intorno di x₀ contiene almeno un punto di A diverso da x₀. Toto.

l'insieme dei punti di accumulazione di A. N definisce derivato di A = D(A)

Def limite (funzione vettoriale, Rel nel quo.)

Sia A ⊂ ℝ^m, f: A → ℝ^k, x₀ ∈ D(A) e ℝ^k (arsa L di e₁, ..., e_n); Allora

x → x₀

∃ lim_{x → x0} f(x) = l ↔ ∀ε > 0 ∃δ>0 : ρ(e, (U_δ(x₀) ∩ A) \ {x₀}) ≺ |x₀| |f(x) - l| ≤ ε

N.B.: l di e₁, ..., e_n lim_{n → x0} f(x) ↔ lim_{n → x0} (m, k)

Def divergenza (funzione Reale)

Sia A ⊂ ℝ^m, f: A → ℝ x₀ ∈ D(A) Divemo Cl

x → x₀

∃ lim_{x > x0} f(x) = +∞ (-∞) ↔ ∀K > 0 ∃x_k : ρ(x, (U_xk, x₀) ∧ A) \ {x₀})↔f(x) - l > K

Def di continuità

Sia \(A \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f: A \rightarrow \mathbb{R}^m\), \(\bar{x} \in A \cap D(A)\). Diciamo che \(f\) è continua in \(\bar{x}\) se \[\bar{x}_n \rightarrow \bar{x} \implies f(\bar{x}_n) - f(\bar{x}) \rightarrow 0 \quad\left(\lim_{\bar{x}_n \rightarrow \bar{x}} f(\bar{x}_n) = f(\bar{x})\right)\]

Diciamo che \(f\) è continua in \(A \Leftrightarrow x\) è continua in ogni punto di \(A\). \(x \in A \cap D(A)\) \(f\) è continua per definizione.

Teorema permanenza del segno funzione reale

Sia \(A \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f: A \rightarrow \mathbb{R}\), \(f \in C(A,\mathbb{R})\), \(\bar{x} \in D(A)\) ed è \(\lim_{\bar{x}_n \rightarrow \bar{x}/\bar{x}_n \in A} f(x)\), Allora:

1. Se \(f(x) > 0\)