Analisi II

Analisi Matematica II (parte orale)

CdL in “Ingegneria Energetica” a.a. 2016 - 2017, Bologna

ELEMENTI DI TOPOLOGIA DI Rⁿ

• Definizione di punto interno, punto esterno, punto di frontiera, di accumulazione.
• Definizione di: insieme aperto, chiuso, limitato in Rⁿ.
• Funzioni continue, e teoremi relativi all’esistenza di massimi assoluti.
• Insieme connesso per archi in Rⁿ e teoremi relativi a funzioni continue su connessi per archi.

CALCOLO DIFFERENZIALE

• Definizione di derivata parziale e gradiente, differenziabile.
• Differenziale della composizione e teorema del valor medio.
• Derivate seconde, matrice Hessiana e Teoremi relativi.
• Formula di Taylor. Estremanti relativi e teoremi relativi.

INTEGRAZIONE

• Definizione di insieme misurabile. Definizione di insieme semplice.
• Definizione di integrale doppio. Proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, diseguaglianza triangolare.
• Definizione di integrale triplo. Teorema di riduzione. Teorema della media integrale.
• Teoremi di cambiamento di variabile nell’integrale doppio e triplo.

CURVE E SUPERFICI

• Lunghezza di una curva. Integrale di una funzione lungo una curva.
• Integrazione per parti e teorema di Gauss Green. Definizione di superficie.
• Teoremi della divergenza.

Def intorno

L'intorno di _z̅ ∈ R^m è un qualunque insieme E tale da _z̅ ∈ E

Teo

Sia f ... ... R^m continua in _z̅^m, allora {_r̅ ∈ ... ... | f^-1(_r̅) ≥ 0}, {_r̅ ∈ ... ... | f^-1(_r̅) ≥ 0} sono aperti

{_z̅ ∈ R^m | ... ... (x₂) ≥ 0}, {_z̅ ∈ R^m | f_k(x₀) ≥ 0}, {_z̅ ∈ R^m | ... ... (x₃) ≥ 0} sono chiusi

Def chiusura

È detta chiusura di E ⊂ R^m E: Ē = E ∪ Ē di un chiuso

H.B.: Ē ⊂ Ē ⊆ E̅

Teo di Weierstrass

Sia E ⊂ R^m chiuso e limitato ed f: E → R continua in E, allora f ha minimo e massimo. Doma esistono almeno due punti: ... ... e ... tale che f(... ... ) ≤ f(x̄) ≤ f(... ... ) ∀ x̄ ∈ E

Def connesso

Sia E ⊂ R^m. Si dice che E è connesso per archi se ∀ _x̅, _y̅ ∈ E esiste F: [0,1] → E continua e tale che F(0) = _x̅ ed F(1) = _y̅

Teo di Lagrange

Sia E ⊆ R^m connesso per archi ed f: E → R continua; se _x̅, _y̅ ∈ E tale che f(x̅) > 0 ed f(y̅) < 0, allora lungo ogni γ che unisce x̅ e y̅ esiste almeno uno zero di f; ∃x̅ = _γ(t) tale che f(_x̅) = 0

(b) - f(a)

b=a

Da Lagrange:

f(c₁ + k₁ h₁, c₂ + k₂ h₂) - f(c₁, c₂)

∂f / ∂y (c₁ + th₁, c₂ + k₂h₂) h₂

con

k₂ (h₂) ∈ (0, 1)

Anologo in t:

f(c₁ + th₁, c₂) - f(c₁, c₂)

∂f / ∂x (c₁ + k₁(h₁)

Segue perciò che corrisponda a:

∂f/∂x (c₁ + k₂ , c₂) h₁ + ∂f/∂y (c₁ + c₂, c₂ + k₁(h₂)) h₂

- ∂f/∂x f(x, y) - f(c₁, c₂)h₂

Orκ della continuità delle derivate parziali in c₁, c₂ in [h>0, δ] (δ>0, τ)

|f(x, y) - f(c₁, c₂)| ≤ ε

=|f(x, y) - f(c₁, c₂)| ≤ ε   se ||(x, y) - (c₁, c₂)|| ⟨ ε;

con x=c₁+th₁, y=c₂+th₂ per costanti come δ e ε equivalenti

Quindi |f/∂y (c₁+th₁, c₂+k₂(h₂)) - f_y(c₁, c₂)| |h₂| ≥ 1/ε |f/_y (c₁, c₂) h₂|

√2*(ε*h*₂)

Ad ogni rare uso

|f(x, c₁ + th₁ , c₂) - |f(x, c₁, c₂)|| > 0

Def. Matrice Jacobiana

Sia f : A ⊆ ℝ^m → ℝ^m A c.m.^m aperto, c ∈ A. Se f è differenziabile in c è detta matrice Jacobiana di f in c, la matrice associata (in modo canonico)

Jac f(c) = ( ∂f₁(c) ∂f₁(c) ) ( ————— ————— ) ( ∂x₁ ∂x_m )

( ∂f_m(c) ∂f_m(c) ) ( ————— ————— )

( ∂x₁ ∂x_m )

f : ℝ^m → ℝ^m matrice m x m

Teo Differenziale della Composizione

Siano A ⊆ ℝ^m aperto B ⊆ ℝ^m aperto f : A → B g : B → ℝ^p c̅ ∈ A Se f è differenziabile in c̅ e g è differenziabile in f(c̅) allora g ∘ f : A → ℝ^p differenziabile in c̅ e d_c̅(g ∘ f)(c̅) = d_f(c̅)g d_c̅f

e Jac(g ∘ f)(c̅) = (Jac g)(f(c̅))•(Jac f)(c̅)

matrice pxm mxm matrice pxm

Teo Nelle ipotesi del teorema precedente, le derivate parziali della composta:

∂(g ∘ f)_i(c̅) —————— = ∑ ∂g_k(f(c̅)) ^∙ ∂f_k(c̅) ∂x_j j=1 ∂y_j ∂x_i

Teo di Schwarz

Sia f: A→ℝ^m A⊆ℝⁿ aperto z∈A.

Supponiamo che per una coppia di indici i,j ∈ {1,...,n} esistano le derivate f_xi, f_xj in un intervallo di z e continue in z,

Allora i~j f_xixj (c) = f_xjxi (c) => H'_xixj (c) è simmetrica.

Def. classe C²

Diciamo che f: A→ℝ, A⊆ℝⁿ aperto, f ∈ C² (A|ℝ) ⬄ per ogni coppia di indici i,j ∈ {1,...,m} allora le derivate parziali seconde rispetto a x_i e x_j in ogni punto di A, e sono continue.

∂ ∂ : A→ℝ ∀ i,j,i₁,i₂ ∈ {1,...,m³} (esssup m((m+1)/2)

• È chiaro come procedere per le derivate parziali successive (3°,n°,..) e si dice che f ∈ C^k+1 (A,ℝ), A⊆ℝⁿ aperto ⬄ f ∈ C^k (A,ℝ). Tutte le sue derivate k- esime sono derivabilità parzialmente rispetto a x₁, x₂, ..., x_n e sono continue in A.

Formula di Taylor

Sia f ∈ C³ (A,ℝ) A aperto su ℝⁿ z ∈ A. Sia h ∈ ℝⁿ tale che {z_i +th } _{⊆ A}

e considerano la funzione g(t) = f(z_i+th ), con t ∈ [0,1]

Si calcoli:

1. g'(t) = ∇f(z_i+th) h = ∑_i=1ⁿ f_xi(z_i+th) h_i
2. g''(t) = ∑_i=1ⁿ ∂/∂t[ f_xi(z_i+th) ]; h_i = ∑_i=1ⁿ ∇ [ f_xi(z_i+th).hi];hi =

=∑_i,j≤1ⁿ f_xixj(z_i+th) h_i.h_j