Teoremi (+ dimostrazioni) Analisi I

Indice

1. Insiemi Numerici (9) ... pag 3
2. Successioni (2) ... pag 7
3. Topologia ... pag 9
4. Complessi (1) ... pag 10
5. Limiti (13) ... pag 12
6. Serie Numeriche (7) ... pag 34
7. Funzioni Continue (8) ... pag 41
8. Calcolo Differenziale (11) ... pag 46
9. Taylor (6) ... pag 54
10. Integrale e Riemann (7) ... pag 59
11. Integrale Improprio (3) ... pag 68

Tot 71 pagine

ARGOMENTO 1 - NUMERI e INSIEMI

√2 NON È RAZIONALE

• DIM. x ASSURDO: suppongo √2 ∈ ℚ
• ∃ p, q ∈ ℕ primi fra loro: √2 = p/q
• (p² = 2q²)
• p² è PARI ⇒ p è PARI ⇒ ∃ m ∈ ℕ p = 2m
• SOSTITUISCO (p² = 4m²)
• 4m² = 2q² ⇒ (q² = 2m²)
• q² è PARI ⇒ q è PARI ⇒ q e p NON primi fra loro
• ASSURDO!

Argomento 4 - Complessi

Formula di De Moivre

^{zm = |z|m (cos (mθ) + i sin (mθ))}

DIM. X IND.

1. Dimostro la vale per m = 2z̅ = (cos θ + i sin θ)
2. HP di induzione
3. Dimostro z^m+1 = z^mz̅

Ragionamento:

...[z] = |z|^m (cos (mθ) + i sin (mθ))

Formula di Eulero

e^ix = cos x + i sin x

(A) e^iy + e^-iy == cos y + i sin y + cos y - i sin y= 2 cos y

cos y = (e^iy + e^-iy) / 2

(B) e^iy - e^-iy == cos y + i sin y - (cos y - i sin y)= 2 i sin y

sin y = (e^iy - e^-iy) / 2i

Limite di funzioni composte

Siano D, E ⊆ R, x₀ ∈ acc(D) ∩ R̅   y₀ ∈ acc(E) ∩ R̅

f(x) = h(g(x))

g: D → E

h: E → R

• HP: ∃ lim_y→y0 g(y) = ℓ ∈ E
• TH: ∃ lim_x→x0 h(g(x)) = ℓ

• HP: funzione h-continua in ℓ: lim_y→x0 f(x) può essere coincidere con il lim_y→x h(g(x))

lim≤ nelle diseguaglianze!

Siano f, g: D ⊆ R → R   e   x₀ ∈ acc(D) ∩ R̅

• HP: ∃ lim_x→x0 f(x) = ℓ₁ ∈ R
• HP: ∃ lim_x→x0 g(x) = ℓ₂ ∈ R

• TH: ℓ₁ ≤ ℓ₂

1. Vale per f(x) ≤ g(x)   (f(x) ≤ g(x),   f(x) ≥ g(x),   f(x) g(x))
2. Anche se f(x) ≤ g(x)   →   ℓ₁ ≤ ℓ₂

Teorema del confronto ("2 carabinieri")

Siano f, h: D ⊆ R → R

∀x ∈ D con (I) ∈ R

∀ x ≠ x₀ ε (D ∩ V(x₀)),

→

∀ε>0

∃ δ ≤ f(x) ∈ V(x₀),   x ∈ D \ { x₀ }

f(x) ≥ l - ε

∀ε>0  _δ_∀ε>0

Esisto ℓ ∈ D,   considerato   x ∈ (V(ℓ) ∪ V(ℓ) ∪ V(ℓ)) \ { x₀ }

f(x) ≥ g(x)   (→ HP

g(x) ≥ ℓ - ε   * DEF. LIM.

→ l-ε < g(x) < g(x) < ℓ-ε

v.d.

Esempio: lim_x→0 (sin(x)/x)

lim_x→0 (tan(x)/x) = 1

3

lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x = e

introduco la funzione [x]

mi riconduco a sottosucc. dei numeri

lim^inf=0

lim^sup conferm.

Dim.

Funzione [x]

[x] ≤ x ≤ [x] + 1

∀ x ∈ ℝ

• ⇒ (1 + 1/[x + 1])^[x+1] ≤ (1 + 1/x)^x ≤ (1 + 1/[x])^[x]

perché (1 + 1/x) elevato ad esponente x

1. (1 + 1/[x])^x ≤ (1 + 1/x)^x ≤ (1 + 1/[x])^[x+1]
2. (1 + 1/[x])^[x] ≤ (1 + 1/x)^x ≤ (1 + 1/[x])^[x+1]

⇒ (1 + 1/[x + 1])^[x] ≤ (1 + 1/x)^x ≤ (1 + 1/[x])^[x]

⇒ (1 + 1/[x])^(x+1) ≤ ( (1 + 1/x)^x ≤ (1 + 1/[x+1])^(x+1)

⇒ ( (1 + 1/[x])^(x+1) ≤ ( (1 + 1/x)^x ≤ ( (1 + 1/[x])^x

Teor. con

4

lim_x→0 (e^x-1)/x = 1

Dim.

Cambio variabile

t = e^x-1

∀ x ∈ ℝ

x → 0

t → 0

= lim_t→0 t/ln(1+t)

= 1

5

lim_x→0 (1 + f(x))^α - 1/x = 1

Dim.

Fisso come f(x) = (1 + x)^α -1

1 + f(x) = (1 + x)^α

ln(1 + f(x)) = ln(1 + x)^α

= 1 · α · 1 = α

CONVERGENZA ASSOLUTA IMPLICA SEMPLICE

HP ∑ a_m CONVERGE ⇒ TH ∑|a_m| CONVERGE

DIM

a_m = a_m + |a_m| - |a_m|

Introduco b_m ↔ c_m

• IDEA: DIMOSTRO che 2 serie CONVERGONO ⇒ ∑a_m CONVERGE

• ∑c_m ≌ ∑|a_m| CONVERGE (x HP)
• ∑b_m ≌ a_m + |a_m| b_m ≥ 0 - posso otter.
• 0 ≤ |b_m| = a_m + |a_m| ≤ 2|a_m| CONVERGENZA x HP

• ⇒ x CRIT. del CONFRONTO: ∑b_m CONVERGE
• ⇒ ∑b_m CONVERGE (perchè differenza fra 2 serie è Eb e Ei CONVERGENTI)

C.V.D.

ARGOMENTO 7 - FUNZIONI CONTINUE

33) PERMANENZA del SEGNO per f(x) CONTINUE

∀ punto dell’interv. U hanno lo stesso segno di f(x₀)

Sia: f: D⊆R → R e x₀∈D

• f CONTINUA in x₀
• f(x₀) > 0 v f(x₀) < 0

∀x∈U(D ∩ {$x_{0}$}): f(x) > 0 v f(x) < 0

34) ALGEBRA delle f(x) CONTINUE

Siano f, g: D⊆R → R CONTINUE in x₀∈D

• f + g
• f • g
• -f
• f/g

sono CONTINUE

β(x₀) ≠ 0

• Somma CONTINUE
• FUNZ.RAZIONALI fratte p(x), q(x)
• POLINOMI
• ESPONENZIALI e^x, sinx, cosx
• FUNZIONI COMPOSTE (di funzioni continue)

ROLLE

Sia f: [a,b] → R

• f CONTINUA in [a,b]
• f DERIVABILE su (a,b)
• f(a) = f(b)

TH: ∃ c ∈ (a,b): f'(c) = 0

DIM:

1. f CONTINUA in [a,b]
2. 2 CASI

1. x_min ∨ x_max ∈ (a,b)
2. x_min = ax_max = b

f'(x_min) ∨ f'(x_max) = 0 (TEOR. FERMAT)

LAGRANGE

f(b) - f(a) / b-a

Sia f: [a,b] → R

• f CONTINUA in [a,b]
• f DERIVABILE in (a,b)

TH: ∃ c ∈ (a,b): f'(c) = f(b) - f(a) / b-a

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

COEFF. ANG. = f(c)

COEFF. ANG. = f(b) - f(a) / b-a

DIM:

introduco g(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a) / b-a](x-a)

• g CONTINUA in [a,b]
• g DERIVABILE su (a,b)
• g(a) = f(a) - f(a)

∃ c ∈ (a,b): g'(c) = 0

f'(c) = [f(b) - f(a) / b-a]