Teoremi (+ dimostrazioni) Analisi I

Indice

1. Insiemi numerici (9) pag 3
2. Successioni (2) pag 7
3. Topologia pag 9
4. Complessi (1) pag 10
5. Limiti (13) pag 12
6. Serie numeriche (7) pag 34
7. Funzioni continue (8) pag 41
8. Calcolo differenziale (11) pag 46
9. Taylor (6) pag 54
10. Integrale di Riemann (7) pag 59
11. Integrale improprio (3) pag 68

Totale: 71 pagine

Indice (ripetizione)

1. Insiemi numerici (1) ...... pag 3
2. Successioni (2) ...... pag 7
3. Topologia ...... pag 8
4. Complessi (1) ...... pag 10
5. Limiti (13) ...... pag 12
6. Serie numeriche (7) ...... pag 34
7. Funzioni continue (8) ...... pag 41
8. Calcolo differenziale (11) ...... pag 46
9. Taylor (6) ...... pag 54
10. Integrale di Riemann (7) ...... pag 59
11. Integrale improprio (3) ...... pag 68

Argomento 1 - Numeri e insiemi

√2 non è razionale

Dimostrazione per assurdo: suppongo √2 ∈ ℚ. Esistono p, q ∈ ℕ, primi fra loro, tali che √2 = p/q (p² = 2q²).
Poiché p² è pari, p è pari, quindi esiste m ∈ ℕ tale che p = 2m.
Sostituendo, si ottiene (p² = 4m²), quindi 4m² = 2q² ⇒ q² = 2m².
Dunque, q² è pari, e q è pari ⇒ p e q non sono primi fra loro (entrambi pari), il che è un assurdo!

Disequazione di Bernoulli

∀x>0 ∀m ∈ ℕ∪ {0}, (1+x)^m ≥ 1 + mx

Dimostrazione per induzione:

1. Verifico che vale per m=0: (1+x)⁰ = 1 ≥ 1 + 0x = 1
2. Ipotesi di induzione: (1+x)^m ≥ 1 + mx (ipotesi vera)
3. Tesi: (1+x)^m+1 ≥ 1 + (m+1)x
4. Dimostrazione: (1+x)^m+1 = (1+x)^m(1+x) ≥ (1 + mx)(1+x) = 1 + mx + x + mx² > 1 + mx + x

Quindi, (1+x)^m+1 ≥ 1 + mx + x + mx² ⇒ (1+x)^m+1 > 1 + (m+1)x ⇒ 1 + (m+1)x ≥ 1 + mx + x.
Ho dimostrato che è vera poiché l'ipotesi per m è vera (HP), quindi l'HP era corretta.

Unicità del sup

A ≠ ∅ ⊂ ℝ, se L = supA ∈ ℝ, allora L è unico.

Dimostrazione per assurdo:

1. IP: esistono L₁ = supA ∈ ℝ e L₂ = supA ∈ ℝ → L₁ ≠ L₂

Definizione: ∀ ε ∈ ℝ

1. L₁ = supA ∀ ε > 0 esiste a₁ ∈ A L₁ - ε 1
2. L₂ = supA ∀ ε > 0 esiste a₂ ∈ A L₂ - ε 2

(1) L₂ ≤ a₁ ↔ L₂ - ε 1
(3) L₂ ≤ a₁ ↔ L₂ - ε 2
(2) L₁ ≤ a₂ ↔ L₁ - ε 2
(4) L₁ ≤ a₂ ↔ L₁ - ε 1

L₂ - ε 1
L₂ - ε 2
L₁ - ε 2
L₁ - ε 2
L₂ - ε 1

Proprietà di transizione: quindi deve essere vero ∀ ε > 0, assurdo.

Insiemi limitati

Sia ⊆⊂ℝ

1. È limitato superiormente ⇒ esiste sup ∈ ℝ
2. È limitato inferiormente ⇒ esiste inf ∈ ℝ

Dimostrazione: Se è limitato sup ⇒ ammette maggioranti in ℝ ⇒ esiste in ℝ.
Per costruzione ≥ per ogni elemento ∈ ⊆ℝ∉∀∈: ≥ ∀∈⊂ ⊆ ∈.

Argomento 2 - Successioni

Successione di Nepero: &8345; = (1+¹)

Monotona crescente

∀∈ℕ

Dimostrazione: &8345; ≥ &8345;₋₁ ⇒ &8345; &8345; ≥ &8345;₋₁ C.V.D.

Limitata inferiormente

a_n ≤ a₁ ∀a_n∈ℕ

Limitata superiormente