Analisi matematica II - teoremi e dimostrazioni

TEOREMA

Tutte e sole le soluzioni di y' = a(x)y + b(x) sono:

ψ(x) = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx    dove A(x) è una primitiva di a(x).

Dimostrazione:

1. Dimostriamo che: ψ(x) = e^A(x)/∫ e^-A(x) b(x) dx è soluzione.

ψ'(x) = e^A(x) a(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx + e^A(x) b(x) =

       = e^A(x) a(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx + b(x) =

       = a(x) e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx + b(x) = a(x) ψ(x) + b(x)

2. Sia ψ(x) soluzione di y' = a(x)y + b(x)

y(x) = e^A(x)(ψ(x) + b(x))

e^-A(x) y'(x) = e^-A(x) (a(x)y(x) + b(x))

e^-A(x) y'(x) = e^-A(x) a(x) y(x)   y(x) = e^-A(x) b cx

d/dx (e^-A(x)) = e^-A(x) b(cx)

d/dx (∫ e^-A(x) y(cx)) dx = ∫ e^-A b(cx) dx

γ = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(cx) dx

TEOREMA DI CAUCHY (Per le equazioni differenziali di 1°. ordine)

Siano a(x), b(x) due funzioni continue nell'intervallo [a,b],

∀ x₀ ∈ [a,b] e ∀ y₀ ∈ R

∃ ! ψ: [a,b] → R, derivabile in [a,b] soluzione del seguente

problema di Cauchy:

• y' = a(x)y + b(cx)
• y(x₀) = y₀   condizione iniziale

Precisamente si ha:

ψ(x) = e∫[x^x₀a(t) dt] (y₀ + ∫[x^∞] e^{-∫[sx₀ a(s)] ds b(cx) dt)}

TEOREMA DI WEIERSTRASS

Sia f: A ⊆ R² → R con A chiuso e limitato, una funzione continua

ammette almeno il massimo assoluto e il minimo assoluto.

Ovvero: ∀ (x₁,y₁), (x₁,y₂) ∈ A tali che:

f(x₁,y₁) ≤ f(x₁,y₂) ≤ f(x₂,y₁)

∀ (x,y) ∈ A

TEOREMA DEGLI ZERI

Sia f: A ⊆ R² → R continua con l' interno sferico

Se ∃ (x₁,y₁), (x₁,y₂) ∈ tali che: f(x₁,y₁) < 0 < f(x₁,y₂) = 0

Ovvero: f(x₁,y₁)f(x₂,y₂<0   All'ora ∃ (x₃,y₃) ∈ I, f(x₃,y₃ = 0

Teorema

Tutte e sole le soluzioni di y' = a(x)y + b(x) sono:

ψ(x) = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx

dove A(x) è una primitiva di a(x).

Dimostrazione:

1. Dimostriamo che: ψ(x) = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx è soluzione.

ψ'(x) = e^A(x) a(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx + e^A(x) b(x) =

= e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx + b(x) =

= a(x) e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx + b(x) = a(x) ψ(x) + b(x)

2. Sia ψ(x) soluzione di y' = a(x)y + b(x)

ψ'(x) = a(x)ψ(x) + b(x)

e^-A(x) ψ'(x) = e^-A(x) (a(x)ψ(x) + b(x))

e^-A(x) ψ'(x) − e^-A(x) a(x) ψ(x) = e^-A(x) b(x)

/ (e^-A(x)) = e^-A(x) b(x)

∫ d/ (e^-A(x) ψ(x)) dx = ∫ e^-A(x) b(x) dx

γ = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx

Teorema di Cauchy

Siano a(x), b(x) due funzioni continue nell'intervallo [a,b]. ∀ x₀ ∈ [a,b] e ∀ y₀ ∈ ℝ. ∃! y: [a,b] → ℝ, derivabile in [a,b] soluzione del seguente

Problema di Cauchy: { y' = a(x)y + b(x)} y(x₀) = y₀ condizione iniziale

Precisamente: si ha: ψ(x) = e^{∫_x₀xa(t) dt}(y₀ + ∫_{x0x e^{∫xs a(s) ds} b(ξ) dξ)}

Teorema di Weierstrass

Sia f: A ⊆ ℝ² → ℝ con A chiuso e limitato, una funzione continua

assume almeno il massimo assoluto e il minimo assoluto. Ovecio:

∃ (x₁,y₁), (x₁,y₂) ∈ A tali che:

f(x₁,y₁) ≤ f(x,y) ≤ f(x₁,y₂) ∀ (x,y) ∈ A

Teorema degli Zeri

Sia f: ℝ ² → ℝ continua, con I intervallo sferico

Se f(x₁,y₁), f(x₁