Analisi matematica II - teoremi e dimostrazioni

TEOREMA

Tutte e sole le soluzioni di y' = a(x)y + b(x) sono:

y(x) = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x) dx

dove A(x) è una primitiva di a(x).

Dimostrazione:

1. Dimostriamo che y(x) = e^A(x) ∫ e^-A(t) b(t) dt è soluzione.

   y'(x) = e^A(x) ∫ e^-A(t) b(t) dt _x + e^A(x) b(x) =

   = e^A(x) [ ∫ e^-A(t) b(t)_dt + b(x)] =

   = e^A(x) ∫ e^-A(t) b(t)_dt + b(x) = a(x) y(x) + b(x)

2. Sia y(x) soluzione di y' = a(x)y + b(x)

   y'(x) - a(x)y(x) = b(x)

   y(x) e^A(x) = e^A(x) y(x) (y(x) + b(x))

   ,

   e^-A(x) y'(x) - e^A(x)[y(x) y(x)] = e^-A(x) b(x)

   d - (e^-A(x)) = e^-A(x) b(x)

   d/dx (e^A(x) y(x)) dx = ∫e^A(x) b(x) dx

   y = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(t) dx

TEOREMA DI CAUCHY (Per le equazioni differenziali di 1^o ordine)

Siamo a(x), b(x) due funzioni continue nell' intervallo [a,b]

∀ x₀ ∊ [a,b] ∃ y₀ ∊ R

∃! y ∶ [a,b] → R derivabile in [a,b] soluzione del seguente problema di Cauchy.

1. y' = a(x)y + b(x)
2. y(x₀) = y₀ Condizione iniziale

Propriamente, si ha:

y(x) = e ^x₀a(t)_dt(y₀ + ∫_{x0^xe^{-a(s) ds} b(t) dt}

TEOREMA DI WEIERSTRASS

Sia f ∶ A ⊂ R² → R con A chiuso e limitato e una funzione continua, f strema il massimo assoluto e il minimo assoluto.

Ovvero, ∃ (x₁,y₁),(x₂,y₂) ∊ A t.c f(x₁,y₁) ≤ f(x,y) ≤ f(x₂,y₂) ∀ (x,y) ∊ A

TEOREMA DEGLI ZERI

Sia f ∶ [a, b] → R continua con I_i internamente ospedale

Se z₁(x₁I₁,y₁) t.c f(x_i,yi) < 0 e f(x_i,y₃) >

Ovvero f(x_i,yi) b(xi

Teorema di Schwarz (o di inversione dell'ordine di derivazione)

Sia f: A ⊆ ℝ² → ℝ, A aperto, (x₀, y₀) ∈ A, f derivabile 2 volte in A.

Se f_xy e f_yx sono continue in (x₀, y₀) allora:

f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀)

Teorema

Sia f: A ⊆ ℝ² → ℝ, A ⊆ ℝ² aperto, (x₀, y₀) ∈ A.

Se f è differenziabile in (x₀, y₀) allora f è continue in (x₀, y₀).

Dimostrazione

Dobbiamo provare che: lim (x,y)→(x₀, y₀) f(x,y) = f(x₀, y₀) ovvero che:

lim (x,y)→(x₀, y₀) (f(x,y) - f(x₀, y₀)) = 0

Poniamo

• h = x - x₀
• k = y - y₀

lim (x,y)→(x₀, y₀) (f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀)) / (√(h² + k²)) =

lim (x,y)→(x₀, y₀) (f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀ + h, y₀) + f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)) / (√(h² + k²)) =

lim (x,y)→(x₀, y₀) (f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀ + h, y₀) + f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)) / (√(h² + k²)) =

= 0

Teorema del differenziale totale

Sia f: A ⊆ ℝ² → ℝ, A ⊆ ℝ² aperto, (x₀, y₀) ∈ A.

Se f derivabile in (x₀, y₀) e fx, fy continue in (x₀, y₀),

Allora f è differenziabile in (x₀, y₀).

Teorema (formula del gradiente)

Sia f: A ⊆ ℝ² → ℝ, A ⊆ ℝ² aperto, (x₀, y₀) ∈ A e sia Ṽ = (V₁, V₂) un vettore.

Se f è differenziabile in (x₀, y₀) allora f è derivabile in (x₀, y₀) lungo Ṽ e:

f_V (x₀, y₀) = ∇f(x₀, y₀) V₁ + ∇f(x₀, y₀) V₂ = ∇f(x₀, y₀) · V

Dimostrazione

lim _t→0 (f(x₀ + tV₁, y₀ + tV₂) - f(x₀, y₀)) / t = posto

V₁t = h₁

V₂t = k₁

lim _t→0(f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀,y₀)) / t

= lim _t→0(f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀ + h, y₀) + f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)) / t

= lim _t→0(f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀ + h, y₀) + f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)) /√(V₁²t² + V₂²t²))

= poiché √(V₁² + V₂²) = 1

= lim _{(h,k)→(0,0)}(f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀ + h, y₀) + f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)) /√(√(V₁²t² + V₂²t²)

= d_x f(x₀, y₀) V₁ + d_y f(x₀, y₀) V₂ = ∇f(x₀, y₀) · Ṽ

Se ω è esatta e ƒ è una funzione differenziabile tale che df=ω chiamiamo ƒ primitiva di ω.

ƒ è la primitiva di ω allora ƒ c ∈ ℝ, ƒ t c ƒ primitiva di ω, infatti se ƒ t c primitiva allora ƒ d differenziabile e df = ω. In tal caso anche ƒ t c differenziabile d ƒ t c df dc = df dc = df = ω. ƒ t c è primitiva di ω. ℮ c = a(x,y) dx + b(x,y) du e una forma differenziale lineare ed se risulta a_y(x,y)dx + b_x(x,y) du, diremo che ω e chiusa.

Teorema

Sia ω una forma differenziale esatta e continua nell' aperto A ⊂ ℝ². Sia γ:[a,b]- A una curva regolare a tratti e chiusa.

∫γ ω = ∫_a^{b aspetto} esendo ƒ una primitiva di ω in A

Dimostrazione:

∫γ ω = ∫a b (L(x(t),y(t))x ' (t) + M(x(t),y(t))y ' (t)) dt =

= ∫γ_a f_x(x(t), y(t)) x^'(t)+f_y(x(t), y(t)) y^' dt =

=∫-dc _a^b f ( x(t), y (t)) dt = βc(x(t), y(t))^b_a

= ƒ(x (b)), y(b)) - ƒ(x (a), y(a)) = ƒ (γ(b))- ƒ (γ(a))

Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte

Sia ω aperto connesso di ℝ², ω differenziali e continuo in A se γ ₁, γ ₂ curve regolari a traino con sodi in A

Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. ω è esatta
2. dω = 0 se γ è chiusa
3. ∫_γ₁ ω = ∫_γ₂ ω se γ₁, γ₂, hanno gli stessi punti iniziale e finale

Forme differenziali definite in un rettangolo

Un rettangolo di ℝ² = un sottonisim di Rⁿ del tipo [a,b] X [c,d] >_(x,y) Sia ω una forma differenziale di classe C¹ su un rettangolo. Se ω è chiusa allora ω è esatta.

Forme differenziali definite in uno stellato

A ⊂ ℝⁿ diremo che A e' uno insieme if attorno al punto P₀ (X₀ , ω₀₎ se P(x,y) e A segmento PP ➞C

Sia ω una forma differenziale di classe C¹ su un serrano, se