Syllabus Analisi Matematica 2

FONDAMENTI DI ANALISI 2

1. Definizioni n

R

1. Definizione di curva e di arco di curva in . Definizione di sostegno di una curva.Definizione di

∶ →R

curva semplice e di curva chiusa. a a, b ⊆ ,inteso

n R.

Si dice curva una funzione (mappa) continua , con I intervallo aperto di

questo come intervallo.

Si dice arco di curva la restrizione di R)

Si dice sostegno di una curva l’immagine di (la quale è un sottoinsieme di

∶ a, b → |

( , )

n

R

Sia un arcodi curva, si dice semplice se (è una restrizione) è iniettiva (cioè

( ) = ( ).

se la curva è senza lacci).

Un arco di curva si dice chiuso se 1 n

R

2. Definizione di vettore derivato. Definizione di curva derivabile e di curva di classe C in .

( )= ( ), ( )

Si dice vettore derivato il vettore delle derivate delle componenti di cioè

… ,

∶ I → ( ( )

+ ℎ) −

n

R

Sia una curva, si dice derivabile in t se esiste finito il limite

( ) = lim 0 ℎ

→

∈ ′( )

1 1

si dice di classe C ( e si scrive C (I)) se è derivabile in I e se è continua su I.

( )

⊆ ∶ I → ∈ ≠ 0 ∀ ∈

n 1 n

R R

3. Definizione di curva regolare in . Esempio di una curva di classe C in , ma non regolare.

n n 1

R R

Sia un intervallo apero, si dice regolare se C e, in più, .

( ) ( ) (0)

∶ ∈

3 2 2 1

2

R→R

Sia con = (t , t ) e = (3t , 2t). C ma = (0, 0).

,

∈R ∈R

(Se disegniamo il sostegno della curva osserviamo che in (0, 0) c’è una cuspide;

2 3 2 2 2/3

S = { (x, y) : x(t) = t , y(t) = t per qualunque t∈R} = { (x, y) : y= x } )

4. Definizione di curva piana in forma parametrica, in forma cartesiana e in coordinate polari.

Si dice che una funzione è data in forma parametrica se esistono funzioni x , …, x tale che

1 n

* =* ( )

* = * ( ) -

=) ./0 ∈

+ +

⋮

* =* ( ) ( )

∀ ∈

cioè se ogni componente si esprime in funzione di un parametro e quindi se è il punto di

coordinate (x (t), x (t),…,x (t)).

1 2 n ( ) )3

= , 2( ./0 ∈

∈ 1

Forma cartesiana: ( ) ( )3 (0,

1 = 2 ≠ 0) ∀

11,

R.

(I), con I intervallo aperto in Allora la mappa , definisce una

Sia f C

curva semplice e regolare. Infatti . Inoltre il sostegno della curva

∈R ∀ ∈R

Γ(2). 2 2

coincide con il grafico dif. S = { (x, y) : x = t, y = f(t) t∈R} = {(x, y) : y = f(x), x∈ I} = graf(f) =

Infine una curva in forma cartesiana non è mai chiusa ed è sempre semplice S(r) = graf(f).

∈

Forma polare:

La singola equazione ρ= f(θ), θ [θ , θ ], significa (o, meglio, va letta come)

1 2

*(θ) = 2(θ) cosθ * = @ cos B

- -

(θ) = ./0 θ ∈ θ , θ > ? @ A B →7

7 ; = @ sin B

;(θ) = 2(θ)senθ +

(θ) (θ)cosθ

* = 2 − 2(θ)senθ -

(θ) = C (θ) (θ)senθ

; = 2 − 2(θ) cosθ

′ ( )

∈ F

./0 DE?0>? 0, 2H

′

(θ)JI K(2 (θ)) (cos (sin K(2 (θ))

= θ + sin θ) + (2(θ)) θ + cos θ) = + (2(θ))

IJ +

+ + + + + + +

′ ′

∶ a, b →

5. Definizione di lunghezza di un arco di curva.Definizione di curva rettificabile.

n

R

Si dice lunghezza dell’arco di curva il numero

) ( ) ( )J

L( ≔ sup −

PQJ U

R RS

RT

al variare di tutte le possibili suddivisioni di [a, b] in un numero finito di sottointervalli.

)

L( < +∞,

Se l(r) è finita, cioè si dice rettificabile.

6. Definizione di ascissa curvilinea. \

Si tratta di una parametrizzazione privilegiata. L’ascissa curvilinea s = s(t) è definita come

) ( )JI dt

X( = Y IJ

\ ] = (X)è

Il vantaggio dell’ascissa curvilinea consiste nel fatto che se, la curva parametrizzata

(X)JI = 1

IJ

attraverso s, allora (X)

cioè il vettore derivato di coincide con il versore tangente.

X′( ) = ( )JI

IJ

Da notare che per il Teorema fondamentale del calcolo integrale

∶ a, b → ^: ., > → a, b

7. Definizione di curve equivalenti e di curve orientate nello stesso verso o in verso opposto.

n

R

Sia un arco di curva regolare e sia derivabile e bigettiva (quindi

invertibile e strettamente monotona). Allora

(E)

̃ = (^(E) ./0 E ∈ ., >

(E): c, d →

̃ n

R

(E) ( ),

̃ ∈ ,

rappresenta una curva con lo stesso sostegno di ma percorsa con una velocità

differente ′(E) )

̃ = (^(E))^′(E) ≠ ′(

e in generale: ( )

^′ > 0,

Se la nuova curva è percorsa nello stesso verso di e le due parametrizzazioni si dicono

( )

^′ > 0,

equivalenti.

Se la nuova curva è percorsa in verso opposto rispetto a e si dice che c’è un cambio di

orientazione.

∶ a, b → ⊆R

8. Definizione di integrali di linea di prima specie. →R, ⊆

2: b ⊆R

n n

R

Sia un arco di curva semplice e regolare e sia E il uso sostegno. Sia poi f una

n con E A),

funzione di n variabili reali, definita almeno si E ( si può assumere

continua. Si definisce integrale curvilineo di f lungo l’integrale

( ))

= Y 2( ( )JI >

Y 2 IJ

c ⊂IR

2:R →R. n

9. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale per f : A → IR.

) )

e2 2(* + ℎ, ; − 2(* , ;

2

Sia Si definiscono derivate parziali

(* )

, ; = lim ℎ

e* → )

e2 2(* , ; + ℎ) − 2(* , ;

(* )

, ; = lim

e; ℎ

→

→R, ∈

2: b ⊆R n A aperto, x A.

Sia 0 21* + h3 − 21* 3

Si dice derivata direzionale di f rispetto al versore v nel puntox il limite

0

f 21* = lim

3

g \→ 21* 3

g

f 21* = ∇2(* ) ∙ h

3

. Allora per ogni versore vf

Inoltre se f è differenziabile in x esiste e vale

0 g ∈ ⊂IR

2: b ⊆R →R, ∈ n

10. Definizione di funzione differenziabile in un punto x A per f : A → IR.

0

n

Sia A aperto, x A.

0 21* + ℎ3 − 21* − ℎ ∙ ∇2(* )

3

f si dice differenziabile in x se

0 lim =0

||ℎ||

→ 21*3 − 21* − ∇2(* ) ∙ (* − * )

3

oppure lim =0

||* − * ||

k→k

]

→Rf

Osservazioni:

n

R differenziabile in un punto => f derivabile in quel punto.

Per f:

11. Definizione della matrice Hessiana per funzioni reali di n variabili.

∈

2

Data una funzione f∈ C (A) e x A, viene definita matrice hessiana di f in x la matrice n x n

0 0

⋯ 2 (* )

2 (* ) 2 (* ) k k

k k k k p s

p p p q (* )

⋯ 2

2 (* ) 2 (* )

o u

(* ) =

l k k

k k k k

⋯ ⋯ ⋯

⋯ q s

m q p q q

2 (* ) 2 (* ) 2 (* )t

⋯

n k k k k k k

s p s q s s

Per il Teorema di Schwarz essa è simmetrica.

∈

12. Definizione di punti di estremo relativo e assoluto per una funzione in più variabili.

≤ ∀x∈B

x A si dice punto di minino (massimo) locale (o relativo) per f: A ->Rse

0

f(x ) f(x) (≥ f(x)) ( x ) per qualche R> 0.

0 R 0

∈ ∇f

13. Definizione di punto critico.

1 n

R

Sef∈ C (A), A aperto di ,x A e (x ) = 0 allora x si dice punto stazionario o punto critico per

0 0 0

f.

14. Definizione di forma quadratica. Classificazione delle forme quadratiche.

→R n

R

Se H è una matrice simmetrica n x n, diciamo forma quadratica, associata ad H, su la funzione

x1h3 =< lh, h >,

n

Q:R data da

h h n

v∈R

z{ z {

z,{T

=∑ , se H=(a )

ij i,j = 1.. n. x1h3

∀v∈R > 0

Una forma quadratica Q è detta: n x1h3 < 0

∀v∈R , v ≠0,

definita positiva se

• n

, v ≠0,

definita negativa se ∀v∈R x1h3 ≥ 0 ∃v ∈R h =0

• n n

semidefinita positiva se , v ≠0, e t.c.x

• ∀v∈R x1h3 ≤ 0 ∃v ∈R h =0

0

n n

semidefinitanegativa se , v ≠0, e t.c.x

• ∃v ∈R h > 0x h < 0 0

+

n

indefinita se , v t.c.x

• 1 2 ∀ ∈

15. Definizione di funzione definita implicitamente.

Se y = f(x) è una funzione def. su un intervallo I, t.c. F(x, f(x)) = c x I, si dice che y= f(x) è definita

= ∀ ∈

implicitamente da F(x, y) = c.

Se x = g(y) è una funzione def. su un intervallo J, t.c. F(g(y), y) c y J, si dice che x = g(y) è

definita implicitamente da F(x, y) = c.

16. Definizione di superficie semplice. }: f →R

2 3

R R

Sia D un aperto connesso in . Viene chiamata superficie in una funzione continua

} 3

.

Se è iniettiva, si dice che la superficie è semplice.

}: f ⊆R →R }

17. Definizione di sostegno di una superficie. (E,

Σ ∶= }(f) = {}(E, h): h) ∈ f}

2 3

Data una superfice l’insieme immagine di

,

viene detto il sostegno della superficie.

}: f ⊆R →R

18. Definizione di superficie definita in forma parametrica.

(E, h)

* = }

2 3

Data una superfice , le equazioni -

; = } (E, h) (E, h) ∈ f

• +

‚ = } (E, h)

ƒ }.

si dicono equazioni parametriche della superficie, mentre u e v sono i parametri di

}: f ⊆R →R →Rè

19. Definizione di superficie in forma cartesiana. 1

2 3

Data una superfice , se f: D una funzione di classe C in D, allora l’applicazione

E

3

R

da D in h

}(E, h) ∶= „ …

2(E, h)

è una superficie semplice, il cui sostegno coincide con il grafico di f. Una superficie di questo tipo, o

del tipo E

‡(E, h)

}(E, h) ∶= † ˆ

h

o ℎ(E, h)

(E, h) ∶= „ …

E

h

1

(D), viene detta cartesiana.

con g e h funzioni in C

}: f ⊆R →R } ∈

20. Definizione di superficie regolare. e}

e} 1

2 3

Una superficie si dice regolare se C (D) e se i due vettori

(E, (E,

h) A h)

eE eh (E, h) ∈ f.

sono linearmente indipendenti ( in particolare, entrambi sono non nulli) in ogni punto

b ⊆R →R, Γ Γ ⊆ b. Γ

21. Definizione di vincolo e di punto di estremo vincolato.

2

Sia f: f continua, A aperto. Sia il sostegno di una curva semplice, regolare,

∈ Γ Γ

viene detto vincolo.

∃ ⊆

Un punto (x , y ) si dice punto di massimo (rispettivamente minimo) relativo di f vincolato a

0 0 ≤ ∀ ∈ ∩ Γ

se U intorno di (x , y ), U A, t.c.

0 0 ≥

f (x, y) f (x , y ) (x, y) U

0 0

(risp. f (x, y) f (x , y ) ).

0 0

22. Integrali doppi: definizione di somme di Cauchy-Riemann.

2(*, ;)>* >;

Š

‹

Per definire l’integrale definito , ove R = [a, b] × [c, d] e f è limitata, definita in tutti i

punti di R:

- si divide l’intervallo [a, b] in n sottointervalli di ampiezza (b − a)/n;

- si dividel’intervallo [c, d] in n sottointervalli di ampiezza (d − c)/n;

2

- si ottiene così una partizione di R in n rettangoliniR ,

hk >−.

−

h, k = 1, . . . , n, ognuno di area )

b(Œ ×

= 0 0

R

- si sceglie un punto a caso t = (x , y ) nel rattangolinoR

hk hk hk hk

- si introducono le somme )2(

X = Q b(Π)

R R

,RT

che vengono dette somme di Cauchy-Riemann

Si calcola ora il limite )2(

lim Q b(Π)

R R

→ Ž• ,RT

23. Definizione di integrabilità secondo Cauchy-Riemann per funzioni limitate definite su un

2: Œ →Rlimitata

rettangolo.

Si dice che la funzione è integrabile secondo Cauchy-Riemann sul rettangolo R se

esiste finito il limite )2(

lim Q b(Π)

R R

→ Ž• ,RT

ed esso non dipende dalla scelta dei punti t . In tal caso, si scrive

hk )2(

• 2(*, ;)>* >; = lim Q b(Œ )

R R

→ Ž•

‹ ,RT

24. Definizione di integrale di Cauchy-Riemann e di integrabilità secondo Cauchy-Riemann per

⊆ Ω →Rlimitata. Ω

funzioni limitate definite su domini non rettangolari.

2’ 2’

Ω,

2

R

SiaΩ un sottoinsieme limitato e sia f: Si dice che f è integrabile su se la

2’: Œ →Rt.c.

funzione ausiliaria è integrabile su R, rettangolo contenente definendo come

2(*) XA * ∈ Ω -

2’ = 7

0 XA * ∈ Œ\ Ω

25. Definizione di domini semplici e regolari. 2

R

Un dominio si dice semplice se esso è un sottoinsieme di che è x-semplice o y-semplice

Un dominio si dice regolare se esso è l’unione di un numero finito di insiemi semplici.

⊂R

b = {(*, ;) ∈ ℜ : * ∈ , , •(*) ≤ ; ≤ –(*)}

2 +

Si ricorda che un sottoinsieme A si dice y - semplice se è della forma

•, – ∶ , →R ⊂R

ove sono funzioni continue.

: ; ∈ ., > , ˜(*) ≤ * ≤ e(*)}

— = {(*, ;) ∈ ℜ

2 +

Mentreun sottoinsiemeB si dice x - semplice se è della forma

˜, e ∶ ., > →R

ove sono funzioni continue.

Ω ⊆ ≡1 Ω

26. Definizione di insieme misurabile nel piano, nozione di area.

Ω. Ω Ω

2

R

Un insieme limitato si dice misurabile secondo Peano-Jordan se la funzione f (x) su è

integrabile in Se è misurabile, chiamiamo misura o area di il numero

|Ω| ∶= Y 1 >*>;.

›

Ogni dominio regolare è misurabile.

Ω ⊆

27. Definizione di insieme di misura nulla.

Ω,

2

R

Si dice che un insieme limitato misurabile ha misura nulla (o trascurabile) se, dato un

2

qualsiasi rettangolo R che contenga R si può suddividere in n rettangoli R , tali che

hk

) = 0

L?œ Q b(Œ ∗ R

→• ,RT

Œ Ω.

∗ R

ove denota i rettangoli, fra gli R , che hanno intersezione non vuota con

hk

28. Integrali tripli: definizione di somme di Cauchy-Riemann.

2(*, ;, ‚)>* >; >‚,

Š

ž

Per definire l’integrale definito ove P = [a , b ] x [a , b ] x [a , b ] e f è

1 1 2 2 3 3

limitata, definita in tutti i punti di P,

- si divide l’intervallo [a , b ] in n sottointervalli di ampiezza (b – a )/n;

1 1 1 1

- si divide l’intervallo [a , b ] in n sottointervalli di ampiezza (b – a )/n;

2 2 2 2

, b ] in n sottointervalli di ampiezza (b – a )/n;

- si divide l’intervallo [a

3 3 3 3

− − −

3

- si ha così una partizione di P in n parallelepipedi P , h, k, j = 1, …, n, ognuno di volume

Ÿ1 = × ×

3 hkj

+ + ƒ ƒ

0 0 0

R{

- si sceglie un punto a caso t = (x , y , z ) nel parallelepipedo P

hkj hkj hkj hkj hkj

- si introducono le somme = Q Ÿ1 )

X 32(

R{ R{

,R,{T

che vengono dette somme di Cauchy-Riemann

Si calcola ora il limite lim Q Ÿ1 )

32(

R{ R{

→ Ž• ,R,{T

29. Definizione di integrabilità secondo Cauchy-Riemann per funzioni limitate definite su un

2: →Rlimitata

parallelepipedo.

Si dice che la funzione è integrabile secondo Cauchy-Riemann sul parallelepipedo

P se esiste finito il limite lim Q Ÿ1 )

32(

R{ R{

→ Ž• ,RT

ed esso non dipende dalla scelta dei punti t . In tal caso, si scrive

hk

¡ 2(*, ;, ‚)>* >; >‚ = lim Q Ÿ1 )

32(

R{ R{

→ Ž•

ž ,RT

30. Definizione di integrale di Cauchy-Riemann e di integrabilità secondo Cauchy-Riemann per

⊂ Ω →Rlimitata. Ω

funzioni limitate definite su domini limitati, diversi dal parallelepipedo.

2’ 2’

Ω,

3

R

SiaΩ un sottoinsieme limitato e sia f: Si dice che f è integrabile su se la

2’: →Rt.c.

funzione ausiliaria è integrabile su P, parallelepipedo contenente definendo come

2(*, ;, ‚) XA (*, ;, ‚) ∈ Ω

-

2’ = 7 0 XA (*, ;, ‚) ∈ Œ\ Ω

Ω ⊆ ≡1

3

31. Definizione di insieme misurabile in IR , nozione di volume.

Ω Ω. Ω Ω

3

R

Un insieme limitato si dice misurabile secondo Peano-Jordan se la funzione f (x, y, z) su

è integrabile in Se è misurabile, chiamiamo misura o area di il numero

|Ω| ∶= ¡ 1 >*>;>‚.

› ≥ 0

32. Definizione di solido di rotazione.

S è solido di rotazione se è ottenuto dalla rotazione di α = 2π di E⊆ 0 x z, x attorno all’asse z.

33. Definizione di campo vettoriale. ⊆ →R

Si dice campo vettoriale una funzione (a valori vettoriali)

n n

R

F:Ω

Se m = 1, F si dice campo scalare.

34. Definizione di integrale curvilineo di seconda specie. Significato fisico dell’integrale curvilineo di

→R

seconda specie.

⊆ →R ⊆ Ω.

n

Sia r: [a, b] un arco di curva semplice e regolare, con sostegno E.

n n

R

Sia F:Ω un campo vettoriale continuo, t.c. E

lungo r l’integrale

Si definisce integrale curvilineo di seconda specie di F

( ) ( )&g