Syllabus Analisi Matematica 2

Definizioni e concetti matematici

Un insieme limitato si dice misurabile secondo Peano-Jordan se la funzione f(x) su è integrabile in S. Se è misurabile, chiamiamo misura o area di Ω il numero |Ω| = ∫1 Ω dx. Ogni dominio regolare è misurabile. Ω ⊆ ℝ^2.

Definizione di insieme di misura nulla: Si dice che un insieme limitato misurabile ha misura nulla (o trascurabile) se, dato un qualsiasi rettangolo R che contenga Ω, si può suddividere in n rettangoli R_i, tali che m(R_i ∩ Ω) = 0 per ogni i.

Integrali tripli: Definizione di somme di Cauchy-Riemann. Per definire l'integrale definito dove P = [a, b] x [a, b] x [a, b] e f è limitata, definita in tutti i punti di P, si divide l'intervallo [a, b] in n sottointervalli di ampiezza (b - a)/n; 1 ≤ i ≤ n.

1. Si divide l'intervallo [a, b] in n sottointervalli di ampiezza (b - a)/n;
2. Si ha così una partizione di P in n parallelepipedi P_h,k,j = [x_h-1, x_h] x [y_k-1, y_k] x [z_j-1, z_j], h, k, j = 1, ..., n, ognuno di volume ΔV_h,k,j = Δx_h Δy_k Δz_j;
3. Si sceglie un punto a caso t = (x_h, y_k, z_j) nel parallelepipedo P_h,k,j;
4. Si introducono le somme S_n = Σ f(t) ΔV_h,k,j, che vengono dette somme di Cauchy-Riemann;
5. Si calcola ora il limite lim S_n quando n tende all'infinito, e se esiste finito tale limite, si dice che la funzione è integrabile secondo Cauchy-Riemann sul parallelepipedo P;
6. Tale limite non dipende dalla scelta dei punti t.

scrivehk¡ 2(*, ;, ‚)>* >; >‚ = lim Q Ÿ1 )32(R{ R{→ Ž•ž ,RT30. Definizione di integrale di Cauchy-Riemann e di integrabilità secondo Cauchy-Riemann per⊂ Ω →Rlimitata. Ωfunzioni limitate definite su domini limitati, diversi dal parallelepipedo.2’ 2’Ω,3RSiaΩ un sottoinsieme limitato e sia f: Si dice che f è integrabile su se la2’: →Rt.c.funzione ausiliaria è integrabile su P, parallelepipedo contenente definendo come2(*, ;, ‚) XA (*, ;, ‚) ∈ Ω-2’ = 7 0 XA (*, ;, ‚) ∈ Œ\ ΩΩ ⊆ ≡1331. Definizione di insieme misurabile in IR , nozione di volume.Ω Ω. Ω Ω3RUn insieme limitato si dice misurabile secondo Peano-Jordan se la funzione f (x, y, z) suè integrabile in Se è misurabile, chiamiamo misura o area di il numero|Ω| ∶= ¡ 1 >*>;>‚.›

≥ 032. Definizione di solido di rotazione. S è solido di rotazione se è ottenuto dalla rotazione di α = 2π di E⁰₀ x z, x attorno all'asse z.

33. Definizione di campo vettoriale. ⁰ → R Si dice campo vettoriale una funzione (a valori vettoriali) n n RF: Ω Se m = 1, F si dice campo scalare.

34. Definizione di integrale curvilineo di seconda specie. Significato fisico dell'integrale curvilineo di →R seconda specie. ⁰ →R ⁰ Ω. Sia r: [a, b] un arco di curva semplice e regolare, con sostegno E. n n R Sia F: Ω un campo vettoriale continuo, t.c. E lungo r l'integrale Si definisce integrale curvilineo di seconda specie di F( ) ( ) >Y ¢ ∶= Y ¢ ∙c(∙) n con prodotto scalare in R. ⁰ →R ⁰ Ω ∃ Ω →R, ∈

35. Definizione di campo conservativo. 1 23 3 R Un campo F: Ω si dice conservativo in se F ∈ C (Ω) e U: U C (Ω) detta ¢ = ∇£t.c. potenziale

di F,¢ = ¢ = ¢ =¤¥ ¤¥ ¤¥+ ƒ¤k ¤¦§ ¤¨cioè , , .⊆ →R36. Definizione di rotore. Definizione di campo irrotazionale.? ª « 13 3RDato un campo F:Ω un campo vettoriale di classe C (Ω).Si definisce rotore di F il campo:¬¢ ¬¢ ¬¢ ¬¢ ¬¢¬¢¬ ¬ ¬= = - − ®? + - − ®ª + - − ®«/ ¢ = ∇ × ¢ © © ƒ + ƒ +¬; ¬‚ ¬‚ ¬* ¬* ¬;k § ¨¢ ¢ ¢+ ƒ∇ × ¢ ∇∇ × ¢Il simbolo rappresenta il prodotto vettoriale formale tra l’operatore e il campo F.Se = 0, il campo F si dice irrotazionale. Nel caso particolare di un campo piano F(x, y) = iF (x,1¬¢ ¬¢y) + jF (x, y), si ottiene ∇×¢ =- − ®«2 +¬*

¬;Ω ⊆ ˜2 337. Definizione di insieme semplicemente connesso in IR e IR .Ω, ˜ Ω.2R
Un insieme aperto connesso si dice semplicemente connesso se, data una qualsiasi curva
semplice e chiusa con sostegno contenuto in Ω, allora anche l'interno di è contenuto in
Ω ⊆ ˜Ω,

3R
Un insieme aperto connesso si dice semplicemente connesso se, data una qualsiasi curva
chiusa, regolare a tratti, con sostegno contenuto in Ω, può essere contratta, attraverso una
deformazione continua, a un unico punto, senza mai uscire da Ω.

⊆ →R
38. Definizione di forma differenziale, di forma chiusa e di forma esatta.

2 2R
Un campo F:Ω si può anche scrivere come
⊆ →R = (F , F ) -> w = F dx + F dy

F 1 2 1 2
3 3R
Se F:Ω , allora si può scrivere
= (F , F , F ) -> w = F dx + F dy + F dz

F ( )) ( )
>¢ ∙ > ° ° = ¢( ∙Š Š Š Š1 2 3 1 2 3
¯ ¯

¯ ¯¢ = ∇£)L'integrale di linea si può anche scrivere come ( e vale conservativo (cioè si esprime dicendo che w è esatta.
Il fatto che F sia Ω >* + >; + >‚)¤m ¤m ¤m¤k ¤§ ¤¨( quindi w è esatta <=>∃ f = f(x, y, z), f : ->R, t.c.w = df = sia irrotazionale (rotF = 0) si esprime dicendo che w è chiusa.
Il fatto che F⊂R →R39. Definizione di area di una superficie. Integrali di superficie: definizione.→R 2 3Sia σ : D una superficie semplice e regolare.
Sia σ : K una calotta regolare (cioè si considera la restrizione a K di una superficie regolare definita su un aperto connesso D, contenente K). Sia Σ il sostegno della calotta.
Si definisce l'area Aσ b = Y h)|J>E >h.J|²(E,± ³Essa non dipende dalla particolare parametrizzazione adottata, nè

dall'orientamento scelto. Si definisce integrale superficiale di f sulla calotta σ il numero Y₂ ≔ Y₂₁

→R →R40. Definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. ⊆Ω.2RSia K un compatto misurabile in . Sia σ : K una calotta semplice e regolare. Sia F : Ω un3 3Rcampo vettoriale continuo e limitato su un aperto Ω di . Supponiamo inoltre che σ(K) Il3 ∈prodotto scalare <F(σ(u, v)), n(u, v)> rappresenta la componente del campo F lungo la direzione delversore normale n(u, v) in un punto σ(u, v) del sostegno della calotta (con (u, v) K)Si dice flusso del campo F attraverso la calotta σ l’integrale della componente di F lungo la direzionedel versore normale n(u, v) sulla superficie σ, vale a dire⟨¢, ⟨¢1}(E,Y

0⟩ ≔ Y h)3, 0(E, h)⟩J|²(E, h)|J>E >h± ³In base alla definizione di area di una superficie si ottiene⟨¢, ⟨¢1}(E,Y 0⟩ ≔ Y h)3, 0(E, h)⟩J|²(E, h)|J>E >h± ³ ²(E, h)⟨¢1}(E, ⟩= Y h)3, h)|J>E >hJ|²(E,h)|JJ|²(E,³ ⟨¢1}(E,= Y h)3, ²(E, h)⟩>E >h³Valgono i seguenti fatti:- l’integrale di flusso non dipende dalla particolare parametrizzazione scelta per la calotta.RR è un campo vettoriale continuo sull’aperto Ω e σ : K e σ’ : K’R sono due calotte- Se F : Ω → 3 3 3semplici con lo stesso sostegno (contenuto in Ω), che però individuano sul sostegno comune dueversori normali opposti, si ha allora ⟨¢, ⟨¢,Y 0⟩ = − Y 0⟩± ±2. Teoremi di cui è richiestosolo l’enunciato.41. Teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste.b