Analisi matematica II - integrali curvilinei

Lezione 19 Marzo 2021

T N B Terna intrinsecaOgni curva stabilisce la sua terna intrinseca

Una curva piana può avere una parte su R³ (commisurare la terna costante = se e determinare su le terne intrinseca)

PARAMETRIZZAZIONE NON CON PARAMETRO D'ARCO

T̂(t) = ^r'(t)/_||r'(t)||

N̂(t) = ^T̂'(t)/_||T̂'(t)||

T'(t) = k(t)v(t)N̂(t) con v(t) = ||r'(t)||k(t) = ^||T'(t)||/_v(t)

B̂(t) = T̂(t) x N̂(t)

Esempio:

• r(t) = (2cos t, 2sin t, 3t) t ∈ [0,5]
• r'(t) = (-2sin t, 2cos t, 3)
• ||r'(t)|| = √44 = √13 (= v(t))
• T̂(t) = ^r'(t)/_||r'(t)|| = ( -²/_√13cos t, -²/_√13sin t, 0 ) ||T̂(t)|| = ²/_√13
• k(t) = ²/_√13 = ²/₁₃
• T̂(t) = ( -²/₁₃cos t, 0 )
• N̂(t) = (-cos t, -sin t, 0)
• B̂(t) = T̂(t) x N̂(t) = | 2 2 3 k || -sin t cos t || -cos t -sin t 0 |

= [i ( ³/₁₃ sen(t)_s) - j ( ³/₁₃ cos(t) ) + k ( ²/₁₃ ) cos² t )]

= [i ( ³/₁₃ sen_t) - j ( ³/₁₃ cos_t ) ( ²/₁₃ )

INTEGRALI CURVILINEI (10^a facilità)

problem / motivazione:

s ∈ [0, L]

elementi non omogenei

δ(s)

Massa infinitesima

dm = δ(s) ds

MASSA TONALE m = ∫₀^L δ(s) ds

se s, resti della curva, ... parametrizzazione

qualcasi (non d'arco)

s = s (t)

δ(s) = δ( s (t) )

ds = ‖n' (t)‖ dt

m = ∫_a^b δ ( s (t) ) ‖n' (t) ‖ dt

Altro problema che mi riolve con integrali curvilinei ...

relato del bincando di p fermi penanti.

Come rivede x cambio parametrizzazione?

r (subscript 2)(b)

r (subscript 2)(a)

r(ξ(c))

φ: [c, d] → [a, b]

t=φ(u)

u→φ(u)

→r(φ(u))=r~(u)

Se le curve è equivalenti →

∫_φ(c)^φ(d)

r~ (u) dt cambio il numero & velocità da percorrenza

Se non è equivalente → è opposta

Teorema

di integrale curvilineo (da 1^o specie) di f è C⁰(A) lungo una curva γ ⊂ A è non variato invariante rispetto ai cambiamenti di parametrizzazione

[Dimostrazione]

Si parte di γ parametrizzato su due modi differenti:

γ parametrizzato su

 r(t) te ⊂ [a, b]

   r(φ(u))=r~(u) t.c.

   t=φ(u) φ: [c, d] → [a, b]

f(x(s), y(s)) = g(s)

ys = f'(s)

f' ≥ 0

esempio:

r(t) = (t, t²)

{ x = t

ys = t²

∫ f ds

In generale f(x, y) non è > 0 : le z sul x k e y sono compatibili.

Purtroppo è parabola r2(t) = (t, t²), t ∈ [0, s]

⇒ x, y, > 0

2^ᵒ passo: xi ceroda dunque l'integrale

r¹(t) = (1, 2t)

‖r¹(t)‖ = √(1 + 4t²)

∫ ₀¹ t³ √(1 + 4t²) dt =

= ∫ ₁^√5 t² √(1 + 4(t²)) dt =

= ∫ ₁^√5 u² - 1 / 4 du = u / 4 ln =