Analisi matematica II - integrali curvilinei

Lezione 19 Marzo 2021

TERNA INTRINSECA

Ogni curva stabilisce la propria terna intrinseca

Una curva piana può avere unì parametro in ℝ³ (considerando le linee costanti = φ e determinando qui la terna intrinseca)

PARAMETRIZZAZIONE NON CON PARAMETRO D'ARCO

Ṫ(t) = ^ṙ'(t)/_{|| ṙ'(t) ||}

N̂(t) = ^Ṫ(t)/_{|| Ṫ'(t) ||}

T' (t) = k (t) v (t) N̂ (t) con v(t) = || ṙ'(t) ||

k (t) = || Ṫ'(t) ||/v(t)

B̂ (t) = Ṫ(t) × N̂(t)

Esempio:

r₁(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t) t ∈ [0,5]

r₁'(t) = (-2 sin t, 2 cos t, 3) || r₁'(t) || = √√44 = √13 (= v(t))

Ṫ₁(t) = ^ṙ₁(t)/_{|| r₁'(t) ||} = ^{(-2_√13 cos t, -2_√13 sin t, 0)}/_2√13

k(t) = ²/_√13 = ²/₁₃

N̂(t) = (-cos t, -sin t, 0)

B̂(t) = Ṫ(t) × N̂(t) =

• -sin t
• -cos t
• 0

Lezione 19 Marzo 2021

TERNA INTRINSECA

Ogni curva stabilisce le m terna intrinseca

PARAMETRIZZAZIONE NON CON PARAMETRO D'ARC

^T(t) = _r'(t) ──────────── ||r'(t)||

^N(t) = ^T(t) ──────────── ||r'(t)||

^T'(t) = k(t)v(t)^N(t) con v(t) = ||r'(t)||

k(t) = ||T'(t)|| ────── v(t)

^B(t) = ^T(t) x ^N(t)

Esempio:

r₁(t) = (2cos(t), 2sin(t), 3t) t ∈ [0, 5]

r₁'(t) = (-2sin(t), 2cos(t), 3) ||r₁'(t)|| = √(4 + 9) = √13 (= v(t))

^T(t) = r'₁(t) ─────────── ||r'₁(t)|| = (- ₂/^√13 cos(t), - ₂/^√13 sin(t), 0) ||T'(t)|| = ₂/^√13

^T(t) = (- ₂/^√13 cos sin t, ₂/^√13 cos(t), ₃/^√13)

k(t) = ₂/^√13 = ₂/¹³

^N(t) = (-cos t, -sin t, 0)

^B(t) = ^T(t) x ^N(t) = |₂/^√13 sin t ₂/¹³ cos t ₃/^√13| |-cos t -sin t 0|

= ȧ i ( ³/₁₃ sinεt ) - j ( ³/₁₃ cosεt ) + k ( ²/₁₃ n_{? / ?}εt + ²/₁₃ cos τ T )

Ĕ(t) = ( ³/₁₃ sinεt , - ³/₁₃ cosεt , ²/₁₃ )

Integrali curvilinei

(10^mo mese)

problema/motivazione:

s ∈ [0,L]

alerti non omogenei

δ(s)

massa infinitesima

dm = δ(s) ds

Massa tonale

m = ∫₀^L δ(s) ds

s = s(t)

δ(s) = δ( s(t) )

ds = ‖γ'(ε)‖ d_t dt

m = ∫_a^b δ( s(t) ) ‖γ'(ε)‖ d_t

Alcuni problemi che mi risolve con integrali curvilinei è il calcolo del bancanto di φ fermi pesanti

Casco generale: Ambienti ℝ³

f: A ⊆ ℝ³ ⟶ ℝ

f continua dove definita

⇒ f ∈ C⁰(A)

f(x, y, z)

punto γ curva regolare (o regolare a tratti), γ ⊂ A

Supponiamo che γ sia descritta da r(t), t ∈ [a, b]

Definizione: integrale di f lungo γ

Indicato con il simbolo ∫_γ f ds

∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt

= ∫_a^b f(x(t), y(t), z(t)) √((x'(t))² + (y'(t))² + (z'(t))²) dt

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))

||r'(t)|| = √((x'(t))² + (y'(t))² + (z'(t))²)

Esempio:

Calcolare ∫_γ f ds con f(x, y, z) = x²y

γ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ t.c. x² + y² = 4, y ≥ 0, z = 0}

x = t

y² = 4 - x² quindi y = √4 - x² = √4 - t²

r(t) = (2cos t, 2sin t, 0) t ∈ [0, π]

f(r(t)) = (2cos t)² 2sin t

r'(t) = (-2sin t, 2cos t, 0) ||r'(t)|| = 2

∫_c f ds = ∫₀^π 8 cos² t ^πsin t dt = 16(∫₀^π cos² t sin t dt =

= [₀^π -cos³ t¹⁶/3] = 16/3 - [ -16/3 ] = 32/3

Dato f(x, y, z) = z² e _γ ^c parametr _G tc _R.

r(t) = (cos (log t), sen (log t), t), t ∈ [1, √√3 ].

Calcol mno l'integrale lungo G di f in ds

r'(t) = (-sen (log t) 1/t , cos (log t) 1/t , 1)

⟨-1/t sen (log t) , 1/t cos (log t) , 1⟩

||r'(t)|| = √(1/t² sen² (log t) + 1/t² cos² (log t) + 1 ) = √(1/t² + 1) =

- √(1 + t²)/t

∫_c f ds = ∫^√√3₁ t² 1/t² √(1 + t²) dt = 1/2 [(λ + t²)^3/2 ]^√3₁ =

= 2/3 [√6 ^3/2 - 2^3/2 ] = 1/3 [ 2*^V * 3 - √2 * 3³ ] = 1/3 (64 - 2√2)

Osservazione

X diversa. pi emn grünblott a o in IR^m e

f : A ⊆ IR^m ➝ IR, f ⊆ e^o (A)

γ : σ(t) t ∈ [a, b]

∫_γ f dls = ∫_a^b f (σ (t)) ||σ'(t)|| dt

Proprietà di ∫_γ f ds

f, g : A ⊆ IR^m ➝ IR³

f, g ∈ e^o (A)

("f e g continui su A")

α, γ₁, γ₂, γ curve regolari a tratti in A

1. ∫_γ (αf + βg) dls = α∫_γ f ds + β∫_γ g ds per α, β ∈ IR
2. γ = γ₁ ∪ γ₂ allora ∫_γ f ds = ∫_{γ=γ1∪γ2 f ds = ∫γ1 f ds + ∫γ2 f ds}

Nam propriati con curve regolari te curve non regolari => lle regore in curve regolari a trùtti

e allora ∫_γ f ds lungo ogni per mò

Osservazione:

∗ la proposta (2) garantisce che x e y é regolare a trutti

allora γ = γ₁ ... ∪ γ₂ con x_i regolari molliri:

∫_γ f ds = ∫_γ1 f ds + ... + ∫_γ2 f ds

Come ricalca se cambio parametrizzazione?

\(\int_{t \in [a,b]}\gamma(t)\cdot x(t) dt\)

\(\mathrm{x}(\psi)\)

\(\forall t, \in [c,d] \rightarrow [a,b]\) \(t = \varphi(u) \) \(u \rightarrow \psi(u)\)

\(\Rightarrow r(\varphi(u)) = \tilde{\gamma}(u)\)

Se la curva è equilibrata \(\Rightarrow\) \(\int_{\tilde{\gamma}(c)}^{\tilde{\gamma}(d)} \tilde{\gamma}(dt)\) - cambio di nome e velocit à parametrica

Se non è equilibrata (si è opposta)

\(\tilde{\gamma}(d)\) \(\gamma\) contro il verso di parametrizzazione \(\tilde{\gamma}(t)\)

Theorema

L'integrale areulario (da 1° specie) di \(f \in C^0(A) )\) lungo una curva \(\gamma \subset A\) è invariante invariando rispetto ai cambiamenti di parametrizzazione

[Dimostrazione]

Si parla di \(\gamma\) parametrizzato in 2 modi differenti : \(\gamma\) parametrizzato da \(\gamma(t)\) \(t \in [a,b]\) \(\Rightarrow \gamma(\psi(u)) = \tilde{\gamma}(u)\) t.c.\(t = \varphi(u)\) \(\varphi:[c,d] \rightarrow [a,b])\)

è dove curve invertibile e derivabile

=> curva è monotona (per garantire l’invertibilità) è invertibile

1. caso 1: monotona crescente \( e'(u) > 0 \)

\(\int_{\gamma} f \, ds = \int_{a}^{b} f (r (t)) \| r'(t) \| dt \, \cdot \)

\(\int_{\gamma} f \, ds = \int_{c}^{d} f (\tilde{r} (\tilde{e} (\mu))) \| r' (\tilde{e} (\mu)) \| \| e' (\mu) \| \, d\mu\)

\(\frac{dt}{d\mu} (x (\tilde{e}(\mu))) = r'(\tilde{e}(\mu)) \cdot e'(\mu)\)

direzione di \(\tilde{r} (\mu)\)

\(\Rightarrow \int_{c}^{d} f (r (\tilde{e} (\mu))) \| r'(\tilde{e}(\mu)) \| \| e'(\mu) | d\mu = (\ast)\)

\[\|a_{\mu}\| = |a| \| \mu\|\]

\( e'(u) > 0 \, poiché \, u \, è \, monotona \, crescente \)

\(\Rightarrow \| e'(\mu) \| = e'(\mu)\)

\((\ast) = \int_{c}^{d} f (\tilde{r} (\mu)) \| \tilde{r}'(\mu) \| d\mu \, \cdot \)

caso 2:

monotone decrescenti

ϕ'(u) < 0

α < 0    ‖α ψ‖ = |α| ‖ψ‖ = -α ‖ψ‖

Abbiamo che

         ⋯⋯_{⋯⋯⋯⋯⋯}

    n c (ϕ(u)) ‖n'(ϕ(u))‖ = ‖n'(ϕ(u))‖ (-ϕ'(u))

   ⋶

  poiché ϕ'(u) < 0

ma :

∫_b^d f ds = ∫_d^c f (n c (ϕ(u))) ‖n'(ϕ(u))‖ (-ϕ'(u)) dτu

= ∫_c^d f (n_c (ϕ(u))) ‖n'(ϕ(u))‖ (1 / ϕ'(u)) du =

= ∫_c^d f (n c (ϕ(u))) ‖n'(ϕ(u))‖ (ϕ'(u)) du =

= ∫_c^d f (n t (u)) ‖n'(τ)(u)‖ du

c.v.d.

Interpretazione geometrica dell'integrale di linea di 1^a specie.

f : A ⊆ ℝ²→ℝ

f ≥ 0

z = f(x, y)

r(t) = (x(t), y(t))

t ∈ [a, b] ⇒ t variaz in [a, b]

definere una superficie che ha per sostegno ℘ e cui limiti e più delle superficie (rossa).

γ → "Stendino" δ lungo una curva

∫_γ f ds rappresenta l'Arco della superficie dello spazio e modo

Lezione 22 Marzo 2023

Interpretazione geometrica dell'integrale di linea di 1^o specie

Analisi matematica 1.

y_s = f(x)

f ∈ ^c₀ (I)f ≥ 0 in I = [a, b]

∫_a^b f(x) dx = area del trapezoide delimitato lateralmente dalle rette x = a e x = b e dal grafico della funzione y_s = f(x).

Analisi matematica 2

δ ∈ ^ℝ₂

z = f(x, y)z = f(x(t), y(t))

t ∈ [a, b]γ ⊂ Af ≥ 0 f: A ⊂ ^ℝ₂ → ℝ

Sviluppo in un piano (stiro la curva δ):f(x(s), y(s)) = f^~(s)

t → s parametro dell'arco(s → γ parametrizzata con parametro dell'arco)

∫ f ds rappresenta l'area della superficie ottenuta congiungendo, con segmenti paralleli all'asse z, i punti della curva γ con i punti corrispondenti nella superficie z = f(x, y)

∫ f ds area della superficie sviluppata nel piano

S = parametro d'arco, x = l'ASCISSA

f(x(s), y(s)) = x'(s)   y_g = f''(s)

f' ≥ 0   poiché f ≤ 0

Calcolare l'area della superficie S portata all'origine z, compresa tra il piano z=0 e il grafo della funzione z=f(x,y)=xy che interseca il piano z=0 lungo la parabola r₂(t) = (t, t²), t ∈ [0,s].

x + t   y_o = t² ⇒ y_o = x²

∫ b f d s

In generale f(x, y_o) non è ≥ 0: è t nel x, t e y_o sono concavi.Ritratta la parabola r₂(t) = (t, t²), t ∈ [0,s] s.t nel di questo⇒ x y_o > 0

2^o passo: si calcola dunque l'integrale

x₁(t) = (1, 2t)   || n₁(t) || = √(1 + 4 t²)

∫ b f ds = ∫₀¹ t³ (1 + 4 t²)^1/2 dt

√(1 + 4 t²) = u1 + u t² = u²

(8 tolt = 2u tlo ⇒ tdt = udu/4)

t² = (u² - 1)/4

t=0 ⇒ u=1t=1 ⇒ u=√5

∴

∫ t² √(1 + 4 t²) t dt t u² - 1 b u = 1, u = √5

= ∫₁^√5 u² - 1/4 u - u

^∫₁√5 (_u²/¹⁶ (^u2-3)) du = ^{∫₁√5(u4 - u2)} du = ¹/₁₆ [(^u5/₅]₁^√5 - [^u3/₃]₁^√5 ]

= ¹/₁₆ ( ^25√5/₅ - ¹/₅ ) - ¹/₁₆ ( ^5√5/₃ - ¹/₃ ) = ¹/₁₆ ( ^{5√5 - 1}/₅ - ^5√5/₃ + ¹/₃ ) =

= ¹/₁₆ ( ⁵/₄ ( ^√5/₃ ) + ¹/₁₂ + ¹/₆₀ = ^{25√5 + 1}/₆₀

Applicazione pratica degli integrali curvilinei di 1^a specie: calcolo del baricentro di fili pesanti

IR², IR³ (siamo in IR² o IR³)

Determiniamo il baricentro

supponiamo che la densita sia espressa da:

densita = δ(s).

La massa totale della filiera sara:

m = ∫_g δ ds

Il baricentro (o CENTROIDE) avra coordinate (x_B, y_B, z_B)

x_B = ¹/_m ∫_g x δ ds

y_B = ¹/_m ∫_g y δ ds

( z_B = ¹/_m ∫_g z δ ds ) se siamo in IR³

Esempio

Calcolare il baricentro di una semicirconferenza di densità omogenea

(cenno sulle t_e dinole e omogeneità).

R > 0

r(t) = (R cos(t), R sin(t)) t ∈ [0, π]

m = massa = ∫₀^π δ ds

r'²(t) = (-Rcos t, Rsin t)

|r'(t)| = R

=> m = ∫₀^π δ ds = ∫₀^π δ R dt = δ R [t]₀^π = δ R π

x_G = ¹/_m ∫₀^π x δ ds = ¹/_{δ R π} ∫₀^π R cos t . δ R dt =

= ¹/_{δ R π} R² δ [sin t]₀^π = 0 => x_G = 0

y_G = ¹/_m ∫₀^π y δ ds = ¹/_{δ R π} ∫₀^π R sin t δ R dt =

= ¹/_{δ R π} R² δ [-cos t]₀^π = ^R/_π (1 - (-1)) = ^2R/_π

=> y_G = ^2R/_π