Analisi matematica 2, Schemi e mappe concettuali di Analisi Matematica II

RIPASSO ANALISI 2

DIST.EUC. del punto P₀ da P₁

NORMA

d(P₀, P₁) = √(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²

||P₀|| = √x² + y² (distanza euclidea dall'origine)

INTORNO DI RAGGIO R DI UN PUNTO P₀ (x₀, y₀)

B(x₀, y₀)(r) = {P(x, y) ∈ ℝ² : √(x - x₀)² + (y - y₀)² < R }

• PUNTO INTERNO AD A ⇒ ∃ r > 0 t.c. B(P₀) ⊂ A
• PUNTO ESTERNO AD A ⇒ ∃ r > 0 t.c. B(P₀) ⊂ A^c oppure A ∩ A^c = ∅
• PUNTO DI FRONTIERA PER A ⇒ ∀ r > 0 B(P₀) ∩ A ≠ ∅ e B(P₀) ∩ A^c ≠ ∅
• PUNTO DI ACCUMULAZIONE PER A ⇒ ∀ r > 0 B(P₀) ∩ A # \{P₀\}

• INSIEME A è APERTO ⇒ tutti i suoi punti sono interni
• INSIEME A è CHIUSO ⇒ contiene tutti i suoi punti di accumulazione (o se il A^c è aperto)
• INSIEME A è LIMITATO ⇒ ∃ R > 0 t.c. A ⊂ B(0)_R nell'origine

Def LIMITE IN ℝ²

∀ε>0 ∃δ>0 t.c.

|f(x, y) - L| < ε, ∀(x, y) : 0 < √(x-x₀)² + (y-y₀)² < δ

Def CONTINUITA

Sia (x₀, y₀) ∈ D(A) , (x₀, y₀) punto di accumulazione per D(A) :

Si dice CONTINUA in (x₀, y₀) se: lim (x,y) -> (x₀, y₀) f(x, y) = f(x₀, y₀)

TEOREMA 1 (Test delle rette)

Se ∃ m₁/m₂ t.c. lim (x -> x₀) f(x, y + m_i(x-x₀)) = L_i i = 1, 2

con L₁ ≠ L₂, allora il limite NON ESISTE.

(coordinate polari)

• x = x₀ + ρ cos θ
• y = y₀ + ρ sen θ
• ρ = √x² + k² = √(x-x₀)² + (y-y₀)²
• θ ∈ [θ, 2π]

Def. e(A) ⊇ f

f è continua nell'insieme A ⊂ ℝ², se è continua in ogni punto di A.

Teorema

f e g continue in A:

• f + g ∈ e(A)
• f ⋅ g ∈ e(A)
• f / g ∈ e(A) se g ≠ 0
• F(g), con F continua, ∈ e(A)

Teorema 2. di Weierstrass

Se f ∈ e(E) con E chiuso e limitato, allora f assume massimo e minimo in E:

• ∃ (x_m, y_m) ∈ E : f(x_m, y_m) < f(x, y) → minimo
• ∃ (x_M, y_M) ∈ E : f(x_M, y_M) > f(x, y) → massimo

Def. Derivabilità

f è derivabile in (x, y) ∈ A, se esistono le derivate parziali f_x(x, y) e f_y(x, y), dove:

f_x(x, y) = ∂f/∂x (x, y) = lim_h→0 [f(x + h, y) - f(x, y)] / h (rispetto a x)

f_y(x, y) = ∂f/∂y (x, y) = lim_k→0 [f(x, y + k) - f(x, y)] / k (rispetto a y)

Def. Differenziabilità

f è differenziabile in (x, y) ∈ A, se valgono le seguenti proprietà:

1. f è derivabile in (x, y) ⇒ [ f_x(x, y), f_y(x, y) ]
2. lim_{(h, k)→(0, 0)} [f(x + h, y + k) - f(x, y) - f_x(x, y) ⋅ h - f_y(x, y) ⋅ k] / √(h² + k²) = 0

Teorema 3

f differenziabile in (x, y) ⇒ f continua in (x, y)

Teorema 4 del Differenziale Totale

Sia f continua e derivabile in A, con f_x e f_y continue in A.

Allora f è differenziabile in ogni punto (x, y) ∈ A.

PARAMETRIZZAZIONE

Il bordo del vincolo, ∂E, si esprime come grafico di una funzione di tipo:

• r : t → (x(t), y(t))

r è parametrizzazione

y = f(x) ↔

• r₁(t) = (t, f(t))

parametrizzazione standard

x = g(y) ↔

• r₂(t) = (g(t), t)

parametrizzazione inversa

Teoremino 9

Sia (x₀, y₀) ∈ ∂E un punto di estremo locale vincolato per f su E.

Sia f ∈ ℰ¹(A). Sia r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] una parametrizzazione di ∂E di classe ℰ¹,

allora, detta F(t) = f(x(t), y(t)): [a, b] → ℝ e scelto t₀ ∈ [a, b] :

x(t₀) = x₀ , y(t₀) = y₀

risulta:

F'(t₀) = 0

Interpretazione Geometrica

Se (x₀, y₀) è di estremo vincolato allora:

∇_P f (x₀, y₀) è ortogonale al ∂E

⟨∇_P f (x(t), y(t)) ; r'(t)⟩ = 0

Teorema 10: Dei Moltiplicatori di Lagrange

Sia (x₀, y₀) un punto di estremo locale vincolato per f nell'insieme: ∂E = {(x,y) : g(x,y)=0} ⊆ A

Siamo f,g ∈ ℰ¹(A).

Se ∇g(x₀, y₀) ≠ 0 allora esiste λ₀ ∈ ℝ :

∇f(x₀, y₀) = λ₀ ∇g(x₀, y₀)

(Si impiega nel caso in cui ∂E è l'insieme di livello 0 di una funzione g(x,y) (g∈ ℰ¹))

Teorema di struttura per eq lineari non omogenee

Ipotesi: sia a₀, a₁, b ∈ ℝ(I)

Tesi: allora l'insieme S delle soluzioni è uno spazio AFFINE di dimensione 2; ovvero:

y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t) + y_p(t)

dove y₁ e y₂ sono 2 soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea associata, mentrey_p(t) è una soluzione particolare dell'equazione "completa" (non omogenea).

Teorema 8

Sia L² + a₁L + a₀ = 0 l'eq. caratteristica di una EDO lineare omogenea di ordine 2.Sia Δ = a₁² - 4a₀. Se:

• Ⓒ Δ > 0, ovvero 2 radici reali distinte: α₁ ≠ α₂ ∈ ℝ,allora una base di soluzioni per la EDO è:
  • y₁(t) = e^α₁t
  • y₂(t) = e^α₂t
• Ⓒ Δ = 0, ovvero 1 radice reale doppia: α ∈ ℝ,allora una base di soluzioni per la EDO è:
  • y₁(t) = e^αt
  • y₂(t) = t e^αt
• Ⓒ Δ < 0, ovvero 2 radici coniugate complesse: α ± ib,allora una base di soluzioni per la EDO è:
  • y₁(t) = e^αtcos bt
  • y₂(t) = e^αtsin bt

(2) LINEARITÀ

c∈R, f e g funzioni continue

• c∬_Df dxdy = ∬_Dcf dxdy
• ∬_D(f+g) dxdy = ∬_Df dxdy + ∬_Dg dxdy

(3) PARITÀ E DISPARITÀ SU DOMINI SIMMETRICI

Ad es: ∬xy² dxdy

f(x,y) → f(-x,y)

x² → -x² DISPARITÀ

Allora: ∬_Df = ∬_D1f + ∬_D2f = ∬_D1f + ∬_D1-f = 0

APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI DOPPI

1. VOLUMI Vol(S) = ∬_D|ρ(x,y)| dxdy
2. AREE Area(D) = ∬_D1 dxdy
3. MASSE M = ∬_Dρ(x,y) dxdy dove ρ(x,y)>0 è la densità
4. BARICENTRI

   x̄ = ¹⁄_M ∬_Dx·ρ(x,y) dxdy

   ȳ = ¹⁄_M ∬_Dy·ρ(x,y) dxdy

5. MOMENTI DI INERZIA

   I_x = ∬_Dy²·ρ(x,y) dxdy

   I_y = ∬_Dx²·ρ(x,y) dxdy

   I_o = ∬_D(x²+y²)·ρ(x,y) dxdy