Analisi matematica 2

Analisi II

Tolusso

Lezione 1:

Integrali Doppi

\[\int\int_D f(x,y) dx dy\]

Il dominio è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\), quindi lo troviamo nel piano xy.

\(\hat{f}(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & \text{se $(x,y) \in D$} \\ 0 & \text{se $(x,y) \notin R$} \end{cases}\)

R -> Rettangolo -> \(R = [a,b] \times [c,d]\)

\(\nu(P)\) e partizione

\(I_{R_{ij}} = [x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1}, y_j]\)

Area

\(|R_{i,j}| = (x_i − x_{i-1})(y_j − y_{j-1})\)

Area

\(m_{ij} = \inf_{R_{i,j}} f(x,y); \ M_{ij} = \sup_{R_{i,j}} g(x,y)\)

e denisco P la partizione di R:

\(\nu(f,P) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} m_{ij} |R_{ij}|\)

^{Somma Inferiore}

\(S(f,P) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} M_{ij} |R_{ij}|\)

^{Somma Superiore}

Se \(\nu(f,P) = S(f,P)\) la funzione è Integrabile

TEOREMA 2

Se:

• f è limitato e misurabile e f è limitato comunque in D allora:
• f è integrabile

Funzione caratteristica

D è misurabile se χ_D(x,y) = { 1 se (x,y) ∈ D0 se (x,y) ∉ D }

f è integrabile ovvero se se la misura del bordo è uguale a zero:

|∂D| = 0area del bordo

TEOREMA 3

1. Linearità: 2. β ∈ ℝ

∬ (2f + βg) dxdy = 2∬ f dxdy + β ∬ g dxdy

2) Monotonia:

f ≤ g in D ⟹ ∬ f dxdy ≤ ∬ g dxdy

3) Additività (rispetto al Dominio (D₁, D₂))

∬ f dxdy = ∬ f dxdy + ∬ f dxdy

(|D₁∩D₂| = 0)

D₁ D₂

D₁∩D₂

ID₁∩D₂| > 0

∬ f dxdy = ∬ f dxdy + ∬ f dxdy + ∬ f dxdy

FORMULE DI RIDUZIONE

1) Dominio semplice rispetto a y

D = { (x,y) ∈ ℝ², x ∈ [a,b], y ∈ [l₁,l₂] }

∬ f(x,y) dxdy = ∫_a^b [ ∫_l₁l₂ f(x,y) dy ] dx

Esempio 4

Calcolo del volume delle sfera di raggio 1

x² + y² +z² ≤ 1

Equazione della sfera di raggio 1 centrata nell'origine

D = { (x, y) : x² + y² ≤ 1 }

∫∫ D z dx dy

Dobbiamo sempre individuare un dominio e una funzione

z = f(x, y)

z = ±√(1-x² -y²)

Queste due equazioni rappresentano i due emisferi positivo e negativo.

Dato che la figura è simmetrica possono considerare solo uno dei due emisferi e moltiplicare per due

V = 2 ∫∫ D √(1-x² -y²) dx dy = 8 ∫∫ D₁ √(1-x² -y²) dx dy

x² + y² = 1 → y = √(1-x²)

∬ _D ^dxdy/_x-y = ∫ ₁² ∫ ₁^{3 xny2}/_n^ur² dx = ∫ ₁² ∫ ₁³ du^v/mu^v =

= ∫ ₁² 1/(u^du)³ dv = ln2 ln3

2^o metodo:

|∂(x,y)/∂(u,v)| = |det u|

|∂(u,v)/∂(x,y)| = |det u|^-1 = 1/|det u|

|∂(u,v)/∂(x,y)| = |det| -y/x2 1/x 11|=

|= ^y+x/_x² → x²/y+x|

∫ ₁² ∫ ₁^{3 1}/_xy x²/y+x dudy

• x≡u/γ
• y≡u/γ

ES. 7

x²+y²+z² ≤ R²

Emisfero positivo → z = √(R²-x²-y²)

V = 2∬ √(R²-x²-y²) dx dy

x²,y² ≤ R²

V = 2∫ ₀^2π ∫ ₀^R √(R²-ρ²) ρdρdθ = 4π∫ ₀^R √(R²-ρ² ρdρ

t = ρ²-ρ²→dt = -2pdp

4π∫ R20 √t dt/-2 = 2π 0R2√tdt = 4π/3R3

2) Calcolo del volume per strati:

V = ∫₀¹∫₀^√2∫_z^√2|x|xzdxdydz = ∫₀¹∫₀^2π∫₀^√2zdrdθ|ρcosθ|dρ = 4∫₀¹zdz[ρ³/3]_z^√2 =

= (9/3)∫₀¹z⁴dz = 8/9

ESEMPIO 11

Calcolare il valore medio di una funzione su un insieme

f(x, y, z) = x₂ + y₂ + z²

D: {(x, y, z): x + y + z ≤ 1; x, y, z ≥ 0}

1/|D| ∫₀¹∫₀¹∫₀¹f(x, y, z)dxdydz dove |D| = ∫∫∫dxdydz

1) Per fissi:

= ∫₀¹∫₀^1-x-y∫_z=0f(x, y, z)dxdydz

t = 1 - e² dt = 2ede

4_π

LEZIONE 6

ESEMPIO 18

z = f(x,y) = x² - y²

D: { x² + y² ≤ 1 }

∂f/∂x = 2x ; ∂f/∂y = -2y

|S| = ∬ 1 + 4 ( x² + y² ) dxdy = ∫₀¹ dρ ∫₀²_π

2_π √1 + 4ρ² ρ dθ = ... DA FINIRE

CASO PARTICOLARE

Superficie ottenuta ruotando il grafico di una funzione

Ruoto la funzione intorno all'asse x ottenendo così f(x,y)

Distanza, (in questo esempio) dall'asse x:

√y² + z² = f(x)

Da cui:

ℓ(x,y) = z = ±√f(x)² - y²

Curva Regolare

Vettore tangente alle curve in \((x(t_0), y(t_0))\):

\((x'(t_0), y'(t_0))\)

retta tangente → \(y = y_0 + y'(t_0)(x-x_0)\)

• \(x(t) = x(t_0) + x'(t_0)(t-t_0)\)
• \(y(t) = y(t_0) + y'(t_0)(t-t_0)\)

La curva è regolare quando \( (x'(t), y'(t)) \neq (0,0) \)

Integrale Curvilineo di 1^o Specie

Abbiamo bisogno di una curva in \(\mathbb{R}^2\):

\(\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}^2\) (regolare)

e di una funzione:

\(f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)

\(\int_{\gamma} f \, ds = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt\)

Se \(f = 1\) → \(\int_{\gamma} ds = |b| =\) lunghezza della curva

ESEMPIO

F(x,y) = (y², 2xy) → ω = y²dx + 2xydy

• δ₁(t) = (t, t²) t∈[0,1]
• δ₂(t) = (t,1) t∈[0,1]
• δ₃(t) = (t,λ) t∈[0,1] (t,1) t∈[0,1]

∫_δ1Fdr = ∫₀¹(t²)²⋅1 + 2t³(2t) dt = ∫₀¹(t⁴ + 2t⁴) dt = ∫₀¹ 3t⁴ dt = 5[t⁵]₀¹ = 3/5

∫_δ3Fdr = ∫₀¹t²⋅0 + 2⋅0⋅t⋅1 dt + ∫₀¹1⋅1 + 2t⋅0 dt = 1

In questo caso in tutti e 3 i casi il risultato è lo stesso

Questo avviene quando la forma differenziale si dice ESATTA

• Una forma differenziale ω=Adx+Bdy è esatta su un certo insieme Ω⊆ℝ² se ∃U:Ω→ℝ:
• A = ∂U/∂x, B = ∂U/∂y
• U = xy² → ∂U/∂x = y² = A ; ∂U/∂y = 2xy = B

OK