Riepilogo: derivate parziali (di ordine successivo)
Esempio di funzione f
Esempio: f : R3 → R, f(x, z, t) = xz ez4 t sin x
Derivate parziali
∂f/∂x = z ez4 t cos x
∂f/∂z = x ez4 (1 + 4z3 t sin x)
∂f/∂t = xz ez4 sin x
Calcolo delle derivate per la funzione g
Consideriamo ora g(x, z, t) = f1 = xz ez4 e ricalcoliamo le derivate parziali:
∂g/∂x = z ez4
∂g/∂z = xez4 + 4xz3 ez4
∂g/∂t = 0
Derivate seconde
∂2f/∂x2 = 2x ez4 cos x
∂2f/∂x∂z = ∂2f/∂z∂x = z ez4 (1 + 4z3 t sin x)
∂2f/∂t∂z = 0
Si osservi che ∂2f/∂x∂z = ∂2f/∂z∂x come segue dal:
Teorema di Schwarz
Sia A ⊂ Rⁿ un insieme aperto, f: A ⊂ Rⁿ → R, sia x₀ ∈ A. Se esistono fxixj, fxjxi in un intorno di x₀ e queste sono continue in x₀ allora:
fxixj(x₀) = fxjxi(x₀)
Matrice Hessiana
La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde (delle funzioni a valori scalari). Si denota con Hf(x).
Hf(x) = [fx1x1 fx1x2 fx1x3 …]
[fx2x1 fx2x2 fx2x3 …]
[fx3x1 fx3x2 fx3x3 …]
La traccia di tale matrice è detta laplaciano di f e vale:
Δf = Σ∂2f/∂xi2 (ossia la somma delle derivate sulla diagonale, calcolate rispetto alla stessa variabile)
Matrice Jacobiana
La matrice jacobiana è la matrice delle derivate prime (delle funzioni a valori vettoriali). Si denota con Jf.
Esempio: F : R3 → R4 a F(x, z, t) = (f1, f2, f3, f4) …
Esempio: F(x, z, t) = (x, z ez4, xz ez4, ez4 t)
Esempio aggiuntivo di funzione f
Esempio: f: R3 → R, f(x, z, t) = x z ez t t sin x
Derivate parziali
∂f/∂x = 2x ez t cos x ez t + x2 z ez t sin x
Calcolo delle derivate per la funzione g
Consideriamo ora g(x, t, z), f1 = x2 z ez t e ricalcoliamo le derivate parziali:
∂f/∂z = 2xez t
∂2f/∂x∂z = ∂2f/∂x∂y = ∂2f/∂y∂x
Si definiscono derivate miste le derivate seconde calcolate prima rispetto a una variabile e poi rispetto a un'altra.
Teorema di Schwarz
Sia A ⊆ Rn un insieme aperto, f: A ⊆ Rn → R, sia x0 ∈ A. Se esistono fxx, fsx in un intorno di x0, e queste sono continue in x0 allora:
fxxy(x0) = fyxk(x0)
Matrice Hessiana
La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde (delle funzioni ai valori scalari). Si denota con Hf(x).
Hf(x) = | fxx fxx2 fxx3
fx2x fx2x2 fx2x3
fx3x fx3x2 fx3x3 |
La traccia di tale matrice è detta laplaciano di f e vale:
Δf = ∑i=1n fxixi (ossia la somma delle derivate sulla diagonale, calcolate rispetto alla stessa variabile)
Matrice Jacobiana
La matrice jacobiana è la matrice delle derivate prime (delle funzioni ai valori vettoriali). Si denota con JF.
Esempio: F: R3 → R3, F(x, y, z) = (x2 y4 ez t t sin x, ...)
∇f =: (z2y, xz2, 2xyz)
∇f =: (y ex, x ex, y ex)
→ 3f = (y z2, x z2, 2xyz)
f = (yx ex, y ex, ex)
In generale: f: ⁿ→ ᵘ JF = ( (∂f1/∂x1 ... ∂f1/∂xn) (∂fu/∂x1 ... ∂fu/∂xn) )
Se la Jacobiana è quadrata (e quindi f è un campo vettoriale) allora la sua traccia è detta divergenza di f e vale:
div f = ∂f1/∂x1 + ∂f2/∂x2 + ∂f3/∂x3 (es. ³)
Funzioni composte
Data f: A → B e g: B → C, allora g∘f: A → C.
Esempio:
f: ³ → ² , g: ² → ³
f(x, y, u) = (x − u, xy − 4u)
g(s, t) = (es, cos t, st)
g∘f: ³ → ³
g∘f((x, y, u) = (ex−y, cos (xy − 4u), (x − u)(xy − 4u))
J(g∘f) ≈ 3 g (f(x, u)) : 5f (x, u)
Jg (s, t) = ( es 0 0 )
( 0 −sin(t) )
( t )
J(g∘f) = ( ex−u 0 )
( 0 −sin(xu−4) )
( xu−4 )*( 1 2/3 )( 4 )
Formula di Taylor al 2° ordine con resto di Peano
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