Analisi Matematica II - Appunti

Riepilogo: Derivate Parziali (di Ordine Successivo)

Esempio: f: ^IR³ -> IR

f(x, z, t) = x²e^z⁴t²sinx

Derivate parziali:

• ∂f/∂x = 2xe^z⁴t²cosx + ...
• ∂f/∂z = ...
• ∂f/∂t = ...

Consideriamo ora g(x, z, t) = f₁ = x²e^z⁴t² e ricalcoliamo le derivate parziali:

• ∂g/∂x = 2xe^z⁴

Si definiscono derivate miste le derivate seconde calcolate prima rispetto a una variabile e poi rispetto a un'altra.

• ∂²f/∂x∂t = 2xe^y⁴cosx
• ∂²f/∂t∂x = x²e^z⁴

Si osservi che ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x ...

Teorema di Schwarz

... Se esistono f_xx; e f_xy ...

Matrice Hessiana

La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde...

• H(f(x)) = ...

La traccia di tale matrice è detta laplaciano di f e vale:

• Δf = Σ f_xx ...

Matrice Jacobiana

... Esempio: F: ^IR3 -> ^IR2

(x, y, z) -> (F₁(x, y, z) = x⁴y ...

Il determinante è detto jacobiano.

Se la jacobiana è quadrata le quindi: f è un campo vettoriale,

allora la sua traccia è detta divergenza di f e vale:

div F = ∂f₁/∂x₁ + ∂f₂/∂x₂ + ∂f_n/∂x_n (es. R³)

FUNZIONI COMPOSTE

Data f: A ⊂ B → C allora g • f: A → C.

Esempio:

f: R² → R²², g: R² → R³

f(x,y) = (x-y⁴, xy₄) g(s,t) = (e^t cos t, s t)

g • f: R³ → R²

g • f((f(x,y) = (e^y⁴ * cos(x,y⁴), (x-y⁴)(xy₄))

J(g • f) = ∂g (f(x,y)) • ∂f(x,y)

∂g(s,t) = ^es0

J(g • f) = ( x^-40) ( 5(n(x+y))^-1

FORMULA DI TAYLOR AL 2° ORDINE CON RESTO DI PEANO

Sia f: A ⊂ R ^m → R , A aperto, e siano x_o, x due punti di A t.c.

il segmento che li congiunge sia incluso in A, sia f di classe C²,

allora vale la seguente formula di Taylor:

Es. f(x,y) = e^x4 con x_o: (0,0)

Calcoliamo: Df (x,y) = (e^x4 )

Teoremi sul segno delle forme quadratiche

Sia Q(h) una forma quadratica e M la sua matrice associata:

M =   a₁₁   a₁₂     a_1n   a₂₁   a₂₂     a_2n   a_n1   a_n2     a_nn

Consideriamo le sottomatrici da “nord-ovest”

M₁ (a₁₁), M₂ = 0 ∀k = 1...n

Esempio M =   3    2    4   2    1    2   2    1    5

• det(M₁) = 3 > 0
• det(M₂) = 1 > 0
• det(M₃) = det(M) = 10 > 0      {} > def. pos.

Teorema 2 (Test degli autovalori)

Data Q(h) = <Mh,h> (h∈ℝⁿ) allora:

1. Q(h) è def. positiva (negativa) <=> tutti gli autovalori sono positivi (negativi)
2. a_i(h) è semidef. positiva (negativa) <=> tutti gli autovalori sono ≥0 (≤0) e almeno uno di essi =0.
3. Q(h) è indefinita se esistono almeno due autovalori discordi

Teorema 3

Sia Q(h) = <Mh,h₂> allora:

1. Se Q(h) è def. pos. allora Q(h) ≥ λ_min(M)‖h‖₂ dove λ_min(M) è il più piccolo autovalore di M.
2. Se Q(h) è def. neg. allora Q(h) ≤ λ_max(M)‖h‖₂ dove λ_max(M) è il più grande autovalore di M.

Classificazione dei punti critici (estremi/liberi)

Teorema

Sia f∈C²(A), A aperto ⊂ ℝⁿ e sia x^°∈A un punto critico per f, allora se la forma quadratica Q(h) = ½f''(x^°)h,h equivalentemente la matrice associata

1. def. positiva (negativa) x^° è un punto di minimo (massimo) libero fatto
2. indefinito allora x^° è un punto di sella o colle.

Dimostrazione    h∈ℝⁿ x = x^° + h ∈ A

1. Th3 ⇒ Δ f(x^°) = 0 ⇒ a f(h) = ½f''(x^°)h2 ...
2. ⇒ Δ f(x^°)= 0 in U^x° equivale ad dire che x^° vin... io etc.
3. b h → ½ Δ f(x^°) = ½[ x^° m ^xx ] (≤ 0)

FUNZIONI IMPLICITE

Sia \( g: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) (A aperto). Diciamo che \( y = f(x), x \in I, (x=h(x), y=f(x)) \) è definita implicitamente dall'equazione \( g(x,y)=0 \) se:

1. Se \( (x,y) \in S, g(x,y)=0 \) con \( (x, y) \in G_{h,f}(h, f)(s, x, f(x)) \subseteq G_{A}(A) \).
2. g(x,f(x)) = 0, x \in I \subseteq g(h(Q),...(x,y)

Il problema della considerazione che governa un \( g(x,y) = 0 \) si può scrivere come il grafico di un \( y=f(x) \): \( g = h(y) \).

Esempio:

Data g(x,y) = sin x +e^2 - 0 si possono scrivere y=f(x) e x=h(y):

• g(x,f(x)) = 0 => \( y = \pi/2(1 - 2 \sin x) \) \(\forall x \in \mathbb{R}\)
• \( 1) \, 2x - \pi/2 < 0 \) una deve essere \( y = 2^{\frac{2}{\pi/2} = 2\sqrt{g_{0.4, 5} = 0.5)).} \)
• Per cui \( x = \arcsin(e^2-e^3 \) ma solo per x \( \pi/2)[x ln 3(locmente) \)

TEOREMA DI DINI (O DELLE FUNZIONI IMPLICITE). CASO \(\mathbb{R}^2\)

Sia \( g: A \subseteq \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, A \) aperto.

• 1) se \( g, g_x, g_y \) sono continui in A (se x, y, e g, sono continui in A).
• 2) Se nel punto \( (x^0, y^0) \in A \) risulta \( g(x^0, y^0)=0 \)
• e \( g_{y}(x^0, y^0)\neq 0 \).
• allora \( \exists I \subseteq x \) (intervallo I contenente x^0) c’e unica funzione: \( f : I \rightarrow f \subseteq \mathbb{R}\) tale che \( f(x_0)=y \). \( g_x(f(x)) \neq x \in \mathbb{R}^2 \) (con f continua) e
• 3) se inoltre \( g_x \) ed \( f \) continua allora è definita:

\( f'(x) = {-} \frac{g_x(x, y_0)}{g_y(x,y_4)} \ \forall x \in T

Esempio:

Data l’equazione xe il 4y x = 0. (x, y^0) = (0,0), calcolare, da y: f’(x), f’(x)

1. Verifichiamo dapprima (e tre ipotesi di Dini
2. 1) \( g \in e^{c^0} \), (\( R^2 oo \) con \( x = e^{1+x} \) e continua;
3. 2) \( g_x,(y^0)) = g(0,0) = 0, \exists x g_{0,0)} = 0; 4^0;, : 76";
4. 3) \( gg_x, e \) et \( y^e^ + e^e^{'} \) e continua; f
5. 1) 5 f: \( f, c R \longrightarrow f_0 (IR) \) con f0 (2) = 0, quindi:
6. f'(0) = {-} \frac{g_x(0,0)}{l 4^0} \rightarrow \frac{-1}{c^{1}} = 4 \ \Rightarrow \displaystyle{f'(x) \frac{-1}{c}}

Se volessimo calcolare il polinomio di Taylar che approssima f(x) fino al 2^o ordine nel punto {\displaystyle{0}}\le arrt. occhio:

• \( g (x, y) = 0 \Rightarrow \ g_x (f(s)) = 0 Deriviamo{a} \)
• \(\frac{d}{dx}g_x(f(x)) = g_x,(+ \frac{(\cdot(x^) 3}} + g_x, y(s)g_x(\cdot f(x))=)0

Ora per la derivata seconda, deriviamo ancora la derivata prima: