Lezioni, Analisi matematica II

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Insieme di tutta la teoria affrontata durante il corso dell'A.A. 2013/2014 di Analisi matematica II con il prof Calamai.Parte 1 --> Funzioni di più variabili, integrali multipli, forme …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Calamai Alessandro

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2013-2014

51 pagine

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Estratto del documento

1. Funzioni Di Più Variabili

Sono funzioni in cui il codominio è un sottoinsieme di ℝⁿ;

ℝ² è l'insieme delle coppie (x,y) composte da reali ∈ℝ, che vengono interpretati come

punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale ℝⁿ(x₁, x₂,...,x_n) è l'insieme delle N-UPLE coordinate.

La NORMA di P è la distanza di P dall'origine (0,0) = [formula]

La DISTANZA TRA 2 PUNTI P e Q è la NORMA DEL VETTORE DIFFERENZA ed è =[formula]

INTORNO SFERICO

Dato Po∈ℝⁿ detto r>0 si definisce INTORNO SFERICO a centro Po e RAGGIO r

e si indica con [formula]

Si definisce INTORNO FORATO B*(1) l'intorno sferico privato del punto Po;

[formula]

PUNTI DI ACCUMULAZIONE E PUNTI ISOLATI

Dato A⊆ℝⁿ dato Po∈ℝⁿ si dice che Po è P.d.i. ACCUMULAZIONE per A se ogni

intorno forato di Po contiene punti di A.

[formula]

Un punto Po∈A si dice ISOLATO se non è di ACCUMULAZIONE per A, cioè se ∃ un intorno

forato di Po (l'intersezione tra A e B*(Po,)) è vuoto.

[formula]

PUNTI INTERNI INSIEMI APERTI/CHIUSI

Po∈A è interno ad A se ∃ un intorno di Po TUTTO contenuto in A.

Po∈ℝⁿ è di FRONTERA per A se ogni suo intorno contiene sia punti in A che del suo complemento.

A⊆ℝⁿ si dice APERTO se ogni suo punto è INTERNO;

si dice CHIUSO se sono complementare APERTO.

1. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Sono funzioni in cui il dominio è un sottoinsieme di ℝⁿ.ℝ² è l'insieme delle coppie (x,y) composto è di reali ∈ ℝ, che vengono interpretati come punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale ℝⁿ(x₁, x₂, ..., x_n) è l'insieme delle n-uple coordinate.
La norma di P è la distanza di P dall'origine (0,0) = ‖P‖ = √(x_p² + y_p²)
La distanza tra 2 punti P e Q è la norma del vettore differenza ed ‖d(P, Q) = ‖P - Q‖

INTORNO SFERICO

Dato P₀ ∈ ℝⁿ dato ε>0 si definisce INTORNO SFERICO di centro P₀ e raggio R e si indica con B(P₀, ε) = {P ∈ ℝⁿ | ‖P-P₀‖ < ε}

Si definisce INTORNO FORATO B°

B(P₀, z): P ∈ ℝⁿ | 0 < |P-P₀| < z

PUNTI DI ACCUMULAZIONE E PUNTI ISOLATI

Dato A ⊆ ℝⁿ dato P₀ ∈ ℝⁿ si dice che P₀ è P. di accumulazione per A se ogni intorno sferico forato di P contiene punti ∈ A.

∏ ε>0 → A ∩ B°(P₀, z) ≠ ∅

Un punto P₀ ∈ A si dice isolato se non è di accumulo per A, cioè se ∃ un intorno sferico forato di P₀ l'intersezione tra A e B°₀, z) è vuota

∃ B°(P₀, z): A ∩ B°(P₀, z) {P₀} ∨ ε>0: ε B(P₀, ε) ∩ A = {P₀}

PUNTI INTERNI INSIEMI APERTI/CHIUSI

P₀ ∈ A interno ad A se ∃ un intorno di P₀ tutto contenuto in A.P-₀ ∈ ℝⁿ A è frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti ∈ A che il suo complemento.A ⊆ ℝ ⁿ si dice aperto se ogni suo punto è interno A ⊆ ℝⁿ si dice chiuso se e solo se esso contiene la frontiera aperto.

CHIUSURA DI UN INSIEME E : È il più piccolo chiuso che contiene A .

FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI.

Dominio Come per tutte le variabili.
Grafico G(f) {(X,Y,Z) (x,y) A, Z=f(x,y)} (È un sottinsieme di R³)
Un modo particolareggiato è quello sono le LINEE DI LIVELLO [ S_c={(x,y) A, f(x,y)=c} ]

Limiti

Sia f: A R A R Sia P₀ p.d. acc. per il dominio A di f. Diciamo che f (P) - D R per P - P₀ S : 0 0 : P A, 0 Il P-P₀ S 0

f(P) - l < ε

Sia f: A R A R lim f(P) l asserito P P₀ - P Se f(P) con 0 f(P) acc. per il dominio A di f. S f(P) con P - P₀. Se H 0 S : P A, 0 Il P-P₀ S 0 f(P) > H

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