Lezioni, Analisi matematica II

1. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Sono funzioni in cui il dominio è un sottoinsieme di ℝⁿ.

ℝ² è l'insieme delle coppie (x,y) composte da reali ∈ ℝ, che vengono interpretati come punti o vettori a seconda delle necessità.

1. In generale ℝⁿ (x₁, x₂, ..., x_n) è l'insieme delle n-uple coordinate.

2. La norma di P è la distanza di P dall'origine (0,0) = _√(x_P^² + y_P^²)

3. La distanza tra 2 punti P e Q è la norma del vettore differenza = ||(P,Q)|| = ||P-Q||

INTORNO SFERICO

Dato P₀ ∈ ℝ^m, detto ε > 0, si definisce intorno sferico di centro P₀ e raggio ε:

B(P₀,ε) = {P ∈ ℝ^m | ||P-P₀|| < ε}

Si definisce intorno forato B^* una sfera puntata nel centro P₀:

B^*(P₀,ε) = {P ∈ ℝ^m | 0 < ||P-P₀|| < ε}

PUNTI DI ACCUMULAZIONE E PUNTI ISOLATI

Dato A ⊂ ℝⁿ, dato P₀ ∈ ℝⁿ, si dica che P₀ è p.f. di accumulazione per A se ogni intorno forato di P₀ contiene punti in A.

∀ ε > 0 ⟹ AnB^*(P₀, ε) ≠ ∅

Un punto P₀ ∈ A si dice isolato se non è di acc. per A, cioè se ∃ un intorno forato di P₀ che non interseca A (cioè {P₀} è vuoto).

∃ B^*(P₀, ε) : AnB^*(P₀, ε) = {P₀} ∨ ∃ ε > 0 : B(P₀, ε) ∩ A = {P₀}

PUNTI INTERNI INSIEMI APERTI/CHIUSI

P₀ ∈ A è interno ad A se ∃ un intorno di P₀ tutto contenuto in A.

P₀ ∈ ℝⁿ è frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti in A che del suo complementare.

A ⊂ ℝⁿ si dica aperto se ogni suo punto è interno.

Chiuso se contiene con sé la propria frontiera, cioè complementare di aperto.

Funzioni Reali di più Variabili

• Dominio: _∀ ^{(dominio per una variabile)}
• Grafico: { (x, y, z) | (x, y) ∈ A, z = f(x, y) }

Un modo di rappresentare grafico sono le Linee di Livello

{ S_c | (x, y) ∈ A, f(x, y) = c }

Limiti

Sia f: A → ℝ A ⊂ ℝⁿ. Sia P₀ p.d.a. per il dominio A di f.

→

→

Th. di Unicità del Limite

Se per P → P₀ la funzione f(P) ammette un limite: questo è unico.

Th. della Permanenza del Segno

Se per P → P₀ la funzione f(P) tende ad un limite finito L ≠ 0 →

→ per tutti i punti del quale escluso P₀ la funzione ha lo stesso segno del limite.

Th. del Confronto (Sei Carabinieri)

1. Se due funzioni g(f) e h(P) tendono allo stesso limite L per P → P₀ e, in un certo intorno P₀, si ha g(P) ≤ f(P) ≤ h(P) →
2. →
3. Se in un certo intorno di P₀ si ha f(P) ≰ g(P) e g(P) → per P → P₀, g(P) →
4. →

Funzioni a Valori in ℝⁿ

Sono funzioni vettoriali:

f: I → ℝⁿ

I = f(t) = P(t) = (x(t), y(t))

Se lim _t→to P(t) = P_o ⇔ lim _t→to |P(t) - P_o| = 0.

"Un po' come se abbiamo una f di piú variabili," limite si può fare componente per componente.

Caso n = 2:

P(t) = (x(t), y(t)) ⇔ |P(t) - P_o| = √x² + y².

Allora lim P(t) = P_o per t→t_o, no

|x(t) - x(t_o)|

Ciré si suffie lo si yicide

|y(t) - y(t_o)| componente x componente.

Cure Parameteriche

Sia detta arco di curva continua in ℝⁿ di curva parametrica una f. continua P: I → ℝⁿ.

✓ Sostegno della curva: {P(t) : t ∈ I} è l'immagine della funzione ψ.

✓ Si dice chiusa se I = [a, b] and ψ(a) = ψ(b).

✓ Si dice semplice se P(x₁) ≠ P(x₂) implica che x₁ = x₂ ∀ x₁ x₂ ∈]a, b[.

Sia [t_o, t_o+h[ → ℝⁿ f(te) = P(t_o)

→ Si dica che f è derivabile se il limite fa finite pò: vectore derivata sarà:

P'(t_o) = (x'(t_o), y'(t_o))

Curve Regolari

Si chiama arco di curva regolare un arco di curva continua f [a, b] → ℝⁿ.

1. f ∈ C¹(a, b)

2. |f'(t)| ≠ 0 ∀ t ∈ (a, b) ⇔ le componenti dello deviato non annulano mai assieme.

• Si chiama arco di curva regolare a tratti un arco di curva continua f:[s, t] → ℝ^n.

f tratto ‘[a, b] può esere suffiso in numero finito di entrare!

In modo che su ognuno di essi f sia tangente.

• Curva regolare = p: I → ℝⁿ → f ∈ classe C¹(I) | f'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ I

f rappresenta un vettore Ṫ_o alla curva nel punto Ṫ_o.

LAVORO COMPIUTO DAL CAMPO DI FORZE f per spostare una particella lungo γ

• \[ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \gamma(t) \, dt \ = L \]

PROPRIETÀ

1. Se indichiamo con γ’ una curva equivalente a γ ma di verso opposto si ha ⇒
• \[ \int_{\gamma} W = - \int_{\gamma'} W \] (cambio segno)
2. Se γ = γ₁ + γ₂ ⇒
• \[ \int_{\gamma} W = \int_{\gamma_1} W + \int_{\gamma_2} W \]

CAMPI CONSERVATIVI E FORZE ESATTE

• Nei Campi Conservativi il lavoro non dipende dalla curva ma solo dagli estremi.
• Una forma differenziale definita in un aperto A ⊆ ℝⁿ si dice esatta se è una funzione f differenziabile, f: A → ℝ: w = df
• Se w = a₁dx₁ + ... + aₙdxₙ ⇒ deve risultare \[ \frac{\partial aᵢ}{\partial xⱼ} = \frac{\partial aⱼ}{\partial xᵢ} \]
• Se la f esiste ⇒ f detta PRIMITIVA DI W.
• Se f è una primitiva in A aperto connesso ⇒ Tutte e sole le primitive di w si ottengono da f aggiungendo una costante

TEOREMA ANALOGO DEL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Se w forma esatta e continua definita nell'aperto A ⊆ ℝⁿ. Siano P, P₀ ∈ A, γ arco orientato e ɣ(p₀,t) anche rettificabile in A che congiunge P, P₀.

• \[ \int_{\gamma} w = f(P) - f(P₀) \]
• con f primitiva qualunque di w.

Esiste w = a₀dx₀ + ... + aₙdxₙ, f funzione di w ⇒ Si parametrize γ:

• \( x₀(t) \), \( Tε[a,b] \) ℝ con P(θ) = x(θ) ∧ ɣ(x) = f₀

INSIEMI SEMPLICI

x ∈ ℜ² si dice y-semplice se è del tipo E = {(x,y): y ∈ [c,d], h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}.

x ∈ ℜ² x x-semplice ⇒ E = {(x,y): x ∈ [a,b], g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}.

Con h₁, h₂, g₃ funzioni continue!

Tramite questa classificazione è possibile "affettare" il dominio lungo l'asse x o y.

x ∈ ℜ² si dice semplice se x-semplice y-semplice o entrambi.

E si dice regolare se è unione di un n° finito di insiemi semplici.

FORMULE DI RIDUZIONE

Sia f: E → ℜ continua

1. Se E = E₁ y-semplice →
   1. ∫∫_E f(x,y) dx dy = ∫_c^d ( ∫_h1(y)^h₂(y) f(x,y) dx ) dy
   2. ∫∫_E f(x,y) dy dx = ∫_a^b ( ∫_g1(x)^g₂(x) f(x,y) dy ) dx
2. Se E x-semplice →
3. Se E entrambe le cose → valgono entrambe le formule

INSIEMI MISURABILI

Un sottoinsieme A di ℜ (ℜ²) si dice MISURABILE (Secondo Peano) se integrabile in A la funzione costante f(x,y) = 1.

In tal caso la misura bidimensionale (area) di A è tale da → m_R(A) = ∫∫_A d x d y

INSIEME TRASCURABILE

Un sottoinsieme E ℜ² si dice TRASCURABILE e di misura bidimensionale nulla se:

∀ ε > 0 esso esso ricoperto con una famiglia finita o numerabile di intorni di area totale < ε

TH. DI EQUIVALENZA

Siano f₁, g₁ integrabili su un rettangolo R. Se esse differiscono solo in un insieme trascurabile i punti → i 2 integrali coincidono.