Successione funzioni
di Le
Sia corrispondenze
due fi.IN
IEIR consideriamo
µ
e le
fu
VEN accadere con
→ numeriche
successioni
Come ok applicazione che ad
qui tratta
si una funzione
Naturale una
ogni associa
numero
Queste funzione definite
dette di I
successioni
sono in ffn
Queste ¥
)
indicate modo
nel seguente oppure
vengono
successioni la
Qa fa fu
puntualmente
fissato I
IEI E
te
converge in se converge in
un ,
§ XEÌ
la
)
semplice
anche data
Convergenza punto
è
puntuale se successione ogni
converge in
:{
E
' la
L )
I
insieme XE numerica
successione
: converge la
detto ¢ funzione
della €7
di
è Se
successione
insieme convergenza .
linmffx limite
detta limite
'
E ' funzione
f. e o
-
i.
[ scrive
si
ssa bing.ffxi-f.at di
classica definizione limite
la applicata funzioni
E questa alle quindi
è però ,
KE tff.mn
Nn
¥ falce
freni v
I
> -
>
o xe .
a ,
E in l'
Questa dipendere indice dalla
definizione di
fa scelta
ricordiamo v
come
E ×
e .
Ma dipende da
indice questo
trovassimo solo
che E si
se caso
in
si
un ,
( di
risulta
uniforme )
forte
che
di più
parla puntuale
quella
convergenza
definizione
la
Da qui lfexi-fe.it/cEDxeE
IKEA
* buona
E o
> : , la
definizione
la di che qualunque
prevede
questa che scelga
uniforme
è si
×
convergenza
da
dipenderà solo
✓ E . di funzioni
Proprio fu
sia puntualmente alla
convergente
successione
: una fu
Allora
funzione Età ad
uniformemente A
A-
E
f fin
sia converge
e
in .
condizioni
valgono
< ) queste 2
= f
le limitate
funzioni
A f-
1) da indice
partire certo sono in
un ( fallato
Joe
A know
quindi N fai
snap
: -
, ) ) linm
2) ffx Mio
fcxi
the ha
)
posto snap si
- s
Continuità
Ted del limite
' :
:
la fu le
Se ad E
uniformemente fn
f funzioni
converge in
successione continua
se
in sono
e
E f
allora continua
è
Xoe Xo
un
,
Di : Hp
Th of fu
fn
f E
uniformemente
è continua
continua in inxo
- e
fui f uniformemente significa
, vado e
sommare
a
_
di le
sottrarre foto '
f le
#
quantità
lfixt-fcxslcgf.ee
✓ tu
JYEN
Ero : disuguaglianza
v
>
, , È
Allora angolo
fissiamo ltxee ho
Ue
un no > g-
e maggiorare
*
lfcxi-fcxdlelfcxi-fn.cn/t/fnolxl-ff;oYt/fnoxot-fcxol/L2Et/fufxi-ff:d/ .
fncx
funzione ho
della
la nel corrispondenza
punto
)
continuità che
per in
xo
di fissato 6
E I :
0
> lfdxt-fu.to//cE
lx-x.IS
XEE
se allora
e IÌÉ
ho 07
trovato
E dei .
.
voi
c.
a-
/ fcxollc
xdcf fa
Ix
fissato E allora ) SE
Ipso essendo
E se
: -
o c-
× -
a
> abbiamo f
arbitrario
E provato continua
che è µ (
fu )
Ora aib
volendo studiare DERIVABILE
di funzioni
Una successione in dire
Questo di
funzione puntualmente
f
ad ci permette
convergente
e una non
.
limite
la detto
fosse
qualora lo
funzione derivabile
se ivi è
non
sia e
, della fin
derivate limite
la il
coincida
che potrebbe
successione
con ,
uniformemente
fu
che
accadere catenella che
un
converge in magari e
, ,
" dell'
fn intervallo
in punto
non converge nessun
Il derivate limite
delle del
nell' intento
aiuta
teorema
seguente però
ci .
limite di derivata
Ted el
passaggio sotto segno
: :
a
fu
Sia b)
( fu
Se
di derivabile
funzioni intervallo
successione
una in a. converge in
. un .
t.Igennifamemente-u.la fu funzione derivabile
b)
) ad
allora
( f
aib converge
punto
Un xoe una
e , ,
b)
( (
la )
limitato
uniforme
a '
en intervallo
ogni
convergenza in
, e
fi
linmftnlxi ↳ ( b)
- a.
»
- c.
Un considerazione
della teorema
pre
esempio - .
funzione
fncx uniformemente
Sinn questa converge
) = fai IR
e o in
= !
(
salsina Enti !
%
[
. !
÷
→ !
!
✓
xc.IR finche
delle
Ora derivate
prendiamo la cosnx
successione dunque
f.
funzione ad
KEZ Gates
solo risulta
questa 2kt
converge :
punti =
nei e
x. ,
f
la uniformemente
)
JO Converge
intervallo TT
nell' successione
esempi , .
.to#:.::::::::i::::::.::e:::
Èà÷:s÷÷à
fin
Mentre in
converge punto
nessun
non . !
limite
la f
della f
derivate limite
Inoltre coincide
funzione il della successione
punti
nei con
non
xa
Un altro il
è
importante
teorema seguente :
Passaggio
Tea limite di
el
sotto integrale :
segno
a
: fu [
Se [ )
funzioni b)
di aib
uniformemente
è a. Convergente
continue
successione in
una in ,
ha
funzione allora
f
alla si
, !
[ =/
linm da
affidi fai
,
Questo lecito
è solo tramite talvolta
passaggio non sempre ci
ipotesi ma
,
limite di
il integrale
calcolare
aiuta un
a .
Vediamo di applicazione
un esempio
Calcoliamo
[
LI di questo integrale è
non
normali
calcolabile le
con
di )
(
regole calcolo parti sostituzione
o
Usiamo limite
teorema
el del di integrale
passaggio ma
al
sotto segno
e ,
le
verifichiamo
prima ipotesi funzioni
nx sono
1 continue
tutte
-
f. e- :
-
=
= quindi funzione
tutta la continuo
( è x2 )
è è in
+2
ma +
+ [ ]
0,1
× e
uniformemente
Sia
Controlliamo convergente
) sostituendo
supl ambo i numeri
)
enxgi .
»
»
[ banalmente
o senza
. Calcolare i massimi
ho tendono entrambe
che Zero
a applicare
Abbiamo il
anche uniforme
quindi teorema
convergenza possiamo
e
una
%m[ !
=/ la
fai funzione
ca sopra
. tende utenza
nella sua
nulla
funzione
alla
allora :[
ci .
= .
DI :
Th Hp
:[
[ E funzioni
Linn sono
fin fa , continue converge
e
UNIFORMEMENTE ad
te
f »
in .
( la
funzioni
funzione
f- delle
integrabili
di )
continua
( ) il
è teorema continue
una per
x uùf
cani
[ b) io per
funzione integrabile .
Inoltre
è
e
in fablfdxi-fcxyd.IE/aIfacxi-feiIdxECb-alaIE%F4t-fktl
, .
[ ! µ (
µ / d
fundo ,
>
- = (
da applicando
la 1
al limite
'
cioe
qui tesi n
per no ao
-
Difatti avremo dell' uniforme
b.at?fqs/ff convergenza
(
¥7 .
fait
» •
→
-
,
Equazioni differenziali definite
Assegnano ) if
( funzioni ! "
aolx
netti '
"
are
) ' intervallo
Ian
nts in un
. - ,
.
, .
,
( l'
b) considerare
andiamo
a. equazione
a seguente :
, È ascxtjcxixaocxiycxs-f.is
' 1
(
It
y *
» + a + ,
. .
. le
di
lineare
detta funzioni
differenziale ordine i-o.ee
aicx )
questa è equazione e
n n -
; . . . ,
.
,
fcx
le funzione
dell' dette
coefficienti dell'
dette noto
- Termine
equazione
sono )
e e
¥
f.
Se l' detta
)
Caio
↳ è
equazione o equazione
= > omogenea
e
. .
Una funzione dell' derivabile
soluzione
Ict è è volte
fai
se
equazione sopra a in
( b) risulta
a. e (
Axe b) '
si ' fai
#
a. aocxiyc
»
y -
#
+
, a ,
+
× .
.
.
La dell'
detta detto
ed grafico
soluzione al
Ylx integrale '
è
) equazione
anche e
Curva integrale
?
Paeleè I'
Perchè ( b) le
continua soluzioni
f
fcxi a.
con sono tutte
in
= , ,
le ) )
f fcxidx
di
primitive ovvero
, .
Per di
di diff
parla
generalmente equazione
integrazione invece
cui un
si .
di dell'
che risoluzione equazione
" L'
/ degli diff
di detto
integrali di
integrale generale
insieme generale
è integrale
un eq un
. .
la
almeno soluzione nulla
ammette
poichè
è vuoto
lq mai
non
omogenea .
.
Quindi la
diff
soldoni funzione
è i
è incognita
cui
un
in un una e
eq eq
, . .
(
derivate derivabile
di
le di
sufficiente
quest'
termini f
ultima sia
sono un
che numero
patto
a
diff )
ordinarie
di
parli
volte che eq
si
e .
.
lineare
Il termine ( deriva dalla
usato algebrica
)
indicare nota caratteristica
appunto
*
per
di lineare
applicazione
una . lineare
2
Infatti operatore
prendiamo , Ì
L n' " n' "
tanti adxiu
derivabile
volte
: u +
n se
n .
.
con - .
,
lineare
'
e ovvero
, alla
(
) Lculx
( L
£ Lcn ) ) Ha EIR
ntv an
= :
/ due
AER .ru
» )
con e
funzione
con o numero
-
le
Con stesse
caratteristiche
di n
Avendo nel
quest' fa
operatore sinteticamente )
introdotto possiamo esprimere
modo
seguente . .
Lui fai
.
_ . coefficienti
A gli
è associata
questa stessi
avente
una
equazione omogenea
ne
L' data
descritte completa
equazione equazione
sopra è
Pss di
Quando di
diff tipo
parla di
normale parla
si
eq un
: si equazione
. .
nel modo
scritta seguente
[ " ' " "
- fcx
City )
'
azcxiy )
aocx
am +
t ] =
+ +
s .
.
.
- diff
Un nel
è presentata seguente modo
generica
equa :
.
.
"
Qmcxivy "
'
" fcxi
" '
City Cxiy aocxiy
on a
t + + =
s ,
- . >
. . ) dell'
( aib dividono
Dx membri
Se equazione
entrambi
anch i
si
suppongo e
⇒ o per
'
l forma normale
)
aucx ritrova
ci si eq in
e . .
⑥ L' derivazione
differenziale
ordine ordine
dall' di presentato nell'
di è rappresentato Massimo equazione
s un eq
: .
Es :
ùjtyiflxi l' derivazione
di
Allora di ordine
ordine 3 '
poiche
questa è massimo
3
sarà
Per l' completa
equazione
f. fcx
(f) Cauchy ( )
di
il Pdl
detto
problema
) problema
seguente
si
e- pone oppure
,
dei valori iniziali almeno
b)
fissato ( stabilire
reali
ed Zn
20,21
numeri
a.
xoe esiste
se
n s
. -
_ -
, ,
,
,
, (
le )
condizioni
dell' Verificate condizioni iniziali
integrale seguenti
eqq
un .
I' È
§
)
Ilio eolica
lo
= :c
,
.
.
. .
.
, , , . derivazione
Quindi di delle funi
ordini
assegnati
reali vari
quei ai
numeri vengono
9 . .
detto iniziali
valori
detti
' ii.
iniziale Zi
punto i sono
n
numeri 0,1
Xo s
con
e e -
,
. .
.
,
Questo la
problema sintetizzabile
è scrittura
con
{ % !
! ' è
←
!
.IE:92?njlxo
le
) =
lesioni .
(
Teen )
ed coefficienti
se ed
unicità dell'
il
esistenza noto
i
: termine equazione
)
(
# fissato
( b) qualunque
allora aib i
scritta XOE
continui siano
a.
sono
sopra in e
,
di
Pdc
reali el
20 soluzione
Zr ammette cycx )
unica
sopra
numeri Tu un
. . ,
. ,
, .
, " b)
(
(
lgcx )
risulta a.
E
e derivabile )
significa (
Dire aib
YCX
che continuo
)
questo è volta in
e in
Ora consideriamo del
il risultato teorema
geometrico :
Consideriamo funzioni continue
←
jtaolxsy-fcxiadxt.fcxic.co/a,b ( b)
) m a.
Xo.ro/E(aib)xI
(
¥
Il !
dice che 1 integrale
teorema ci curva
passa
Se consideriamo [
' (
fate b)
I' taocxiy.fi a.
aocxi.edu
tascxiy ) ,
fissato GO.co/E(aib)ER
Allora il EIR
Po ed il
punto e
numero
> ,
la
Po Po
!
1 cui
punto
il tangente
integrale
curva
per passa un
ha coefficiente angolare Ex
a
pari .
Quindi dirla
volendo semplice
Un funzioni
infinita
differenziale paranoie
soluzione
equazione ha come (
l'
di funzione
problema soluzione quindi
il )
rizzate Mentre Cauchy vuole unica
le
che problema
soddisfi del
ipotesi iniziali
pole
el ammetterà ed
integrale curva
unico
per unica
un
cui un
integrale . ' diff
Ora consideriamo coefficienti
l termine
eq noto
con e
. .
continui
{ f (
(g) )
(
anche :O associata
= y eq omogenea
e . .
l' della
Sarà I integrale generale equazione
prima poi con
e
.
Io della
l' integrale seconda
generale differenziale
dell di
Fissiamo funzione soluzione '
UEI che è
è eq
le una -
,
cui sopra . l'
quindi
Consideriamo insieme _
ls.eu/soeIoI.- ± .
Ora che
proviamo
Io I
tu = fui
)
di LLI
l' '
ottiene all
aggiungendola
che generale
integrale ? si
ovvero LLI di «
) fa
9)
o
integrale =
un integrale
> ,
linearità L
Questo dalla di Difatti gettata
segue f.
sia Yotu
ovvero con
.
Caitlin
LLI =L
) )
allora
Io
Yoe , 2 all'
l' operato
Applica equazione sopra
f
2cm )
UEI quindi :
g-
Me -
LCyt-2lsd-l uti.f-yoc.IO/(yoko
Quindi EI
I.
YEI tu
e
Viceversa l' L ed
sia ho
all'
applico
IEI operatore
posto f- espressione
yò u ,
, )
( =L Lcn
(
g.) )
2. neI
poeta
-0
y ricordiamo
poiché
cioè g.
- ,
-
→ È
÷
Allora quindi Io tuit provata
è
IEI.tn
Y Iotu pertanto
Yotu E
> .
, lineari
Continuando differenziali
delle 1°
del
parlare ordine
equazioni trattiamo quelle
a ora
In vogliamo
particolare integrare
I' adxi.fcx.CC?aib )
fcx
taocxiy ) con
-
-
ftp.roprietodilnisopraeotuet-o/oveIosonolesolnsio#f
( Per differenziale
differenziale
dell' del'
ed quelle
7
equazione equazione
omogeneo
tesoreggiando
-
l'
dobbiamo associata
integrare equazione omogenea
' )
aocx
y ] o
+ > pa la
coefficiente
Vogliamo del
Aocx adx
indicata )
)
che primitiva
provare con una
, A
" dell'
di funzioni ' l'
famiglia ceh generale
e- integrale
è che
equazione
e ,
integrare
vogliamo . CÈAC
Le " lfxelaib
famiglia
funzioni della )
Din integrali ha
poiche
sono
: si
'
eètto "
( adxifeè )
" " ' " "
dxiaeadxsèno :O
eè
+ = -
la
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
